葉小華 岑豫皖 趙 韓 葉金杰

1.合肥工業(yè)大學，合肥，230009 2.安徽工業(yè)大學，馬鞍山，243002

當xv＜0，即滑閥閥芯向右移動時，定義流進和流出非對稱缸的流量比：

由式（5）和式（9）可知，閥控非對稱缸的功率級滑閥的線性化流量方程在形式上是一致的，可以寫為

但是在兩個方向上的零位流量增益和零位流量－壓力系數(shù)是不同的，所以系統(tǒng)在兩個方向上的穩(wěn)定性、響應速度和控制精度是不同的。

液壓彈簧剛度是指液壓缸兩工作腔完全封閉時，在外負載和液壓泵的作用下，因油液壓縮性所形成的動態(tài)彈簧剛度［7］?，F(xiàn)假設：① 液壓缸無摩擦無泄漏；②液壓缸兩工作腔充滿高壓液壓油，并完全封閉；③ 有效體積彈性模量βe為常數(shù)；④忽略黏性阻力和液動力。

如圖2a所示，因活塞在移動過程中非對稱缸兩腔油液始終存在壓力，所以可等效為如圖2b所示的質量、液壓彈簧系統(tǒng)，由虎克定律得

基于液壓彈簧剛度的閥控非對稱缸建模仿真

葉小華1，2岑豫皖2趙 韓1葉金杰2

1.合肥工業(yè)大學，合肥，230009 2.安徽工業(yè)大學，馬鞍山，243002

針對一般方法建模時所定義的負載壓力未能充分考慮非對稱缸結構的不對稱性和初始位置時液壓彈簧剛度并非最小的問題，提出用等效承壓面積加權平均的方法重新定義負載壓力，推導出了滑閥線性化流量方程；利用液壓彈簧剛度理論分析液壓固有頻率最小時非對稱缸的初始位置和總容積，建立了閥控非對稱缸的數(shù)學模型，提出了相應的設計準則，通過仿真和試驗分析了該模型的動態(tài)特性，且與一般模型進行了比較。結果表明，該模型較一般模型更精確，更接近工程實際。

非對稱缸；液壓彈簧剛度；建模；仿真

0 引言

非對稱缸較對稱缸來說具有體積小、結構簡單、承載能力大等優(yōu)點，在工程中得到廣泛應用。由于非對稱缸結構的不對稱性，給建模和控制帶來了困難，其建模問題也成為近年來國內理論界關注的一個熱點。然而，目前建模的主要研究重點放在負載壓力和負載流量的定義上，文獻［1－2］定義負載壓力時沒有考慮非對稱缸結構的不對稱性，文獻［3－6］定義負載壓力時雖然考慮了非對稱缸結構的不對稱性，但存在兩方面的問題：一方面是定義的負載壓力是否符合工程實際的問題；另一方面是初始位置的確定以及是否應該以此認為此時的液壓固有頻率最低的問題。本文用等效承壓面積加權平均的方法重新定義負載壓力，用液壓彈簧剛度理論分析非對稱液壓缸的初始位置和總容積，確定非對稱缸最小固有頻率，以建立閥控非對稱缸更為精確的數(shù)學模型。

1 閥控非對稱缸的數(shù)學模型

1.1 功率級滑閥的線性化流量方程

由于非對稱缸結構的不對稱性，使得流進和流出缸的流量不相等，需重新建立滑閥線性化流量方程。閥控非對稱缸原理圖見圖1。

圖1 閥控非對稱缸原理圖

當滑閥閥芯位移xv＞0，即滑閥閥芯向左移動時，定義流進和流出非對稱缸的流量比：

式中，α為流量比，工程上一般為0.5≤α≤1；q1為流入或流出非對稱液壓缸無桿腔的流量；q2為從非對稱液壓缸有桿腔流出或流入的流量；ps為供油壓力；p1為非對稱液壓缸無桿腔的壓力；p2為非對稱液壓缸有桿腔的壓力；A1為非對稱液壓缸無桿腔的有效面積；A2為非對稱液壓缸有桿腔的有效面積。

式中，ε1為比例系數(shù)；Cd為各節(jié)流窗口流量系數(shù)；W 為各節(jié)流窗口的濕周；ρ為油液密度。

當xv＜0，即滑閥閥芯向右移動時，定義流進和流出非對稱缸的流量比：

由式（5）和式（9）可知，閥控非對稱缸的功率級滑閥的線性化流量方程在形式上是一致的，可以寫為

但是在兩個方向上的零位流量增益和零位流量－壓力系數(shù)是不同的，所以系統(tǒng)在兩個方向上的穩(wěn)定性、響應速度和控制精度是不同的。

1.2 非對稱缸的液壓彈簧剛度

液壓彈簧剛度是指液壓缸兩工作腔完全封閉時，在外負載和液壓泵的作用下，因油液壓縮性所形成的動態(tài)彈簧剛度［7］?，F(xiàn)假設：① 液壓缸無摩擦無泄漏；②液壓缸兩工作腔充滿高壓液壓油，并完全封閉；③ 有效體積彈性模量βe為常數(shù)；④忽略黏性阻力和液動力。

如圖2a所示，因活塞在移動過程中非對稱缸兩腔油液始終存在壓力，所以可等效為如圖2b所示的質量、液壓彈簧系統(tǒng)，由虎克定律得

式中，Kh1為液壓缸無桿腔的液壓彈簧剛度；F1為液壓缸無桿腔產(chǎn)生的液壓彈簧力；Δp1為液壓缸無桿腔的壓力變化；xp為液壓缸活塞的位移。

圖2 液壓彈簧剛度原理圖

有效體積彈性模量為

式中，V1為液壓缸無桿腔的容積；ΔV1為液壓缸無桿腔容積的變化量。

式中，Kh2為液壓缸有桿腔的液壓彈簧剛度；F2為液壓缸有桿腔產(chǎn)生的液壓彈簧力；Δp2為液壓缸有桿腔的壓力變化；V2為液壓缸有桿腔的容積。

由于活塞在移動過程中非對稱缸兩工作腔油液始終存在壓力，所以兩液壓彈簧均處于壓縮狀態(tài)，而且是同時起作用的，所以總液壓彈簧剛度可等效為液壓彈簧的并聯(lián)，下面來證明之。

如圖2b所示，不考慮M的慣性而視其為質點，兩液壓彈簧在初始平衡位置時的預壓縮量分別為x01和x02，再設在外力F（方向向右）作用下，質點M向右移動的位移為x，則

因此總液壓彈簧剛度為兩液壓彈簧剛度Kh1和Kh2的并聯(lián)，即

對閥控非對稱缸系統(tǒng)而言，當液體壓縮性影響最大，即動力元件的液壓彈簧剛度最小時，其固有頻率最低，阻尼比最小，這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差，所以分析時應將液壓彈簧剛度最小時的活塞位置作為初始位置。

由式（15）可知，要使Kh最小，必有

式中，V01為液壓彈簧剛度最小時非對稱缸無桿腔的初始容積；V02為液壓彈簧剛度最小時非對稱缸有桿腔的初始容積；x0為非對稱缸的液壓彈簧剛度最小時無桿腔側活塞的初始位置；L為非對稱缸的最大行程（圖2a）。

1.3 非對稱缸的流量連續(xù)性方程

定義非對稱缸在無桿腔進油、有桿腔回油、活塞桿伸出時的工況為工況一，此時負載流量為

定義非對稱缸在有桿腔進油、無桿腔回油、活塞桿縮回時的工況為工況二，此時也按上述方法分析可知

式中，h2為比例系數(shù)。

1.4 非對稱缸的力平衡方程

非對稱缸在工況一時，結合式（2）有

式中，mt為活塞及負載折算到活塞上的總質量；Bp為活塞及負載的黏性阻尼系數(shù)；K為負載彈簧剛度。

1.5 非對稱缸的數(shù)學模型

在考慮負載時，以慣性負載為主，而彈性負載很小，可忽略不計，即K＝0。

首先分析非對稱缸在工況一時的非對稱缸數(shù)學模型。

在零初始條件下，對式（5）、式（25）和式（27）進行拉氏變換，并消去中間變量，經(jīng)化簡，可得非對稱缸的活塞位移xp對功率級滑閥的閥芯位移xv的傳遞函數(shù)：

式中，ωh1為工況一時動力元件的液壓固有頻率；ζh1為工況一時動力元件的液壓阻尼比。

下面分析非對稱缸在有桿腔進油、無桿腔回油情況下活塞桿縮回時的非對稱缸數(shù)學模型。

在零初始條件下，對式（9）、式（26）和式（28）進行拉氏變換，并消去中間變量，經(jīng)化簡，可得非對稱缸的活塞位移xp對功率級滑閥的閥芯位移xv的傳遞函數(shù)：

綜上所述，因閥控非對稱缸在兩個方向上的液壓固有頻率、液壓阻尼比和零位流量增益不同，為設計和控制帶來困難，所以可將式（29）和式（30）統(tǒng)一合并成下式：

并有針對地選取零位流量增益。為此，提出具體設計準則：在進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析設計時取零位流量增益為kq10，在進行響應速度和穩(wěn)態(tài)誤差計算時取零位流量增益為kq20。

用本模型計算的液壓固有頻率比一般模型計算的液壓固有頻率［2-5］要小，但阻尼比一般模型稍大。

2 實例仿真與試驗

在閥控非對稱缸驅動的某帶鋼卷取對中控制（CPC）電液位置控制系統(tǒng)中，在設計過程中采用了本文所建立的數(shù)學模型和提出的設計準則。具體仿真參數(shù)如下：液壓系統(tǒng)的供油壓力ps＝7.0MPa，油液的有效體積彈性模量βe＝700MPa，密度ρ＝0.9×103kg／m3，活塞及負載折算到活塞上的總質量mt＝4000kg，伺服閥的固有頻率ωsv＝376.92rad／s，參數(shù)ζsv＝0.44，功率級滑閥閥芯直徑d0＝13mm，非對稱缸活塞直徑D＝80mm，桿徑d＝50mm，行程L＝300mm，總泄漏系數(shù)Ctp＝5.0×10－11m3／（s·Pa），黏性阻尼系數(shù)Bp＝1.0×103N·s／m。

圖3所示為不同模型的正弦響應仿真曲線與試驗曲線，可以看出，本文模型的仿真曲線較一般模型［2－5］能更好地接近試驗曲線。從圖3中還可以看出，一般模型較實際系統(tǒng)超前，這與工程實際是不相符的。超前的原因是由于非對稱缸處于初始位置時液壓彈簧剛度并非最小，從而導致液壓固有頻率計算值偏大，液壓阻尼比的計算值偏小，最終使模型的響應偏快。圖4所示為不同模型的正弦響應誤差曲線，可以看出，本模型比一般模型的誤差更小。圖3和圖4表明，本模型的控制精度比一般模型高，這也證明了所建立的模型和提出的設計準則是正確可靠的。

圖3 不同模型的正弦響應仿真及試驗曲線

圖4 不同模型的正弦響應誤差曲線

圖5所示是分別采用本文所建模型和一般模型的階躍響應仿真曲線與試驗階躍響應曲線的比較，可以看出，本模型仿真曲線比一般模型更接近試驗曲線，仿真曲線的超調小，在峰值時間內比一般模型振蕩次數(shù)明顯減少。結果表明，本文所建模型的仿真動態(tài)性能優(yōu)于一般模型，且更接近工程實際。

3 結論

（1）本文提出用等效承壓面積加權平均的方法定義負載壓力是符合實際且有效的。

圖5 不同模型的階躍響應仿真及試驗曲線

（2）利用液壓彈簧剛度理論所建立的閥控非對稱缸的數(shù)學模型是正確可靠的，且模型的控制精度和仿真動態(tài)性能優(yōu)于一般模型，更接近工程實際。

（3）本文所提出的設計準則是正確合理的，滿足工程實際的需要。

［1］ He Xuesong，Wang Xuyong，F(xiàn)eng Zhengjin，et al.Nonlinear Modeling of Electrohydraulic Servo Injection Molding Machine Including Asymmetric Cylinder［C］／／Proceedings of the American Control Conference.Denver，CO，United States，2003：3055－3059.

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Modeling and Simulation of Hydraulic Spring Stiffness－based Asymmetrical Cylinder Controlled by Valve

Ye Xiaohua1，2Cen Yuwan2Zhao Han1Ye Jinjie2
1.Hefei University of Technology，Hefei，230009
2.Anhui University of Technology，Maanshan，Anhui，243002

Focusing on load pressure defined by asymmetrical struction of cylinder，which was sufficiently considered，and hydraulic spring stiffness was not minimal on the initial position in general modeling method，a method was proposed，that effective supporting area was weighted and meaned，and the load pressure was redefined，so flow equation for slide valve was of linearization.The initial position and total volume of asymmetrical cylinder were analyzed by applying the theory of hydraulic spring stiffness when its natural frequency was minimum，a mathematical model for asymmetrical cylinder was established，and relevant design rules were developed，dynamic characteristics of the model were analyzed by simulation and experiments，and compared with general model.The results show，this model is more accurate than general model，and more near to real system.

asymmetrical cylinder；hydraulic spring stiffness；modeling；simulation

TH137

1004—132X（2011）01—0023—05

2010—03—25

安徽省教育廳自然科學重點研究項目（JK2009A149）；安徽工業(yè)大學創(chuàng)新團隊資助項目（TD200907）；安徽工業(yè)大學青年教師科研項目（QZ200815）

（編輯 郭 偉）

葉小華，男，1973年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院博士研究生，安徽工業(yè)大學機械工程學院講師。主要研究方向電液伺服／比例系統(tǒng)建模、控制和故障預報。岑豫皖，男，