秦敢

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院 安徽 合肥 230026)

1 分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)求解方法的回顧

分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)的求解是電磁學(xué)課程中比較有難度和有特色的內(nèi)容.有兩種情形的分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)問題可以解析求解:一種是介質(zhì)-介質(zhì)界面與撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)線平行;另一種是介質(zhì)-介質(zhì)界面與撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)線垂直.它是唯一性定理應(yīng)用的一個(gè)生動(dòng)的實(shí)例，并且涉及到靜電學(xué)諸多原理的綜合應(yīng)用.考慮到很多教材不涉及此內(nèi)容，這里先對(duì)此類問題求解方法作簡(jiǎn)要回顧.

1.1 介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線平行

設(shè)空間存在若干導(dǎo)體和均勻各向同性電介質(zhì)，介質(zhì)-介質(zhì)界面與撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)線平行，或形象地表述為，電介質(zhì)按電場(chǎng)線管充滿，如圖1(a).

圖1 介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線平行

常見的兩種情況是：平板電容器中填充兩種電介質(zhì)，介質(zhì)-介質(zhì)的界面和撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)均為豎直方向，如圖1(b)；球形電容器中填充兩種電介質(zhì)，介質(zhì)-介質(zhì)的界面和撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)均為徑向，如圖1 (c).可以證明，加上電介質(zhì)前后電場(chǎng)分布形式不變，即E=αE0，其中E0為無(wú)介質(zhì)時(shí)自由電荷的電場(chǎng).理由如下.

(1) 若上解成立，則P在介質(zhì)-介質(zhì)界面無(wú)法向分量，根據(jù)σe′=-(P2-P1)·n，界面σe′=0，所以極化電荷只可能存在于導(dǎo)體-介質(zhì)界面.

(2) 為保證導(dǎo)體內(nèi)恒無(wú)電場(chǎng)，有介質(zhì)時(shí)導(dǎo)體-介質(zhì)界面的總電荷 (自由電荷+極化電荷) 必須與無(wú)介質(zhì)時(shí)導(dǎo)體表面的自由電荷有相同形式的分布，即σe=ασe0.這一點(diǎn)是由導(dǎo)體中自由電荷可以隨意流動(dòng)來實(shí)現(xiàn).

(3)由電場(chǎng)與電荷的線性關(guān)系得E=αE0, 正如猜想.

本解能保證導(dǎo)體邊界為等勢(shì)面.由唯一性定理，該解是唯一正確解.

由此得到此問題的求解步驟為,設(shè)無(wú)介質(zhì)時(shí)的各區(qū)域電場(chǎng)E0i已知，由高斯定理

求出α，進(jìn)而有

Ei=αE0i

特別是對(duì)于一維對(duì)稱問題，E0有統(tǒng)一的表達(dá)式，可直接計(jì)算E，不必引入α，因?yàn)樯鲜娇梢院?jiǎn)化為

1.2 介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線垂直

設(shè)空間存在若干導(dǎo)體和均勻各向同性電介質(zhì)，其中介質(zhì)界面與撤去電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)線垂直，或形象表述為，在等勢(shì)面之間填充各種電介質(zhì)，如圖2(a).常見的兩種情況是：平板電容器中填充兩種電介質(zhì)，介質(zhì)-介質(zhì)的界面平行于極板，如圖2(b)；球形電容器中填充兩種電介質(zhì)，介質(zhì)-介質(zhì)的界面為球面，如圖2(c).

圖2 介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線垂直

此時(shí)的解為

其中E0為無(wú)介質(zhì)時(shí)自由電荷的電場(chǎng).理由如下：

(1)ε0E0滿足D的高斯定理

SD·dS=Q0

這是因?yàn)?/p>

即

Sε0E0·dS=Q0

參照?qǐng)D2(a)，則因?yàn)?/p>

盡管上述兩類解析方法原則上能求解更廣泛的問題，但在實(shí)際的例題和習(xí)題中，幾乎全部都是處理平板電容器和球形電容器這樣的簡(jiǎn)單情況.也許有個(gè)很自然而且強(qiáng)大的理由：其他形狀邊界的例子依然有解析解，只是因?yàn)樘珡?fù)雜瑣碎而不予討論.畢竟平庸的復(fù)雜對(duì)于原理的領(lǐng)悟是不必要的.

一切看上去風(fēng)平浪靜.但在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中，偶然性地發(fā)現(xiàn)了“異?！鼻闆r.

2 兩種分區(qū)情形同時(shí)存在時(shí)的求解

如圖3，平板電容器內(nèi)填充三類電介質(zhì)，能否解析求解各介質(zhì)的電場(chǎng)？

圖3 兩種分區(qū)情形同時(shí)存在

一種常見的解法是：將各介質(zhì)當(dāng)作獨(dú)立的電容器，用電容器的串、并聯(lián)來求解，即介質(zhì)2的電容器與介質(zhì)3的電容器串聯(lián)后再與介質(zhì)1的電容器并聯(lián).這種方法本質(zhì)上就是前述兩種分區(qū)介質(zhì)求解方法的綜合運(yùn)用——介質(zhì)2與介質(zhì)3構(gòu)成的子體系對(duì)應(yīng)界面與電場(chǎng)線垂直的情形，而該子體系與介質(zhì)1構(gòu)成的體系則對(duì)應(yīng)界面與電場(chǎng)線平行的情形.

其實(shí)，通過對(duì)邊值關(guān)系的簡(jiǎn)單分析就能看出來錯(cuò)誤所在.若單一分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)解法對(duì)這種混合問題仍然有效，則平板電容器內(nèi)各個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度均沿豎直方向.由電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系，介質(zhì)1-2界面處有E1=E2，介質(zhì)1-3界面處有E1=E3，于是E2=E3.可是在2-3界面處的邊值關(guān)系本來是D2=D3，兩者矛盾！可見，單一分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)的求解方法對(duì)兩種分區(qū)共存的情況是無(wú)效的.

該問題無(wú)解析解的實(shí)質(zhì)原因何在？容易想到的是，與兩種單一的分區(qū)情形不同，兩種分區(qū)共存的情形過于復(fù)雜，電場(chǎng)線 (或電位移線) 不再能保持無(wú)介質(zhì)時(shí)的分布形式.

也可以這樣間接地理解：如果該例有解析解，則電介質(zhì)區(qū)域作進(jìn)一步分割后仍會(huì)有解析解 (無(wú)非是更復(fù)雜的電容器串并聯(lián)而已)，以至于任何電介質(zhì)分布下都可解析求解，這當(dāng)然是不可能的.

這里討論的是嚴(yán)格解，如果忽略豎直邊界的邊緣效應(yīng)，則常規(guī)的串并聯(lián)方法是可行的.其實(shí)，對(duì)此例的“吹毛求疵”，更多的目的是作為引子，引發(fā)對(duì)分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)問題的進(jìn)一步探索.

3 介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線平行時(shí)解析解存在的條件

單一分區(qū)與兩種分區(qū)共存真的就是簡(jiǎn)單與復(fù)雜的界限嗎？或者說，單一分區(qū)情形一定可以按前述方法求解嗎？至少對(duì)介質(zhì)界面平行于電場(chǎng)線的情形就存在疑問：關(guān)系式σe=ασe0在任何情況下都有效嗎？

如圖4，導(dǎo)體1和2分別帶電Q1和Q2，電介質(zhì)填充在導(dǎo)體1發(fā)出的、趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)線管內(nèi).此時(shí)σe=ασe0和E=αE0一定能成立嗎？

圖4 介質(zhì)填充在一個(gè)開放的電場(chǎng)線管

假設(shè)導(dǎo)體1表面自由電荷的流動(dòng)性使得加入介質(zhì)后總電荷面密度的分布與無(wú)介質(zhì)時(shí)自由電荷面密度的分布成比例.由于極化電荷與自由電荷異號(hào)，所以比例系數(shù)α<1.但α是全局常數(shù)，這就要求導(dǎo)體2上的總電荷面密度有同樣的“衰減”，于是總電荷量必須作同樣程度的減少.但導(dǎo)體2上只有自由電荷，加入介質(zhì)前后的電荷總量應(yīng)該是不變的.可見，對(duì)這樣的單純邊界問題，文獻(xiàn)[1]中方法失效.

再看稍微復(fù)雜一些的情況：電介質(zhì)填充在導(dǎo)體1和2之間的一個(gè)電場(chǎng)線管，能否求解？

要想E=αE0在全空間成立，必須有

則

Q1=-Q2

除此以外，有、無(wú)介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)不會(huì)成比例分布.

圖5 介質(zhì)填充在兩導(dǎo)體之間的電場(chǎng)線管

問題出現(xiàn)在什么地方？文獻(xiàn)[1]中方法有效的關(guān)鍵前提是，體系的確能夠保證有介質(zhì)時(shí)的總電荷與無(wú)介質(zhì)時(shí)的自由電荷有相同分布形式，即

σe=ασe0

但這里的兩個(gè)例子告訴我們，導(dǎo)體中自由電荷的任意流動(dòng)性不足以保證在任何情況下總能做到這一點(diǎn).其實(shí)這里的任意流動(dòng)性并非無(wú)條件的任意，必須局限在同一導(dǎo)體.

由于習(xí)題中的導(dǎo)體通常是電容器的兩個(gè)極板，帶電荷為±Q，符合例2的特例，或者干脆是單一導(dǎo)體，所以期望的電荷分布總能做到.

需要指出的是，在求解介質(zhì)-介質(zhì)界面與磁感應(yīng)線垂直時(shí)的靜磁場(chǎng)問題時(shí)，文獻(xiàn)[1]中方法有同樣的限制條件.

另外，經(jīng)初步分析，介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線垂直時(shí)，解析解的存在是無(wú)條件的.原因是，此問題的解法原理中沒有類似E=αE0的苛刻要求.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)分區(qū)均勻介質(zhì)靜電場(chǎng)求解問題中一些情形作了具體的探討，希望有助于增加教與學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和趣味性.在探索所涉及問題的過程中，對(duì)一些電磁規(guī)律成立條件作了重新的審視，對(duì)電磁學(xué)基本原理進(jìn)行了綜合思考，對(duì)于簡(jiǎn)單與復(fù)雜、載流子的任意流動(dòng)性有了進(jìn)一步體會(huì).

參考文獻(xiàn)

1 胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)(上冊(cè)).北京：科學(xué)出版社，2008