秦美青

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東菏澤274015)

設(shè)X是集合,集合X上的所有部分變換在一般映射的合成運(yùn)算下做成的半群稱(chēng)為部分變換半群[1],記為PX。下面,筆者主要給出當(dāng)集合X是有限集時(shí),部分變換半群RX的子半群S為R-平凡子半群、L-平凡子半群、J-平凡子半群的充要條件。

1 基本概念

定義1[2]設(shè)S為半群,ρ為S上的等價(jià)關(guān)系,若對(duì)每個(gè)a,b∈S,aρb?a=b,則等價(jià)關(guān)系ρ稱(chēng)為平凡的。

定義2[3]設(shè)S為半群,若對(duì)每個(gè)a∈S,存在m,r∈IN,使得am+r=am,則稱(chēng)半群S為周期的,特別地,若對(duì)每個(gè)a∈S,r=1,則半群S稱(chēng)為非循環(huán)的。

引理1[4]設(shè)S是一個(gè)周期半群,則:

1)S是R-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)a,b∈S,存在m ∈IN,使得(ab)ma=(ab)m。

2)S是L-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)a,b∈S,存在m∈IN,使得(ab)m=b(ab)m。

3)S是J-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)a,b∈S,存在m ∈IN,(ab)ma=(ab)m=b(ab)m。

2 主要結(jié)果

2.1 PX的R-平凡子半群

設(shè)S是PX的子半群,α∈ PX。Fix(α)={x ∈ domα,|xα=x},Fix(S)={Fix(α)|α∈ S}。

定理1 設(shè)S是PX的子半群,則S是R-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)α,β∈S,有Fix(αβ)=Fix(α)∩Fix(β)。

證明 設(shè)S是R-平凡的。因?yàn)閄是有限集,所以S是周期半群。任取 x∈ Fix(αβ),則x∈dom(αβ)。由 dom(αβ)=(imα∩ domβ)α-1?domα,故 x ∈ domα。因?yàn)?x ∈ Fix(αβ),所以 x=xαβ∈ dom(αβ),這樣 x=xαβ=(xαβ)αβ=x(αβ)2,又因?yàn)?x=x(αβ)2∈ dom(αβ),所以 x=xαβ=[x(αβ)2]αβ=x(αβ)3,依次類(lèi)推有 x=xαβ =x(αβ)m,再由引理 1 知 x=xαβ =x(αβ)m=x(αβ)mα=xα,即 x ∈ Fix(α)。因?yàn)閤=xα且xα∈ domβ,所以 x=xαβ=xβ,即 x ∈ Fix(β)。從而對(duì)任意 x ∈ Fix(αβ),有 x ∈ Fix(α)且 x ∈Fix(β),故 Fix(αβ)?Fix(α)∩ Fix(β)。

任取 x ∈ Fix(α)∩ Fix(β),則 x ∈ domα∩ domβ且xβ =x=xα∈ domβ,這樣 xαβ =xβ =x,即x ∈ Fix(αβ),故對(duì)任意 x ∈ Fix(α)∩ Fix(β),有 x ∈ Fix(αβ),從而Fix(α)∩ Fix(β)?Fix(αβ),這樣就有Fix(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β)。

反之 ,設(shè) α,β ∈ S 且 αRβ,則存在 γ,δ∈ S,使得 α=βγ,β=αδ。因?yàn)?所以 domα=domβ。任取 x ∈ domα=domβ,則 xα=xαδγ,即 xα∈ Fix(δγ)。再由對(duì)每個(gè) α,β∈ S,有Fix(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β),故 xα=Fix(δ)∩ Fix(γ),從而 xα=(xα)δ=xβ,即對(duì)任意 x ∈ domα=domβ有 xα=xβ,從而 α=β,故S 是R-平凡的。

2.2 PX的L-平凡子半群

定義3[5]設(shè)α∈PX,則由等價(jià)關(guān)系W(α)={(x,y)∈domα×domα|xαs=yαt,對(duì)某個(gè)s,t≥0}確定的等價(jià)類(lèi)稱(chēng)為α的軌跡。α的所有軌跡做成的集合記為Ψ(α)。

定義4[6]設(shè) Xi∈ Ψ(α),集合{x ∈ Xi|xαr=x,對(duì)某個(gè)r＞0}稱(chēng)為 Xi的kernel,記為K(Xi)。

定理2 設(shè) α∈PX,則 α是非循環(huán)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)Xi∈ Ψ(α),|K(Xi)|=1。

證明 設(shè) α∈PX是非循環(huán)的。任取x∈K(Xi),由K(X i)得定義知,存在 s＞0,使得 xαs=x,則(xαs)αm+1-s=xαm+1-s,從而 xαm+1=(xαm)α1-s,因?yàn)?α是非循環(huán)的 ,所以 xαm+1=xαm,則s=1,故 xα=x。若存在y ∈ K(Xi),則 x,y ∈ Xi?Ψ(α),即存在s1,s2 ＞0,使得 x=xα=…xαs1-1=xαs1=yαs2=yαs2-1=… =yα=y,從而|K(Xi)|=1。

反之,假設(shè)對(duì)每個(gè)Xi∈ Ψ(α),|K(Xi)|=1。因?yàn)閨K(Xi)|=1,所以任意 x ∈ K(Xi),有 x=xα,否則 ,存在 r ＞0,使得 xαr=x,這樣 xαr+1=xα,即(xα)αr=xα,從而 xα∈ K(X i)與|K(Xi)|=1矛盾 。對(duì)任意 x ∈ K(X i),顯然存在m,使得xαm+1=xαm,不妨設(shè)m充分大。任取 y且滿(mǎn)足(x,y)∈ W(α),則存在 s,t ＞0,使得 xαs=yαt。

相似可證 ,xαm=yαm。因?yàn)?xαm=xαm+1,所以 yαm=yαm+1,故 αm=αm+1,從而 α∈ P X 是非循環(huán)的。

從定理2容易得出若α是非循環(huán)的,則(x,y)∈W(α),當(dāng)且僅當(dāng) xαm=yαm,其中,m為充分大整數(shù)。

定理3 設(shè)S是P X的子半群,則S是L-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)α,β∈S,有W(αβ)=W(α)∨ W(β)。

證明 在整個(gè)證明過(guò)程中m表示充分大整數(shù)。假設(shè)S是L-平凡的,則S是非循環(huán)的且對(duì)每個(gè)α,β∈S,有(αβ)m=β(αβ)m。設(shè)(x,y)∈ W(αβ),則 x,y ∈ dom(αβ)?domα且 x(αβ)m=y(αβ)m。因?yàn)镾 是非循環(huán)的且 x ∈ domα,xα∈ domβ,所以 xαm+1=xαm,即(xα)αm=xαm,故(x,xα)∈ W(α)。因?yàn)?xα)βm=(xα)βm+1=(xαβ)βm,所以(xα,xαβ)∈ W(β)。因?yàn)?xαβα)αm=(xαβ)αm+1=(xαβ)αm,所以(xαβ,xαβα)∈W(α)。依次類(lèi)推有(x(αβ)m-1α,x(αβ)m)∈ W(β)。這樣就有(x,x(αβ)m)∈ W(α)∨ W(β)。相似可證(y,y(αβ)m)∈ W(α)∨ W(β)。因?yàn)?x(αβ)m=y(αβ)m,所以(x,y)∈ W(α)∨ W(β),從而 W(αβ)?W(α)∨W(β)。因?yàn)?x ∈ dom(αβ)m=domβ(αβ)m=dom(βα)mβ ?dom(βα)m且S 是非循環(huán)的子半群,所以(βα)m=(βα)m+1,故 x ∈ dom(βα)m+1。進(jìn)一步有 x(βα)m+1=xβ(αβ)mα=x(αβ)mα=y(αβ)mα=y(βα)m+1,故(x,y)∈ W(βα),從而 W(αβ)?W(βα)。相似可證 W(βα)?W(αβ),這樣就有 W(βα)=W(αβ)。不妨設(shè) x,y ∈dom(αβ)m=domβ(αβ)m?domβ,且(x,y)∈ W(β),則 x(αβ)m=xβ(αβ)m=xβm(αβ)m=yβm(αβ)m=y(αβ)m,這樣有(x,y)∈ W(αβ),從而 W(β)?W(αβ)。相似可證 W(α)?W(βα)=W(αβ),故 W(α)∨W(β)?W(αβ),這樣就有 W(αβ)=W(α)∨ W(β)。

反之 ,假設(shè)對(duì)每個(gè) α,β ∈ S,有W(αβ)=W(α)∨ W(β),則 W(α)=W(α2)=W(α3)= …,從而 S 是非循環(huán)的。事實(shí)上,若對(duì)任意 x ∈ domα,有 xαr=x且xα≠x,則對(duì)每個(gè) s,t≥0,有 x(αr)s=x ≠xα=xα(αr)t,這樣有(x,xα)∈ W(α)但(x,xα)? W(αr)與 W(α)=W(αr)矛盾。因?yàn)閷?duì)每個(gè) x ∈ domβ和每個(gè) α,β∈ S 有(x,xβ)∈ W(β)?W(αβ),則 x ∈ dom(αβ)m且又因?yàn)镾 是非循環(huán)的,所以對(duì)每個(gè) x ∈dom(αβ)m,有 x(αβ)m=xβ(αβ)m,即(αβ)m=β(αβ)m,故 S 是L-平凡的 。

2.3 PX的J-平凡子半群

定理4 設(shè)S是P X的子半群,則S是J-平凡的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)α,β∈S,有:

證明 首先說(shuō)明因?yàn)閄是有限集,所以S是有限半群,從而是周期半群,故在S上J=D。

假設(shè)S是J-平凡的。任取α,β∈S且αRβ,則αJβ。因?yàn)镾是J-平凡的,從而α=β,故S是R-平凡的,由定理 2知 Fix(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β)。相似可證 ,任取α,β∈ S 且αLβ,則 αJβ。因?yàn)?S 是J-平凡的,從而α=β,故 S 是J-平凡的,由定理3知 W(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β)。

反之 ,假設(shè)每個(gè) α,β∈ S,有 Fix(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β),W(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β),任取 α,β∈ S,且αJβ ,則存在 γ∈ S,使得 αRγ,γLβ,由假設(shè)知,Fix(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β),W(αβ)=Fix(α)∩ Fix(β)。再由定理2和定理3知α=β=γ,從而S是L-平凡的。

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