任 雋，陳東柏，戴王強(qiáng)，陳運(yùn)平，潘紀(jì)順

（1.長安大學(xué)，陜西 西安 710064；2.陜西省地震局，陜西 西安 710068；3.中南大學(xué)地學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院計(jì)算地球科學(xué)研究中心，湖南 長沙 410083；4.華北水利水電學(xué)院資源與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450011）

0 引言

地殼巖石的非線性響應(yīng)是一個(gè)十分豐富的話題，可廣泛應(yīng)用于地震工程、無損檢測和材料科學(xué)。地殼巖石實(shí)際上是一種高度多組分、非均勻的材料，它的宏觀彈性特性比組成它的材料要復(fù)雜得多。組成巖石的礦物顆粒本身是非常堅(jiān)硬的，巖石中還包含顆粒間的接觸、微裂紋、孔洞等，它們之間由粘結(jié)介質(zhì)等聯(lián)接在一起形成彈性體。顆粒的剛度較大，受到載荷作用時(shí)變形較??；粘結(jié)介質(zhì)的剛度較小，受到載荷作用時(shí)變形較大；裂紋受到載荷作用時(shí)會滑動、閉合或者擴(kuò)展。這樣巖石由硬軟兩部分組成：堅(jiān)硬部分為巖石顆粒，軟弱部分為膠結(jié)物、位錯(cuò)、微裂紋和孔洞等粘結(jié)系統(tǒng)。巖石顆粒在體積上比粘結(jié)系統(tǒng)要大得多，它們的力學(xué)性質(zhì)也相差很大，巖石強(qiáng)烈的非線性是與其硬軟兩部分的存在相關(guān)的。粘結(jié)系統(tǒng)只占了巖石相當(dāng)小的體積，但是受到載荷作用時(shí)變形較大，對巖石的力學(xué)性質(zhì)的影響最大，幾乎可以說是它們決定了巖石的力學(xué)性質(zhì)［1］。巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受到載荷作用時(shí)，表現(xiàn)出的不是線彈性，而是非線性，由于巖石特殊的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，這種非線性不同于一般的非線性彈性材料，包括滯后［2－9］和弛豫（慢動力）［10－12］。對于周期性荷載的巖石來說，其表現(xiàn)出來的非線性彈性關(guān)系體現(xiàn)在應(yīng)變與應(yīng)力之間的相位滯后［6－7］?，F(xiàn)在也逐漸清楚，粘結(jié)系統(tǒng)中的流體對非線性響應(yīng)的貢獻(xiàn)特別顯著，但是，粘結(jié)系統(tǒng)和和孔隙流體究竟是如何影響非線性響應(yīng)的，目前還沒有搞清楚。

導(dǎo)致這些不尋常行為的物理機(jī)制到目前還沒有揭開。巖石是固結(jié)材料，因而石英晶體的彈性響應(yīng)與石英砂巖的彈性響應(yīng)之間幾乎沒有什么關(guān)聯(lián)。巖石的彈性性質(zhì)主要是顆粒間的粘結(jié)自然屬性的結(jié)果，而不是這些顆粒本身。巖石內(nèi)部的粘結(jié)系統(tǒng)對溫度、孔隙流體的屬性和應(yīng)力是十分敏感的。因此，正是巖石的粘結(jié)系統(tǒng)的響應(yīng)使其具有非線性和滯后性。

巖石適當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ捅仨毰c它們復(fù)雜的結(jié)構(gòu)相聯(lián)系。本文將介紹幾個(gè)簡單的物理模型，以探討巖石非線性響應(yīng)的微觀機(jī)理。

在傳統(tǒng)的彈性理論中，介質(zhì)非線性的理論模型是基于應(yīng)變能方程的展開或者保留低階（二階和三階）非線性項(xiàng)的應(yīng)力－應(yīng)變狀態(tài)方程。對于傳統(tǒng)的能量展開，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可以寫成

其中M是彈性模量；β和δ是非線性系數(shù)。但是對于具有滯后和弛豫特性的地球材料來說，本構(gòu)關(guān)系式可能會顯得復(fù)雜而多樣。經(jīng)常見到的例子是振幅相關(guān)的摩擦：當(dāng)介質(zhì)受到相當(dāng)大的震蕩作用時(shí)，可觀察到異常高的能量損失；楊氏模量會隨著應(yīng)變振幅的變化而變化。在某種程度上，這樣的材料顯示了滯后行為，這種滯后行為與機(jī)械缺陷的不可回復(fù)運(yùn)動（也就是微塑性變形）有關(guān)。振幅相關(guān)的摩擦效應(yīng)在很大的頻率（1～106Hz）、溫度（300～3 800K）、和變形振幅（ε～10－6～10－2）范圍內(nèi)受到關(guān)注。為了解釋這些事實(shí)，必須尋找?guī)r石靜態(tài)和動態(tài)行為的更普遍的模型。

1 顆粒接觸模型

最早用來解釋巖石非線性的模型是赫茲顆粒接觸模型，它是把巖石作為干燥的接觸顆粒的系統(tǒng)看待的（圖1）。這些接觸比基質(zhì)材料－顆粒本身要軟得多，因此在介質(zhì)的非線性彈性響應(yīng)中起到主要的作用。在這個(gè)模型中，兩個(gè)半徑為R的顆粒發(fā)生了接觸，在受到正壓力F的作用下，兩個(gè)顆粒在接觸點(diǎn)上發(fā)生了彈性變形。分離距離（即顆粒中心連線之間的距離）的改變量Δ為［13］

式中：E為材料的楊氏模量；ν為泊松比；R是顆粒半徑。

圖1 赫茲接觸模型示意圖Fig.1 Sketch of the Hertz contact model.

巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，巖石受到靜態(tài)壓力引起一個(gè)固定的預(yù)應(yīng)變ε0。在地殼巖石中，預(yù)應(yīng)力可能來自地球上層的壓力，也可能來自巖石材料接觸點(diǎn)處堅(jiān)硬的固結(jié)部分，或者兩者兼而有之。對于小的一維擾動，二次和三次非線性系數(shù)為

非線性參數(shù)（式3）不依賴于顆粒尺寸或它們的成分，而是依賴于預(yù)應(yīng)變ε0，也就是依賴于靜態(tài)壓力，這意味著超壓越大，材料的非線性越小。

上世紀(jì)六七十年代就開始研究巖石中地震波的非線性衰減現(xiàn)象了，這涉及到了巖石滯后的物理微觀機(jī)制問題。經(jīng)典的解釋是顆粒接觸面和顆粒邊界之間的滯后摩擦滑動［14－16］。1971年Johnson等人在赫茲接觸模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了粘合力學(xué)模型——JKR模型［17］。JKR模型把表面能γ考慮進(jìn)去，力f和位移δ之間的關(guān)系由參數(shù)的形式給出［17］

其中b為微接觸面半徑；f0和δ0為歸一化常數(shù)，f0＝πrγ，δ0＝ （3πγ（1－ν2）／（2E）。

圖2為JKR模型的力學(xué)描述，其力－位移關(guān)系考慮了微觀粘合滯后。圖2中的作用力可以分為滯后力fH（純矩形框）和非滯后力fNH（純赫茲曲線）兩部分。當(dāng)從大的負(fù)擾動值增加位移時(shí)，沒有接觸也沒有力。直到位移是零的時(shí)候，接觸突然出現(xiàn)，力為負(fù)值，那是粘著吸力。對于正擾動值，接觸依然存在，這時(shí)候遵循赫茲型接觸定律。反過來，當(dāng)從大的正擾動值減小位移到小于0時(shí)，粘著吸力并沒有消失，直到某個(gè)臨界值時(shí)力才又回歸到0。滯后轉(zhuǎn)換的方向如箭頭所示，其力－位移曲線的典型行為是滯后的。

圖2 JKR接觸模型的本構(gòu)關(guān)系Fig.2 The constitutive relation of JKR contact model.

上世紀(jì)90年代，Tutuncu等人指出傳統(tǒng)的理論在高圍壓下實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論有明顯的偏離，用粘合滯后來解釋滯后和能量損失［18，8］。即使是接觸部分受到強(qiáng)烈的擠壓，顆粒間的摩擦仍然是很小的。

2 孔隙流體的作用

流體的存在極大地影響了巖石的線性特征（聲速、能量損失），這些效應(yīng)在唯象Biot理論框架中要經(jīng)?？紤]到，Biot理論提供了最好的定量描述［19］。Khanzanehdari和Sothcott［20］通過聲學(xué)裝置測量了砂巖的動態(tài)體積模量和剪切模量，觀察到動態(tài)剪切模量隨流體飽和而引起的變化與飽和流體的類型和粘滯性、巖石的微結(jié)構(gòu)和施加壓力有密切的關(guān)系，認(rèn)為粘滯耦合、自由表面能的減少以及局部和全局流動引起的頻散是造成動態(tài)剪切模量隨流體飽和而變化的原因。

巖石的非線性彈性顯著地受到孔隙流體存在的影響［8，21－27］。下面簡單地討論一下基于濕赫茲接觸的非線性模型。最簡單的例子是顆粒間的空間100%充滿了流體（100%飽和），這時(shí)流體對顆粒接觸提供了額外的彈性效應(yīng)，其狀態(tài)方程（忽略原子流體的非線性）具有以下的形式［22］

其中Kf和Ks分別是液相和固相的體積模量；φ是孔隙率。關(guān)系式（5）預(yù)測了在整個(gè)介質(zhì)中非線性會降低，但是它只應(yīng)用于接近100%流體飽和的情況。這是很自然的：水填充到孔隙中會使材料變硬［26－27］。但是，對于相對小的飽和度（比如小于30%），非線性反而會增加［26－27］，因?yàn)檫@時(shí)還要考慮毛細(xì)和偶極作用力對顆粒耦合的影響。為了描述這種效應(yīng)，似乎有必要考慮由于顆粒之間的薄液膜而作用在顆粒上的力。Tutuncu和Sharma從熱力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，具體地考慮了這些力的作用，他們的預(yù)測與聲波速和衰減測量是相當(dāng)符合的［23］。

席道瑛等［24］認(rèn)為，巖石孔隙流體的粘滯性對滯后現(xiàn)象有影響。在循環(huán)外力作用下，存在于顆粒接觸面之間的孔隙流體將產(chǎn)生震蕩運(yùn)動，而粘滯性大的流體不容易在孔隙巖石中流動，因而其滯后程度會大一些。Tutuncu等認(rèn)為孔隙流體的化學(xué)特性對巖石內(nèi)部的粘滑移動和顆粒接觸粘合滯后有明顯的影響［8］?；诹黧w－蒸汽平衡的理論，Van Den Abeele等［25］開展了流體對粘結(jié)系統(tǒng)作用的研究。對于小于微米級的孔隙尺度來說，流體的影響是很強(qiáng)烈的，并用PM空間滯后單元解釋了少量水的宏觀效應(yīng)。

3 Granato—Lucke模型

在很多的滯后材料里，粘結(jié)系統(tǒng)是晶體的，這樣粘結(jié)系統(tǒng)的晶格內(nèi)部的位錯(cuò)能令人信服地產(chǎn)生非線性響應(yīng)。早在1956年，Granato和Lucke（GL）就建議了一個(gè)基于金屬位錯(cuò)的物理模型。為了描述彈性變形，他們在牽住了雜質(zhì)原子的一段位錯(cuò)線和細(xì)繩的運(yùn)動之間做了模擬（圖3（a））。當(dāng)應(yīng)力增加時(shí)（通常是剪切應(yīng)力），位錯(cuò)象一條條細(xì)繩一樣產(chǎn)生變形，直到在某個(gè)臨界應(yīng)變時(shí)它們從晶體結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)之間的所有雜質(zhì)原子中分離出來。結(jié)果物質(zhì)變得更軟，從而導(dǎo)致了應(yīng)力－應(yīng)變有關(guān)的強(qiáng)烈的非線性（圖3（b）中的實(shí)線）。這個(gè)過程在原子尺度上是不可逆的：在減小的應(yīng)力作用下，系統(tǒng)將沿著"軟"線回到平衡位置。然而，導(dǎo)致的平衡狀態(tài)在誘發(fā)位錯(cuò)起作用的前后可以是相同的。這個(gè)模型也體現(xiàn)了慢動力現(xiàn)象，這是因?yàn)槠胶鉅顟B(tài)需要一些時(shí)間才能恢復(fù)。實(shí)際上，粘結(jié)點(diǎn)之間的長度是統(tǒng)計(jì)分布的，使得滯后回線變光滑（圖3（b）中的虛線）。GL模型的混合模型包括了其它方面的特征如頻率依賴性。盡管有一些不足，這個(gè)模型確實(shí)是滯后動力行為方面一個(gè)開拓性的微觀模型。

圖3 繩形位錯(cuò)的Granato－Lucke模型Fig.3 Granato－Lucke model of string－like dislocations.

如果我們考慮一個(gè)三角形應(yīng)力－應(yīng)變曲線（圖3（b）），每個(gè)單元（細(xì)繩）具有給定的應(yīng)變，那么在相關(guān)平面上幾乎是一個(gè)直角三角形回線。這與后面提到的PM空間很相似。確實(shí)，如果我們有這些元素的分布，就可以得到與PM空間模型相同的縮放比例（直角三角形而不是矩形）。這意味著PM空間模型中的HMU（滯后細(xì)觀單元）可以定性地類似于GL位錯(cuò)，顆粒之間的接觸面具有切線變形。

對于巖石而言，位錯(cuò)的作用還不是明顯的。對于一些含非晶質(zhì)粘結(jié)材料如硅土，位錯(cuò)并不存在。而對于像方解石之類的晶體材料，位錯(cuò)還是存在的。從能量的角度來說，位錯(cuò)機(jī)制的尺度正好是非線性響應(yīng)機(jī)制的尺度。

4 PM模型——聯(lián)系微觀和宏觀的橋梁

在微觀物理機(jī)制和宏觀力學(xué)現(xiàn)象之間，往往缺乏一個(gè)溝通的中間環(huán)節(jié)，使得從微觀物理機(jī)制的假設(shè)中推導(dǎo)得到的結(jié)果與宏觀力學(xué)現(xiàn)象存在較大的偏離，有時(shí)甚至完全不能解釋一些宏觀力學(xué)現(xiàn)象。因此，在微觀和宏觀之間，有時(shí)需要細(xì)觀作為過渡和溝通的橋梁。

PM模型就是一個(gè)基于巖石細(xì)觀尺度的唯象模型。PM模型的主要思想是系統(tǒng)內(nèi)存在大量的具有滯后性的小單元，這些小單元在性質(zhì)上有一定的分布規(guī)律，其自身的變化過程共同影響系統(tǒng)并使系統(tǒng)產(chǎn)生非線性滯后效應(yīng)。這就是滯后細(xì)觀單元（HMU），它實(shí)際上是巖石中存在的微裂隙、連接點(diǎn)、接觸面、顆粒邊界等復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征的抽象簡化。每個(gè)個(gè)體的HMU的具有一對數(shù)值σ0和σc，分別代表打開和關(guān)閉應(yīng)力。如圖4所示，對于某個(gè)給定的HMU，從給定的壓力數(shù)值σ＜σc開始，我們假定狀態(tài)變量r＝1，一直保持這種狀態(tài)，直到σ＝σc時(shí)r變?yōu)?；但是，當(dāng)σ從大于σc的數(shù)值減少到σ0時(shí)，狀態(tài)變量r卻沿著另外的路線返回，即r一直保持為0，直到σ＝σ0時(shí)才又變?yōu)?。這樣，HMU是滯后的，對不同的打開和閉合應(yīng)力產(chǎn)生響應(yīng)，因此單元和作為整體的系統(tǒng)的彈性響應(yīng)依賴巖石的應(yīng)力歷史。

圖4 HMU的滯后示意圖Fig.4 Sketch of HMU hysteresis.

一個(gè)應(yīng)力σc時(shí)閉合，σ0時(shí)打開的HMU位于PM 空間中的點(diǎn)（σc，σ0），設(shè)在某個(gè)應(yīng)力σ作用下處于狀態(tài)變量r＝0的HMU占整個(gè)HMU數(shù)目的比例為n（E），則相應(yīng)的應(yīng)變?yōu)椋?6］

其中α為與細(xì)觀彈性材料有關(guān)的常數(shù)［6］，這就是具有滯后回線和離散記憶的應(yīng)力－應(yīng)變狀態(tài)方程。

巖石滯后非線性的物理機(jī)制的探究主要集中于巖石內(nèi)部的粘結(jié)系統(tǒng)。PM模型可以把準(zhǔn)靜態(tài)數(shù)據(jù)與聲速數(shù)據(jù)（動態(tài)應(yīng)力－應(yīng)變數(shù)據(jù)）聯(lián)系在一起，也就是說，從準(zhǔn)靜態(tài)得到的模量可以用來預(yù)測動態(tài)模量［27］。通過巖石內(nèi)部的粘結(jié)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)描述，把準(zhǔn)靜態(tài)與動態(tài)數(shù)據(jù)聯(lián)系了起來。粘結(jié)系統(tǒng)被模擬為具有復(fù)雜彈性特性的細(xì)觀彈性單元的系統(tǒng)，這種復(fù)雜彈性特性由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所確定，而細(xì)觀彈性單元與賦予巖石特性的物理機(jī)制之間的關(guān)系有待建立。

PM模型可以解釋巖石的滯后和離散記憶等傳統(tǒng)非線性理論難以解釋的現(xiàn)象。PM模型不僅能逼真地模擬各種形態(tài)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線、“X”形切線模量和泊松比以及離散記憶特征［5］，描述巖石的靜態(tài)模量和動態(tài)模量之間的關(guān)系［29］，了解多孔巖石自適應(yīng)調(diào)整的頻率和溫度效應(yīng)［30］，而且可以用來解釋孔隙流體在波傳播中的影響［25］。在地震波的非線性彈性傳播研究中，PM模型已經(jīng)成為描述孔隙介質(zhì)的非線性現(xiàn)象的重要工具。同時(shí)它對理解巖石滯后非線性的機(jī)制和尺度是很重要的。

5 結(jié)語

上述細(xì)觀非線性模型可以作為描述巖石和其他固結(jié)顆粒材料的非線性聲學(xué)特性的基礎(chǔ)，給出了強(qiáng)非線性和非經(jīng)典現(xiàn)象的解釋。赫茲接觸模型是具有多尺度和滯后特性的經(jīng)典模型，它預(yù)測了巖石中強(qiáng)烈的非線性；軟的粘結(jié)系統(tǒng)幾乎決定了巖石的力學(xué)性質(zhì)，粘結(jié)系統(tǒng)中的流體對非線性響應(yīng)的貢獻(xiàn)特別顯著，但是目前還沒有搞清楚粘結(jié)系統(tǒng)和和孔隙流體究竟是如何影響非線性響應(yīng)的；GL模型是一個(gè)基于金屬位錯(cuò)的物理模型，這是滯后動力行為方面一個(gè)開拓性的微觀模型，但是在應(yīng)用于巖石力學(xué)非線性行為的時(shí)候還需慎重，因?yàn)椴⒎撬袔r石的位錯(cuò)作用都是明顯的；PM模型是一個(gè)基于巖石細(xì)觀尺度的唯象模型，它對理解巖石滯后非線性的機(jī)制和尺度是很重要的。此外，現(xiàn)實(shí)情況是非常復(fù)雜的，實(shí)際材料的細(xì)觀非線性的物理理論需要更深入的研究。

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