453007 河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉晨曦 付帥

用“俯視圖法”求正方體個(gè)數(shù)

453007 河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉晨曦 付帥

利用相同小正方體搭成的幾何體的三視圖，確定或求最多(少)小正方體個(gè)數(shù)問(wèn)題，是近幾年中考考查三視圖的熱點(diǎn)之一.此類(lèi)試題不僅考查了學(xué)生掌握三視圖的程度，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力.如何快捷地求出此類(lèi)問(wèn)題的正確答案，本文介紹一種“俯視圖法”，與同行商榷.

1 “俯視圖法”的依據(jù)

1.1 位置關(guān)系

俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方.

1.2 大小關(guān)系

主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，左視圖與俯視圖寬相等.這里的長(zhǎng)、寬、高分別對(duì)應(yīng)三視圖所示物體的左右之間、前后之間、上下之間的長(zhǎng)度.

2 “俯視圖法”的步驟

第一步:畫(huà)出俯視圖;

第二步:標(biāo)出俯視圖中每個(gè)正方形中所代表的正方體個(gè)數(shù).方法是:主視圖與俯視圖遵循“列對(duì)列”，即主視圖中每列正方形總的個(gè)數(shù)寫(xiě)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的列中每個(gè)正方形中，例如主視圖的第1列上有3個(gè)正方形，則在俯視圖的第1列上每個(gè)正方形中標(biāo)上3(表示在此位置有3個(gè)正方體)，以此類(lèi)推;左視圖與俯視圖遵循“列對(duì)行”，即左視圖中每列正方形總的個(gè)數(shù)寫(xiě)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的行中每個(gè)正方形上，例如左視圖的第1列上有3個(gè)正方形，則在俯視圖的第1行上每個(gè)正方形中標(biāo)上3(表示在此位置有3個(gè)正方體)，以此類(lèi)推;

第三步:確定正方體的個(gè)數(shù)，即由第二步可得俯視圖中每個(gè)正方形中有兩個(gè)數(shù)字，取較小(若數(shù)字相同不變)的數(shù)字相加，所得的和即為正方體的個(gè)數(shù).

3 “俯視圖法”的應(yīng)用

3.1 確定小正方體個(gè)數(shù)

例1 (2010年威海)圖1是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是

A.5 B.6 C.7 D.8

解析 由主視圖可知在俯視圖第1、3列每個(gè)正方形內(nèi)填1，第2列每個(gè)正方形內(nèi)填2;又由左視圖可知，在俯視圖的第1行中每個(gè)正方形內(nèi)都填2，第2行填1，如圖2所示，重疊交叉處應(yīng)取兩次所填數(shù)字中較小的，則1+2+1+1=5，即幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是5，故選A.

3.2 求最值

(1)給出主視圖、左視圖求最大值

例2 (2010年河南)如圖3是由大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和左視圖，那么組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為 .

圖3

解析 主視圖有2列，左視圖有3列，可知幾何體的俯視圖最多為2×3的長(zhǎng)方形(如圖4)，由主視圖可知在俯視圖第1列每個(gè)正方形內(nèi)填2，第2列每個(gè)正方形內(nèi)填1;又由左視圖可知，在俯視圖的1行中每個(gè)正方形內(nèi)都填2，第2，3中行每個(gè)正方形內(nèi)都填1，如圖4所示，重疊交叉處應(yīng)取兩次所填數(shù)字中較小的，把較小的數(shù)字相加得7，所以總體上最多由7個(gè)正方體組成.故填7.

(2)給出主視圖、俯視圖求最小值

圖4

例3 (2010年深圳)如圖5，是一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是 個(gè).

圖5

解析 主視圖的第1列有3個(gè)正方形，在俯視圖第1列每個(gè)正方形內(nèi)都應(yīng)填3，但題中要求的是最少的正方體個(gè)數(shù)，于是在該列中至少有一個(gè)正方形內(nèi)填3，其余填1，同理，在俯視圖中的第3列中至少有一個(gè)正方形內(nèi)填2，其余填1，第2列中正方形內(nèi)只能填1，如圖6所示，所以能組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是9個(gè)，故填9.

3.3 求可能值

例4 如圖7，組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能值為————.

圖7

圖8

圖9

解析 主視圖的第1列有1個(gè)正方形，在俯視圖第1列的正方形內(nèi)填1，主視圖的第2列有2個(gè)正方形，在俯視圖第2列的每個(gè)正方形內(nèi)填2，主視圖的第3列有3個(gè)正方形，在俯視圖第3列的每個(gè)正方形內(nèi)填3，如圖8所示，于是這樣得到的是小正方體塊數(shù)最多的情況，此時(shí)11塊;保持俯視圖中第1列的個(gè)數(shù)不變，在俯視圖中的第2，3列中分別至少有一個(gè)正方形內(nèi)填2和3，其余填1，如圖9所示，這樣得到的是小正方體塊數(shù)最少的情況，此時(shí)8塊，所以8≤n≤11，因?yàn)?n為整數(shù)，故 n=8，9，10和11.

20110325)