侯 鋼

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

“大衍總數(shù)術(shù)”是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在其所著《數(shù)書九章》一書中系統(tǒng)論述的一種算法，其中所涉及的理論與現(xiàn)代初等數(shù)論中的一次同余方程組的理論相符。

初等數(shù)論中介紹的一次同余方程組的理論被稱為“孫子定理”［1，2］，可以表述如下:

設(shè)m1，m2，…，mk是k個(gè)兩兩互素的正整數(shù)

則同余方程組

的解是

其中Mi'滿足MiMi'≡1(modmi)，i=1，2，…，k。(［1］，62 頁(yè))

考察《數(shù)書九章》中“大衍”類九個(gè)問題的算草，知秦九韶解題過程與此定理蘊(yùn)含的求解步驟大致相當(dāng)，我們可以將“孫子定理”中的符號(hào)與“大衍總數(shù)術(shù)”中的術(shù)語(yǔ)對(duì)應(yīng)起來(lái)(見表1)。

表1 “孫子定理”中的符號(hào)與“大衍總數(shù)術(shù)”中的術(shù)語(yǔ)的對(duì)應(yīng)

《數(shù)書九章》“大衍”類的九個(gè)問題中，只有“余米推數(shù)”一題的模是兩兩互素的，其余八題的模都不滿足這個(gè)條件。秦九韶將不兩兩互素的諸模稱為問數(shù)，他在解題時(shí)首先就將問數(shù)化為定數(shù)①秦氏也稱定數(shù)為定母。，即將不兩兩互素的?；癁閮蓛苫ニ?，然后再用與“孫子定理”相當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

初等數(shù)論中還有如下的命題:

設(shè)m是正整數(shù)A1，A2，…，Ak的最小公倍數(shù)，即m=［A1，A2，…，Ak］，那么一定可以找到一組正整數(shù)m1，m2，…，mk，滿足:

(i)miAi，i=1，2，…，k，

(ii)m1，m2，…，mk兩兩互素，即(mi，mj)=1，i，j=1，2，…，k，i≠j，

并且如果同余方程組

有解②有解的充要條件是(Ai，Aj )(Ri-Rj)， i，j=1，2，…，k，i≠j。(［1］，64 頁(yè);［2］，175 頁(yè))，則它的解與同余方程組的解相同。(［2］，175—176頁(yè))

依此結(jié)論，我們可以驗(yàn)證秦九韶解題方法正確。雖然定數(shù)須滿足的三個(gè)條件在秦氏著作中沒有明確記載，但如果按照“大衍總數(shù)術(shù)”術(shù)文正確計(jì)算的話，所得的定數(shù)均能滿足那三個(gè)條件。

“大衍總數(shù)術(shù)”實(shí)際包括四個(gè)部分:其一是將問數(shù)化為定數(shù)，其二是求乘率(即“大衍求一術(shù)”)，其三是用數(shù)的借補(bǔ)，其四是計(jì)算所求率數(shù)。本文討論秦九韶將問數(shù)化為定數(shù)的方法。

1 問數(shù)化為定數(shù)的兩條途徑

“大衍總數(shù)術(shù)”中將問數(shù)化為定數(shù)的術(shù)文如下:［3，4］

大衍總數(shù)術(shù)曰:置諸問數(shù)類名有四。一曰元數(shù)謂尾位見單零者，本門揲蓍、酒息、斛糶、砌磚、失米之類是也。二曰收數(shù)謂尾位見分厘者，假令冬至三百六十五日二十五刻，欲與甲子六十日為一會(huì)而求積日之類。三曰通數(shù)謂諸數(shù)各有分子母者，本門問一會(huì)積年是也。四曰復(fù)數(shù)謂尾位見十或百及千以上者，本門筑堤并急足之類是也。

元數(shù)者，先以兩兩連環(huán)求等①等指等數(shù)，即兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。四庫(kù)館臣稱之為“連環(huán)等數(shù)”(［4］，362頁(yè))。，約奇弗約偶?；蚣s得五而彼有十，乃約偶而弗約奇。或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶?；蚪约s而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約遍而后乃與姑置者求等約之。或諸數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。

收數(shù)者，乃命尾位分厘作單零，以進(jìn)所問之?dāng)?shù)，定位訖，用元數(shù)格入之?；蛉缫饬?shù)為母，收進(jìn)分厘，以從所問，用通數(shù)格入之。

通數(shù)者，置問數(shù)，通分內(nèi)子，互乘之，皆曰通數(shù)。求總等②總等指多個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。總等必是連環(huán)等數(shù)的因數(shù)。，不約一位約眾位，得各元法數(shù)，用元數(shù)格入之。或諸母數(shù)繁，就分從省通之者，皆不用元，各母仍求總等，存一位約眾位，亦各得元法數(shù)，亦用元數(shù)格入之。

復(fù)數(shù)者，問數(shù)尾位見十以上者。以諸數(shù)求總等，存一位約眾位，始得元數(shù)。兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶復(fù)乘偶，或約偶弗③諸本皆作“或”，四庫(kù)館臣校正為“弗”(［4］，329頁(yè);［5］，679頁(yè))，今從。約奇復(fù)乘奇，皆續(xù)等下用之④四庫(kù)館臣以為此六字可省而刪去(［4］，329 頁(yè);［5］，679頁(yè))，實(shí)誤，今補(bǔ)回。。或彼此可約而猶有類數(shù)存者，又相減以求續(xù)等，以續(xù)等約彼則必復(fù)乘此，乃得定數(shù)。所有元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)三格，皆有復(fù)乘求定之理，悉可入之。

求定數(shù)，勿使兩位見偶，勿使見一太多。⑤這句話指出了問數(shù)化定數(shù)的兩個(gè)限制條件。定數(shù)要兩兩互素，所以化得的兩數(shù)不能都是偶數(shù)。另外，諸定數(shù)中也不要有太多的1，否則會(huì)導(dǎo)致“大衍總數(shù)術(shù)”的第三部分——用數(shù)的借補(bǔ)情況復(fù)雜而使計(jì)算量加大(這個(gè)問題將在另文討論用數(shù)借補(bǔ)時(shí)述及)。以今之?dāng)?shù)學(xué)觀點(diǎn)看來(lái)，前述命題中定數(shù)須滿足的三個(gè)條件是相互關(guān)聯(lián)的，如果定數(shù)中有太多的1，可能會(huì)使某個(gè)非1的mi是其相應(yīng)Ai的倍數(shù)而不是因數(shù)。見一多，則借用繁;不欲借，則任得一。(［3］，444 頁(yè);［4］，327—329 頁(yè))

由術(shù)文看出，秦九韶將問數(shù)分為四類:元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)和復(fù)數(shù)。元數(shù)系指?jìng)€(gè)位數(shù)字非零的正整數(shù)，“蓍卦發(fā)微”、“推庫(kù)額錢”、“分糶推原”、“余米推數(shù)”及“積尺尋源”五題的問數(shù)屬于此類;收數(shù)系指小數(shù)，通數(shù)系指分?jǐn)?shù)，由于小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以收數(shù)、通數(shù)二類實(shí)為一類，“古歷會(huì)積”一題的問數(shù)屬于此類;復(fù)數(shù)系指?jìng)€(gè)位數(shù)字為零的正整數(shù)(即為10的倍數(shù))，“程行計(jì)地”、“程行相及”和“推計(jì)土功”三題的問數(shù)屬于此類。其中，收數(shù)和通數(shù)都要先化為元數(shù)，再用元數(shù)求等化約的辦法去求定數(shù)。而復(fù)數(shù)實(shí)際上是特殊的元數(shù)，秦氏給出的復(fù)數(shù)格算法可以認(rèn)為是將元數(shù)化為定數(shù)的又一種方法。

我們?cè)賮?lái)考察“大衍”類九題將問數(shù)化為定數(shù)的術(shù)文和草文中的算法，將其列如表2。

表2 “大衍”類九題算法分類、問數(shù)及求定數(shù)的術(shù)文和草文算法

從“大衍總數(shù)術(shù)”中將問數(shù)化為定數(shù)的術(shù)文和各題求定數(shù)的術(shù)、草可以知道，秦九韶化問數(shù)為定數(shù)有兩條途徑:一是將諸問數(shù)直接兩兩連環(huán)求等;一是將諸問數(shù)先求總等，存一(位)約眾(位)，然后再連環(huán)求等。而不論通過哪個(gè)途徑來(lái)化約，連環(huán)求等時(shí)的根本原則是“約奇弗約偶”。

2 “約奇弗約偶”算法和其中“奇”、“偶”的意義

2.1 數(shù)學(xué)史研究者的多種解釋

秦九韶通過連環(huán)求等求定數(shù)的根本算法是“約奇弗約偶”，對(duì)于其中“奇”、“偶”的意義和算法本身，數(shù)學(xué)史研究者已有多種解釋。歸納起來(lái)，這些解釋大抵可分為三類。

第一類解釋僅說(shuō)明“約奇弗約偶”是一種原則，并未給出實(shí)質(zhì)性的分析。有三種解釋可歸入此類。

李儼先生在《大衍求一術(shù)的過去和未來(lái)》一文中說(shuō):“至于說(shuō)約奇弗約偶，是欲約后無(wú)等?！?［6］，129 頁(yè))

錢寶琮先生在《秦九韶＜數(shù)書九章＞研究》一文中說(shuō):“一般說(shuō)，奇數(shù)是單數(shù)，偶數(shù)是雙數(shù)。但這所謂‘奇’、‘偶’是指兩個(gè)不同的元數(shù)?！?［7］，71頁(yè))在《求一術(shù)源流考》一文中說(shuō):“約奇勿約偶，謂兩數(shù)求得公因數(shù)后，只以公因數(shù)除其一數(shù)，不遍除也。其意與不約一位約眾位同。”(［8］，25頁(yè))

李文林、袁向東兩位先生又將此引申，認(rèn)為“‘約奇勿約偶’給出了化約的原則，即每求出兩數(shù)的公因子之后，用它去約簡(jiǎn)兩數(shù)中的一個(gè)，另一個(gè)保持不變。到底約哪一個(gè)?一般是有條件的，就是要使約簡(jiǎn)后的數(shù)與未約簡(jiǎn)的數(shù)互素?！?［9］，116頁(yè))

第二類解釋是將“奇”、“偶”認(rèn)為是奇數(shù)、偶數(shù)。至于將定數(shù)還是等數(shù)視為奇數(shù)、偶數(shù)，約奇、約偶怎樣約法，又有具體的不同。有七種解釋可歸入此類。

這類解釋始于四庫(kù)館臣，倪廷梅在元數(shù)格按語(yǔ)中指出:“約奇弗約偶，專為等數(shù)為偶者言之;若等數(shù)為奇者，則約偶弗約奇;而等數(shù)為五與十者，又有或約奇或約偶者矣。”(［4］，328 頁(yè))

梅榮照先生發(fā)展了這種觀點(diǎn)，認(rèn)為“‘奇’就是含有單數(shù)個(gè)‘等’的‘元數(shù)’，‘偶’就是含有雙數(shù)個(gè)‘等’的‘元數(shù)’。當(dāng)‘等’為雙數(shù)時(shí)，就用‘等’去約‘奇’，‘偶’不約;當(dāng)‘等’為單數(shù)時(shí)，就用‘等’去約‘偶’，‘奇’不約。這樣，約后兩數(shù)均為一單一雙，互素的可能就比較大。”(［10］，294 頁(yè))

錢克仁先生的解釋與梅先生的解釋大致相同。他說(shuō):“設(shè)A=ad，B=bd，d是A，B的‘等’。a為單數(shù)(雙數(shù))時(shí)，A稱為‘奇’(‘偶’)。b為單數(shù)(雙數(shù))時(shí)，B稱為‘奇’(‘偶’)。d本身或?yàn)槠?，或?yàn)榕?。……兩個(gè)問數(shù)進(jìn)行約化時(shí)，等數(shù)為偶數(shù)(雙數(shù))時(shí)，‘約奇弗約偶’;等數(shù)為奇數(shù)(單數(shù))時(shí)，‘約偶弗約奇’?？偟脑瓌t是使兩個(gè)問數(shù)求等相約后，沒有公因數(shù)?！?［11］，53頁(yè))

王翼勛先生在《秦九韶、時(shí)曰醇、黃宗憲的求定數(shù)方法》一文中討論“奇”、“偶”的含義時(shí)認(rèn)為:“奇、偶一般作為單、雙解。秦九韶的‘兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶’中的‘奇’、‘偶’是除以‘等數(shù)’后所得商數(shù)的單、雙稱為‘奇’、‘偶’?！?［12］，308頁(yè))后來(lái)，在《清代學(xué)者對(duì)“大衍總數(shù)術(shù)”的探討》一文中又明確為“奇偶一般作單雙解。兩數(shù)求等相約時(shí)，也根據(jù)除以等數(shù)后所得商數(shù)的單雙，稱兩數(shù)為奇或?yàn)榕?。兩待約數(shù)可分一奇一偶時(shí)，優(yōu)先約奇;遇有困難，再改約偶?！?［13］，320 頁(yè))

沈康身先生在解釋秦九韶求定數(shù)的方法時(shí)認(rèn)為“甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)如果是偶數(shù)，就約簡(jiǎn)這兩個(gè)數(shù)中經(jīng)約簡(jiǎn)后的商是奇數(shù)的那個(gè)數(shù)，其余一個(gè)保留不變。最大公約數(shù)如果是奇數(shù)，就約簡(jiǎn)這兩個(gè)數(shù)中經(jīng)約簡(jiǎn)后的商是偶數(shù)的那個(gè)數(shù)。”(［14］，53頁(yè))

王守義先生認(rèn)為“奇”、“偶”是指元數(shù)的單、雙，“約奇弗約偶”是指用兩個(gè)元數(shù)的等數(shù)去約奇元數(shù)而不約偶元數(shù)。(［15］，10頁(yè))

王渝生先生認(rèn)為“秦九韶的‘約奇弗約偶’不必考慮等數(shù)的單雙，‘奇’‘偶’也并非是對(duì)元數(shù)的稱謂?！s奇弗約偶’即是‘約得奇而弗約得偶’，‘奇’‘偶’是對(duì)約得數(shù)的稱謂?！?［16］，301 頁(yè))

第三類解釋認(rèn)為在化約時(shí)元數(shù)的地位與作用不同，將“奇”、“偶”釋為奇位與偶位，雖然表述不盡相同，但大意均是如此。有五種解釋可歸入此類。

李繼閔先生認(rèn)為元數(shù)兩兩連環(huán)求等時(shí)，“A1，A2，…，An要兩兩相見，不重不漏，需要規(guī)定一定的排列順序。從大衍九問的演草可見，秦九韶把它分為(n-1)變來(lái)進(jìn)行。一變:以An依次與An-1，An-2，…，A1，求等相約;二變:以An-1依次與An-2，An-3，…，A1，求等相約;……，k變:以An-k+1依次與An-k，An-k-1，…，A1，求等相約;……，n-1 變:A2與A1，求等相約。在每一變中，各元數(shù)Ai的地位不盡相同。例如，在k變中，An-k+1要與多個(gè)(n-k個(gè))元數(shù)配對(duì)相約，而其它元數(shù)僅只與An-k+1配合相約一次;為了表示這種區(qū)別，秦九韶將k變中的元數(shù)An-k+1稱之為‘偶’，而把其余的元數(shù)An-k，An-k-1，…，A1皆稱之為‘奇’。所謂‘約奇弗約偶’，是說(shuō)在k變中，一般是用等數(shù)去約處于‘奇’位的元數(shù)Aj(j＜n-k+1)，而不約處于‘偶位’的元數(shù)An-k+1?！?［17］，222頁(yè))在《秦九韶求定數(shù)算法“約‘奇’弗約‘偶’”辨析》一文中，李繼閔先生又詳細(xì)闡發(fā)了他的觀點(diǎn)，稱“元數(shù)A1，A2，…，An的排列順序是任意的”，“諸元數(shù)兩兩互約要不重不漏，需要規(guī)定一定的組合順序”，“通覽秦氏原文，‘兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶’，是說(shuō)在每一變中，兩元數(shù)求等相約，一般是以等數(shù)去約奇位上的元數(shù)，而不約偶位上的元數(shù)?！?［18］，58—59頁(yè))

莫紹揆先生在《秦九韶大衍求一術(shù)的新研究》一文中將諸元數(shù)ai化為定數(shù)時(shí)，參考求諸ai最小公倍數(shù)的方法，認(rèn)為將諸ai按其足碼大小而定先后，則方法可以說(shuō)是“兩兩連環(huán)求等，約后不約前”。具體講就是“對(duì)每對(duì)ai，aj均求其等數(shù)(ai，aj)，用這等數(shù)約aj(當(dāng)j＞i時(shí))而不約ai(約后不約前)，而且必須按下列次序求等:a1依次與a2，a3，…，an求等(一變);其次，a2依次與a3，a4，…，an求等(二變);再次，a3依次與a4，a5，…，an求等(三變);最后an-1與an求等(n-1變)。這種次序規(guī)定應(yīng)包括在‘兩兩連環(huán)求等’這句話之內(nèi)作為其固有內(nèi)容。”(［19］，181頁(yè))這個(gè)方法中按足碼的大小而定諸ai的先后，并且約后不約前，實(shí)質(zhì)上考慮的也是諸元數(shù)的位置(或者說(shuō)是地位)，雖然沒有“奇位”、“偶位”的說(shuō)法，但是卻分別將“奇”、“偶”賦予了“后位”、“前位”的意義。

李兆華先生在《秦九韶求定數(shù)法探討》一文中明確提出“元數(shù)兩兩連環(huán)求等時(shí)，先取一個(gè)依次與其它每個(gè)相配。我們把取的一個(gè)稱為‘偶’，而將與之相配的一個(gè)稱為‘奇’，這樣可與書中的術(shù)草相符。如果奇與偶有最大公約數(shù)d，以d約奇不約偶即所謂約奇弗約偶，類似地可以解釋約偶弗約奇?！?［20］，79頁(yè))

沈康身先生對(duì)“先以兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶”這句術(shù)文又有與前不同的解釋:“我們理解奇為其余，偶為隅，那么后者是說(shuō):以d1約其余的mi①諸 mi為元數(shù)，(mi，mn)=d1，i=1，2，…，n-1。，例如而不約取定在一旁(隅)的mn?！?［21］，342 頁(yè))

孔國(guó)平先生認(rèn)為，“秦九韶把元數(shù)分為奇偶，目的是確定化約的順序。在《數(shù)書九章》中，秦九韶或假定最下一數(shù)為偶，上面各數(shù)為奇;或假定最上一數(shù)為偶，下面各數(shù)為奇，概無(wú)例外?！?［22］，22 頁(yè))。

2.2 與大衍筮法中的“奇”、“偶”的關(guān)聯(lián)

我們現(xiàn)在所能了解的最早的占筮方法，記載于《周易·系辭》中:

大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時(shí)，歸奇于扐以象閏。五歲再閏，故再扐而后掛。天數(shù)五，地?cái)?shù)五，五位相得而各有合。天數(shù)二十有五，地?cái)?shù)三十，凡天地之?dāng)?shù)五十有五。此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當(dāng)期之日。二篇之策，萬(wàn)有一千五百二十，當(dāng)萬(wàn)物之?dāng)?shù)也。是故四營(yíng)而成易，十有八變而成卦。(［23］，260頁(yè))

南宋時(shí)朱熹和蔡元定在《易學(xué)啟蒙》中對(duì)占筮程序作了詳細(xì)的闡釋，使其成了為后來(lái)多數(shù)筮家所采用的筮法定式。

“分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時(shí)，歸奇于扐以象閏。五歲再閏，故再扐而后掛?！边@句話指示了筮法的大略。朱、蔡的解釋如下:

掛者，懸于小指之間。揲者，以大指食指間而別之。奇謂余數(shù)。扐者，扐于中三指之兩間也。蓍凡四十有九，信手中分，各置一手，以象兩儀。而掛右手一策于左手小指之間，以象三才。遂以四揲左手之策，以象四時(shí)。而歸其余數(shù)于左手第四指間，以象閏。又以四揲右手之策，而再歸其余數(shù)于左手第三指間，以象再閏。五歲之象:掛一，一也;揲左，二也;扐左，三也;揲右，四也;扐右，五也。是謂一變，其掛扐之?dāng)?shù)不五即九。得五者三，所謂奇也。五除掛一即四，以四約之為一，故為奇，即兩儀之陽(yáng)數(shù)也。得九者一，所謂耦②耦，通“偶”。也。九除掛一即八，以四約之為二，故為耦，即兩儀之陰數(shù)也。(［24］，493頁(yè))

從這段文字中關(guān)于“奇”、“偶”的解釋可以看出，筮法中以奇數(shù)為陽(yáng)，偶數(shù)為陰，而陰、陽(yáng)的確定要考慮“揲之以四”這個(gè)“4”的個(gè)數(shù):含有一個(gè)4的數(shù)為“奇”，含有兩個(gè)4的數(shù)為“偶”，這里的“奇”、“偶”由4的個(gè)數(shù)決定。

秦九韶在用“蓍卦發(fā)微”一題闡釋“大衍總數(shù)術(shù)”時(shí)，在術(shù)文中是借助“陰陽(yáng)象數(shù)圖”(圖1)以3的倍數(shù)確定爻的陰陽(yáng)老少:

圖1 陰陽(yáng)象數(shù)圖

《易》以三才為衍法，以法除實(shí)，所得為象數(shù)。如實(shí)有余，或一或二，皆命作一，同為象數(shù)。其象數(shù)得一為老陽(yáng)，得二為少陰，得三為少陽(yáng)，得四為老陰。得老陽(yáng)畫重爻，得少陰畫拆爻，得少陽(yáng)畫單爻，得老陰畫交爻。凡六畫乃成卦。(［3］，445頁(yè);［4］，332頁(yè))

秦九韶將49根蓍草分二、揲左，得掛、扐數(shù)后各與用數(shù)相乘，然后相加得總數(shù)，再累減衍母12，得到余數(shù)，則余數(shù)必是1至12間的整數(shù)。將余數(shù)除以3，商數(shù)必大于0且不大于4。秦氏將大于i-1且不大于i(i=1，2，3，4)的商數(shù)皆記作i，再由“陰陽(yáng)象數(shù)圖”，根據(jù)i的數(shù)值確定爻的種類。

我們只要抓住秦九韶“蓍卦發(fā)微”的思路，并以古代占筮家的立場(chǎng)來(lái)看待“奇”、“偶”，籠罩在這一問題上的迷霧就會(huì)豁然散去。參考前人涉及第二類解釋的研究，并在逐題細(xì)致驗(yàn)算的基礎(chǔ)上，我們確信，“約奇弗約偶”中的“奇”、“偶”系指等數(shù)的個(gè)數(shù)的單、雙，而非指元數(shù)的單、雙。“約奇弗約偶”就是在兩個(gè)元數(shù)化約時(shí)，約含有奇數(shù)個(gè)等數(shù)的元數(shù)而不約含有偶數(shù)個(gè)等數(shù)的元數(shù)，化約時(shí)并不考慮元數(shù)本身的單雙和等數(shù)本身的單雙。

3 “約奇弗約偶”算法解析

在《數(shù)書九章》“大衍”類九題中，“余米推數(shù)”題的模兩兩互素，“蓍卦發(fā)微”題的模特殊，“推庫(kù)額錢”題的算草中沒有求定數(shù)的過程，“分糶推原”題求定數(shù)的過程比較簡(jiǎn)單，“古歷會(huì)積”題題問不合、術(shù)草俱誤，“積尺尋源”題算草詳細(xì)、易于理解。因而，我們選擇秦氏歸入復(fù)數(shù)格算法的“推計(jì)土功”、“程行計(jì)地”和“程行相及”三題為例，詳細(xì)分析“約奇弗約偶”算法。

3.1 “推計(jì)土功”題求定數(shù)算法詳釋

依照原題，記甲=54，乙=57，丙=75，丁=72。該題求定數(shù)算草如下:

甲得五十四丈、乙得五十七丈、丙得七十五丈、丁得七十二丈，各為四縣眾夫每日筑長(zhǎng)率。按大衍術(shù)，命曰復(fù)數(shù)，列右行。以復(fù)數(shù)求總等，得三寸，以約三位多者，不約其少者，甲得五十四、乙得一十九、丙得二十五、丁得二十四，仍為元數(shù)。次以兩兩連環(huán)求等，各約之。先以丁丙求等，又以丁乙求等，皆得一，不約。次以丁甲求等，得六，只約甲五十四，得九，不約丁。次以丙與乙求等，又以丙與甲九求等，皆得一，不約。后以乙與甲九求等，得一，不約。復(fù)驗(yàn)，甲九與丁二十四猶可再約，又求等，得三，以約丁二十四，得八，復(fù)甲為二十七。(［3］，452頁(yè);［4］，356-357頁(yè))

算草顯示了秦氏的計(jì)算過程。

先求四個(gè)問數(shù)的總等，有(甲，乙，丙，丁)=(54，57，75，72)=3。由于甲 =54=3 ×18，乙 =57=3×19，丙 =75=3×25，丁 =72=3×24，可見甲含有等數(shù)的個(gè)數(shù)最少，“不約一位約眾位”，即“約三位多者，不約其少者”，故不約甲，而約乙、丙、丁三數(shù)，得甲=54，乙=19，丙=25，丁=24，為諸元數(shù)。將它們兩兩連環(huán)求等。

一變①這是表示揲蓍步驟的術(shù)語(yǔ)，秦九韶在“積尺尋源”題的算草中已經(jīng)借用來(lái)表示求等化約的步驟，此處模仿秦氏的用法。下同。:丁與諸數(shù)遍約。

(丁，丙)=(24，25)=1，不約。

(丁，乙)=(24，19)=1，不約。

(丁，甲)=(24，54)=(6 ×4，6 ×9)=6，約奇弗約偶，將甲約為9。

一變后，甲 =9，乙 =19，丙 =25，丁 =24。

二變:丙與諸數(shù)遍約。

(丙，乙)=(25，19)=1，不約。

(丙，甲)=(25，9)=1，不約。

三變:乙與諸數(shù)遍約。

(乙，甲)=(19，9)=1，不約。

三變以后，甲 =9，乙 =19，丙 =25，丁 =24。

四變:甲與諸數(shù)遍約。

(甲，丁)=(9，24)=(3×3，3 ×8)=3，約偶弗約奇復(fù)乘奇，則約丁得8，變甲為9 ×3=27，則有(甲，丁)=(27，8)=1。

此時(shí)，甲 =27，乙 =19，丙 =25，丁 =8，成為定數(shù)。

秦九韶在甲、丁兩數(shù)有續(xù)等時(shí)為什么約丁復(fù)乘甲呢?我們?cè)敿?xì)分析其求定數(shù)算法，順便對(duì)這種處理方法給出解釋。

3.1.1 將諸問數(shù)直接兩兩連環(huán)求等

Ⅰ.由甲開始化約。

(甲，乙)=(54，57)=(3 ×18，3 ×19)=3，約奇弗約偶，約乙為19。

(甲，丙)=(54，75)=(3 ×18，3 ×25)=3，約奇弗約偶，約丙為25。

(甲，丁)=(54，72)=(18×3，18×4)=18，此時(shí)不論怎樣化約，得到的兩數(shù)都不互素:若約奇弗約偶，約甲為3，有(3，72)=3;若約偶弗約奇，約丁為4，有(54，4)=2。這就是有續(xù)等的情形。按照復(fù)數(shù)格算法，此時(shí)要“以續(xù)等約彼則必復(fù)乘此，乃得定數(shù)”。于是有兩種解決辦法:

(1)(甲，丁)=(3，72)=(3 ×1，3 ×24)=3，約丁為24，則甲須乘續(xù)等3，于是丁 =24，甲 =9。此時(shí)，(甲，丁)=(9，24)=(3 ×3，3 ×8)=3，表明甲、丁兩數(shù)仍有續(xù)等。

若約奇弗約偶復(fù)乘偶，即約甲為3，變丁為24×3=72，這又回到了初有續(xù)等時(shí)的情形;若約偶弗約奇復(fù)乘奇，即約丁為8，變甲為9×3=27，這樣處理后有(27，8)=1。此時(shí)，甲 =27，乙 =19，丙 =25，丁 =8，成為定數(shù)。

(2)(甲，丁)=(54，4)=(2 ×27，2 ×2)=2，若約奇弗約偶復(fù)乘偶，則約甲為27，且丁須乘續(xù)等2，于是得甲=27，丁=4×2=8，這樣處理后有(27，8)=1。此時(shí)，甲=27，乙 =19，丙 =25，丁 =8，成為定數(shù)。

Ⅱ.由乙開始化約。一變，乙與諸數(shù)遍約。

(乙，甲)=(57，54)=(3 ×19，3 ×18)=3，約奇弗約偶，約乙為19。

(乙，丙)=(19，75)=1，不約。

(乙，丁)=(19，72)=1，不約。

一變訖，甲 =54，乙 =19，丙 =75，丁 =72。

二變，丙與諸數(shù)遍約。

(丙，甲)=(75，54)=(3 ×25，3 ×18)=3，約奇弗約偶，約丙為25。

(丙，丁)=(25，72)=1，不約。二變訖，甲 =54，乙 =19，丙 =25，丁 =72。三變，丁與諸數(shù)遍約。

(丁，甲)=(72，54)，此即方法Ⅰ中(甲，丁)=(54，72)的情形。Ⅲ.由丙開始化約。一變，丙遍約諸數(shù)。

(丙，甲)=(75，54)=(3 ×25，3 ×18)=3，約奇弗約偶，約丙為25。

(丙，乙)=(25，57)=1，不約。

(丙，丁)=(25，72)=1，不約。

一變訖，甲 =54，乙 =57，丙 =25，丁 =72。

二變，丁遍約諸數(shù)。

(丁，乙)=(72，57)=(3 ×24，3 ×19)=3，約奇弗約偶，約乙為19。

(丁，甲)=(72，54)，此即方法Ⅰ中(甲，丁)=(54，72)的情形。Ⅳ.由丁開始化約。一變，丁遍約諸數(shù)。

(丁，丙)=(72，75)=(3 ×24，3 ×25)=3，約奇弗約偶，約丙為25。

(丁，乙)=(72，57)=(3 ×24，3 ×19)=3，約奇弗約偶，約乙為19。

(丁，甲)=(72，54)，此即方法Ⅰ中(甲，丁)=(54，72)的情形。

3.1.2 將諸問數(shù)先求總等，存一位約眾位，再連環(huán)求等

Ⅰ.存丁，約甲、乙、丙三數(shù)。然后對(duì)甲=18，乙=19，丙=25，丁=72四數(shù)兩兩連環(huán)求等。

(丁，丙)=(72，25)=1，不約。

(丁，乙)=(72，19)=1，不約。

(丁，甲)=(72，18)=(18 ×4，18 ×1)=18，約奇弗約偶，約甲為 1，則有甲 =1，乙 =19，丙=25，丁=72。雖然此四數(shù)兩兩互素，但它們是由數(shù)組{18，19，25，72}化約得到的定數(shù)，并不是原題中諸問數(shù)的定數(shù)，所以必須將總等回乘①“回乘”這個(gè)步驟在秦氏諸題的算草中并未出現(xiàn)過，我們這樣做是要保證在求等化約的過程中最小公倍數(shù)保持不變。為此目的，只能用總等回乘約過的眾位，而存的那一位便不能再乘。這與有續(xù)等時(shí)“約彼則必復(fù)乘此”的道理相同。關(guān)于“復(fù)乘”的算理分析詳見［18］。，再次化約，才能求得原問數(shù)組的定數(shù)。將甲、乙、丙三數(shù)均乘以總等3后，得到甲=3，乙=57，丙=75，丁=72，將它們兩兩連環(huán)求等。不妨由甲開始化約。

(甲，乙)=(3，57)=(3 ×1，3 ×19)=3，勿使見一太多，約乙為19。

(甲，丙)=(3，75)=(3 ×1，3 ×25)=3，勿使見一太多，約丙為25。

(甲，丁)=(3，72)，此即3.1.1中方法Ⅰ的情形(1)。

Ⅱ.存丙，約甲、乙、丁三數(shù)。然后對(duì)甲=18，乙=19，丙=75，丁=24四數(shù)兩兩連環(huán)求等。

一變，丙遍約諸數(shù)。

(丙，甲)=(75，18)=(3 ×25，3 ×6)=3，約奇弗約偶，約丙為25。

(丙，乙)=(25，19)=1，不約。

(丙，丁)=(25，24)=1，不約。

一變訖，甲 =18，乙 =19，丙 =25，丁 =24。

二變，丁遍約諸數(shù)。

(丁，丙)=(24，25)=1，不約。

(丁，乙)=(24，19)=1，不約。

(丁，甲)=(24，18)=(6 ×4，6 ×3)=6，約奇弗約偶，約甲為3。

二變訖，甲=3，乙=19，丙=25，丁=24。甲、丁有續(xù)等，要再次化約。

(丁，甲)=(24，3)=(3×8，3×1)=3，約偶弗約奇復(fù)乘奇，約丁為8，變甲為3×3=9。

此時(shí)，甲 =9，乙 =19，丙 =25，丁 =8。四數(shù)雖兩兩互素，但它們只是數(shù)組{18，19，75，24}的定數(shù)，而不是原問數(shù)組的定數(shù)，所以必須將總等回乘，再次化約。將甲、乙、丁三數(shù)均乘以總等3后，得到甲=27，乙=57，丙=25，丁=24。兩兩連環(huán)求等，不妨由甲開始化約。

(甲，乙)=(27，57)=(3 ×9，3 ×19)=3，為約后無(wú)等，約乙為19。

(甲，丁)=(27，24)=(3×9，3×8)=3，約奇弗約偶，約得五而彼有十，乃約偶弗約奇，故約丁為8。此時(shí)，甲=27，乙=19，丙=25，丁=8。四數(shù)兩兩互素，成為定數(shù)。

Ⅲ.存乙，約甲、丙、丁三數(shù)。然后對(duì)甲=18，乙=57，丙=25，丁=24四數(shù)兩兩連環(huán)求等。

一變，丁遍約諸數(shù)。

(丁，丙)=(24，25)=1，不約。

(丁，乙)=(24，57)=(3 ×8，3 ×19)=3，約奇弗約偶，約乙為19。

(丁，甲)=(24，18)=(6 ×4，6 ×3)=6，約奇弗約偶，約甲為3。

一變訖，甲=3，乙=19，丙=25，丁=24。甲、丁有續(xù)等，問題轉(zhuǎn)化為“存丙”時(shí)“二變”后的情形。

3.2 “程行相及”與“程行計(jì)地”兩題秦氏失誤原因分析

3.2.1 “程行相及”題求定數(shù)算法錯(cuò)誤分析及改正

該題求定數(shù)算草如下:

次列甲、乙、丙三名日行，求總等，得五十。先約甲、丙，存乙，得甲六、乙二百五十、丙四。以甲六、丙四求等，得二。以二約甲為三，復(fù)以二因丙為八。次將乙二百五十與丙八相約，得二，乃約乙為一百二十五，復(fù)以二因丙為十六。定得甲三、乙一百二十五、丙十六為定母。(［3］，460頁(yè);［4］，363頁(yè))

記A1=甲 =300，A2=乙 =250，A3=丙 =200。依草文，先求總等，有(A1，A2，A3)=(50 ×6，50 ×5，50 ×4)=50。存乙，約甲、丙，有A1=6，A3=4。將丙與甲、乙分別求等。

(A3，A1)=(4，6)=(2 ×2，2 ×3)=2，約奇弗約偶復(fù)乘偶，得A1=3，A3=4 ×2=8。

(A3，A2)=(8，250)=(2 ×4，2 ×125)=2，約奇弗約偶復(fù)乘偶，得A2=125，A3=8 ×2=16。

此時(shí)，A1=3，A2=125，A3=16。秦氏認(rèn)為它們成為了定數(shù)。雖然此三數(shù)兩兩互素，但是它們的乘積為3×125×16=6000，而甲乙丙三數(shù)的最小公倍數(shù)為［300，250，200］=3000，且此時(shí)A3=16不能整除原問數(shù)200，由此知秦九韶得到的結(jié)果錯(cuò)誤。造成錯(cuò)誤的原因是什么呢?考察秦氏的算草，他在求等的兩數(shù)沒有續(xù)等的情況下就使用了“約彼則必復(fù)乘此”的辦法，這是致誤原因的唯一解釋，也是“大衍總數(shù)術(shù)”術(shù)文中“皆續(xù)等下用之”六字必不可少的理由。

我們將解法改正如下:

一變，丙遍約諸數(shù)。

(A3，A1)=(4，6)=(2 ×2，2 ×3)=2，約奇弗約偶，約得A1=3。

(A3，A2)=(4，250)=(2 ×2，2 ×125)=2，約奇弗約偶，約得A2=125。

一變訖，A1=3，A2=125，A3=4。雖然此三數(shù)兩兩互素，但它們不是題中原問數(shù)的定數(shù)，所以必須將總等回乘，再次化約。將甲、丙兩數(shù)均乘以總等50后，得到A1=3×50=150，A2=125，A3=4×50=200。兩兩連環(huán)求等，不妨由甲開始化約。

(A1，A2)=(150，125)=(25 ×6，25 ×5)=25，約奇弗約偶，約得五而彼有十，乃約偶弗約奇，故約得A1=6。

(A1，A3)=(6，200)=(2 ×3，2 ×100)=2，約奇弗約偶，約得A1=3。

二變訖，A1=3，A2=125，A3=200。

三變，乙與諸數(shù)遍約。

(A2，A3)=(125，200)=(25 ×5，25 ×8)=25，約奇弗約偶，約得A2=5。此時(shí)兩數(shù)有續(xù)等，需要繼續(xù)化約，要“以續(xù)等約彼則必復(fù)乘此”，于是有

(A2，A3)=(5，200)=(5 ×1，5 ×40)=5，約偶弗約奇復(fù)乘奇，得到A3=40，A2=5 ×5=25。

(A2，A3)=(25，40)=(5 ×5，5 ×8)=5，約偶弗約奇復(fù)乘奇，得到A3=8，A2=25 ×5=125。

此時(shí)，A1=3，A2=125，A3=8。三數(shù)兩兩互素，成為定數(shù)。

此題在乙、丙兩數(shù)求等時(shí)也可以這樣進(jìn)行:

(A2，A3)=(125，200)=(25 ×5，25 ×8)=25，約奇弗約偶，約得五而彼有十，乃約偶弗約奇，約得A3=8，則A1=3，A2=125，A3=8，成為定數(shù)。

3.2.2 “程行計(jì)地”題求定數(shù)過程失誤分析

該題求定數(shù)算草如下:

置甲三百里、乙二百四十里、丙一百八十里，先求總等，得六十。只存甲三百勿約，乃約乙二百四十，得四。次約丙一百八十，得三。各為元數(shù)，連環(huán)求等。先以丙乙求等，得一，不約。次以丙甲求等，得三。于術(shù)約奇不約偶。蓋以等三約三，因得一為奇，慮無(wú)衍數(shù)，乃便徑先約甲三百為一百。復(fù)以等三乘丙三，為九。既丙九為奇，甲百為偶，此即是約奇弗約偶。次以乙四與甲百求等，得四。以四約一百，得二十五，為甲;復(fù)以四乘乙四得一十六，為乙;各為定母。(［3］，458頁(yè);［4］，360—361頁(yè))

記甲=300，乙=240，丙=180。依草文，先求總等，有(甲，乙，丙)=60。存甲，約乙、丙，有甲=300，約得乙=4，丙=3。將丙與乙、甲分別求等。

(丙，乙)=(3，4)=1，不約。

(丙，甲)=(3，300)=(3 ×1，3 ×100)=3，約偶復(fù)乘奇，約甲為100，丙乘3 為9。

再將乙與甲求等。

(乙，甲)=(4，100)=(4 ×1，4 ×25)=4，勿使見一太多，約甲復(fù)乘乙，約甲為 25，乙乘4為16。

此時(shí)，甲=25，乙=16，丙=9。秦九韶認(rèn)為此三數(shù)就是定數(shù)。

通過驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)化約后得到的甲=25，乙=16，丙=9三數(shù)滿足前述定理中的三個(gè)條件，確實(shí)成為了定數(shù)。我們剛剛借助“程行相及”題表明了只有在求等的兩數(shù)有續(xù)等的情況下才能使用“約彼則必復(fù)乘此”的辦法，可是本題在丙與甲、乙與甲化約時(shí)并沒有續(xù)等就使用了這個(gè)辦法，也求得了正確的定數(shù)，這又是為什么呢?難道我們剛剛得出的結(jié)論有問題嗎?仔細(xì)觀察本題的三個(gè)問數(shù)，這一困惑便可迎刃而解。

此題三數(shù)的總等是(甲，乙，丙)=(300，240，180)=(60 ×5，60 ×4，60 ×3)=60。而由此式又可看出(甲，乙)=60，(甲，丙)=60，(乙，丙)=60，表明本題諸問數(shù)的總等與所有的連環(huán)等數(shù)都相等。按照草文，先求總等，存甲、約乙和丙，表面上看起來(lái)是用總等60分別去約乙240，丙180，得到乙=4，丙=3。而實(shí)際上這個(gè)“存一約眾”的過程等同于完成了下述連環(huán)求等的化約操作①不論是“約奇弗約偶”還是“約偶弗約奇”，化約后的兩數(shù)都不互素，所以此處怎樣化約就無(wú)關(guān)緊要了。:

(甲，乙)=(300，240)=(60 ×5，60 ×4)=60，約乙為4。

(甲，丙)=(300，180)=(60 ×5，60 ×3)=60，約丙為3。

這兩種化約過程之所以能夠等同，就是因?yàn)楸绢}諸問數(shù)的總等等于所有的連環(huán)等數(shù)?？墒腔s之后，(甲，乙)=(300，4)=4，(甲，丙)=(300，3)=3，表明甲與乙、甲與丙都尚有等數(shù)。這樣一來(lái)，“存一約眾”后再將丙與甲、乙與甲分別求等，就屬有續(xù)等的情形了，秦氏這時(shí)候使用“約彼則必復(fù)乘此”的辦法就是理所當(dāng)然的了。正是本題諸問數(shù)的總等等于所有的連環(huán)等數(shù)這個(gè)事實(shí)成就了秦九韶的“歪打正著”。

4結(jié)語(yǔ)

以今天的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看來(lái)，秦九韶“大衍總數(shù)術(shù)”中的問數(shù)化定數(shù)部分給出了將有解的同余方程組的諸不兩兩互素的?；癁閮蓛苫ニ氐姆椒ǎ蚨鴮⑦@個(gè)算法施用于無(wú)解的同余方程組的模是沒有什么意義的。對(duì)于任意給出的一組正整數(shù)(不是同余方程組的模)，利用“大衍總數(shù)術(shù)”中的問數(shù)化定數(shù)算法一定可以求出這組數(shù)的最小公倍數(shù)。

秦九韶化問數(shù)為定數(shù)有兩條途徑:一是將諸問數(shù)直接兩兩連環(huán)求等;一是將諸問數(shù)先求總等，存一(位)約眾(位)，然后再連環(huán)求等。不論通過哪個(gè)途徑來(lái)化約，連環(huán)求等時(shí)的根本原則是“約奇弗約偶”。其中的“奇”、“偶”系指等數(shù)的個(gè)數(shù)的單、雙，而非指元數(shù)的單、雙?！凹s奇弗約偶”就是在兩個(gè)元數(shù)化約時(shí)，約含有奇數(shù)個(gè)等數(shù)的元數(shù)而不約含有偶數(shù)個(gè)等數(shù)的元數(shù)，化約時(shí)并不考慮元數(shù)本身的單雙和等數(shù)本身的單雙。特別地，按照“約奇弗約偶”的原則化約后，如果得到的兩數(shù)不互素，就可以改用“約偶弗約奇”的原則去化約，目的是使約后的兩數(shù)互素。秦氏所說(shuō)的“或約得五而彼有十，乃約偶而弗約奇”，指的就是這種情形。當(dāng)不論采用“約奇弗約偶”還是“約偶弗約奇”的原則進(jìn)行化約后得到的兩數(shù)仍不互素，那就先將約后的數(shù)擱置在一邊，用沒約的那個(gè)數(shù)與其余各數(shù)遍約之后，再與擱置的數(shù)再次求等化約。這即是秦氏所說(shuō)的有續(xù)等的情況，此時(shí)就要用“復(fù)乘求定之理”“以續(xù)等約彼則必復(fù)乘此”——約奇弗約偶(或約偶弗約奇)后，要用等數(shù)乘不約的數(shù)。這樣操作之后如果兩數(shù)仍不互素，則要重復(fù)求續(xù)等、以續(xù)等約彼乘此的步驟，直至諸數(shù)兩兩互素，成為定數(shù)。

不論是直接兩兩連環(huán)求等，還是先求總等、存一(位)約眾(位)、再連環(huán)求等，諸問數(shù)的地位是相同的，它們的排列順序以及求等化約的先后次序不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的正確性。存哪個(gè)問數(shù)、或者從哪個(gè)問數(shù)開始化約，這都是任意的，不需要什么原則或規(guī)定。兩種求定數(shù)的途徑有異曲同工之妙，得殊途同歸之效。秦九韶的算法具有一般性，是一個(gè)通法。

致 謝本文由作者博士學(xué)位論文中的兩節(jié)修改而成，感謝導(dǎo)師劉鈍研究員的悉心指導(dǎo)。李兆華教授對(duì)本文初稿提出有益建議，郭金海博士幫助復(fù)印資料，作者在此表示謝意。作者還要感謝論文評(píng)審人的建議及幫助。

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