呂春英，敖 偉，張洪順

（重慶通信學(xué)院，重慶 400035）

0 引言

20世紀(jì)90年代初，隨著移動通信的發(fā)展，陣列信號處理技術(shù)被引入移動通信領(lǐng)域，形成了智能天線這一新的研究領(lǐng)域［1］。它結(jié)合了自適應(yīng)天線技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，通過特定準(zhǔn)則下的自適應(yīng)算法，調(diào)整各天線陣元的權(quán)值、形成波束動態(tài)跟蹤期望用戶、在干擾方向上產(chǎn)生零陷，從而實(shí)現(xiàn)智能接收［2］。其核心是智能天線實(shí)現(xiàn)的算法，而LMS算法和遞推最小二乘（RLS，Recursive Least Square）算法則是自適應(yīng)濾波兩類最基本的算法。LMS算法因其結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)定性好，一直是自適應(yīng)濾波算法中經(jīng)典、有效的算法之一，被廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)控制、雷達(dá)、系統(tǒng)辨識及信號處理等領(lǐng)域［3］。但是，固定步長LMS算法在收斂速度與穩(wěn)態(tài)失調(diào)之間存在相互矛盾。步長越小，穩(wěn)態(tài)時的失調(diào)量就越小，但算法的收斂速度慢；步長越大，收斂速度快，但失調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差增大。為解決這一矛盾，人們提出了多種變步長LMS算法，現(xiàn)所給算法也是基于變步長的一種新的LMS自適應(yīng)算法。

1 LMS算法簡介

LMS算法是由Widow和Hoff于20世紀(jì)60年代初提出的［4］。其基本思想是通過調(diào)整濾波器的自身參數(shù)，使濾波器的輸出信號與期望響應(yīng)之間的均方誤差最小。

自適應(yīng)線性濾波器的原理框圖如圖 1所示［4］。X(n)為天線陣列接收到的信號，是一個時間序列，其元素由一個信號在不同時刻的取樣值構(gòu)成；W(n)為自適應(yīng)濾波器的加權(quán)矢量，由自適應(yīng)線性濾波器的M個權(quán)系數(shù)構(gòu)成；輸出響應(yīng)表示為y(n)，d(n)為參考信號，參考信號與輸出響應(yīng)之差稱為誤差信號，用e(n)表示。其中：M為濾波器的階數(shù)；

圖1 自適應(yīng)線性濾波原理框

自適應(yīng)線性濾波器按照誤差信號均方值(或平均功率)最小的準(zhǔn)則，即：

來自動調(diào)整權(quán)矢量,E[e2(n)]為自適應(yīng)濾波器的性能函數(shù)，記為ξ。

基本LMS算法的迭代公式為：

μ為步長因子，決定自適應(yīng)算法的收斂速度，權(quán)向量均值收斂時，μ必須滿足：

λmax是輸入信號自相關(guān)矩陣R的最大特征值。在實(shí)際應(yīng)用中，自相關(guān)矩陣的最大特征值λmax通常是未知的，因此，采用LMS算法的均方收斂條件，即μ滿足不等式［5］

式中，tr[R]是自相關(guān)矩陣R的跡。根據(jù)矩陣代數(shù)知［4］：

由式(8)和式(9)，得：

雖然μ取常數(shù)時算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但其收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)失調(diào)系數(shù)大。

2 一種新的變步長LMS算法

對步長因子的各種改進(jìn)算法雖然原理不同，但都遵循同樣的調(diào)整原則，即在初始收斂階段或系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時選取較大步長，以便有較快的收斂速度實(shí)現(xiàn)對時變系統(tǒng)的跟蹤；而在算法收斂后，系統(tǒng)獲得的權(quán)值矢量已經(jīng)接近最優(yōu)權(quán)值矢量，需要選取較小的步長，用以減小穩(wěn)態(tài)誤差［6］。

現(xiàn)在滿足上述步長調(diào)整原則的基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］的思想，提出一種新的變步長LMS自適應(yīng)算法。對雙曲正割函數(shù)做簡單函數(shù)變換，令y=1-sech(x)，其中sech(x)=2/(ex+e?x)。由于該函數(shù)可作無窮階微分，所以曲線足夠平滑，同時，自變量變化很小時，函數(shù)值也變化很小。其圖形為圖2所示。

由圖2看出，y所表示的函數(shù)是一條過原點(diǎn)的光滑曲線，且在初始階段y隨x的變化緩慢；當(dāng)x接近0時，由于函數(shù)底部平滑，y隨x的變化依舊緩慢。文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］采用的數(shù)學(xué)函數(shù)均存在自變量與函數(shù)值呈線性變化的現(xiàn)象，使穩(wěn)態(tài)誤差變大。將x換成e(n)，y換成μ(n)，e(n)是μ(n)的函數(shù)，即得新的步長因子 μ(n)=β{1-sech[αe(n)γ]}，0＜μ(n)＜1/λmax。參數(shù)β控制步長曲線的取值范圍,影響算法的收斂速度,α、γ控制步長曲線在誤差接近零時的形狀［6］。新算法的迭代公式如下所示：

圖2 y=1?sech(x)

圖3為α、γ分別取1，β取0.006、0.007、0.008時，μ(n)隨e(n)的變化曲線，圖3的縱坐標(biāo)是在10-3數(shù)量級上，可以看出μ(n)隨β的增大而增大，即增大β可以加快算法的收斂速度，但為了防止發(fā)散，β不易過大。圖4為γ取1，β取0.007，α取1、2、3時，μ(n)隨e(n)的變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，μ(n)隨α正比增長，但α越大，在誤差接近0時，步長的變化就越劇烈，不利于減小穩(wěn)態(tài)誤差。圖5是α取1，β取0.007，γ取1、2、3時μ(n)隨e(n)的變化曲線。如圖所示，γ增大，收斂速度加快，在誤差接近0時，步長減小且趨于平緩，可以有效減小穩(wěn)態(tài)誤差。但經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，γ增大，穩(wěn)態(tài)誤差的穩(wěn)定性降低，算法的計(jì)算量增大，所以γ一般取1。圖4、圖5的縱坐標(biāo)都是在10-3數(shù)量級上。

圖3 α、γ固定，β變化時的步長曲線

圖4 β、γ固定，α變化時的步長曲線

圖5 α、β固定，γ變化時的步長曲線

3 仿真分析

現(xiàn)采用 MATLAB仿真工具對所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。輸入單頻信號s=sin(0.5πt)，噪聲為0均值的高斯白噪聲，信噪比為3 dB，輸入信號的抽樣點(diǎn)數(shù)為1 024，濾波器階數(shù)為128，統(tǒng)計(jì)訪真次數(shù)為100次。圖6為α取2，β取0.007，γ取1、2、3時算法的收斂曲線。由圖可以看出，γ取2、3時，收斂速度加快了，但穩(wěn)態(tài)誤差的穩(wěn)定性不如取1時好。圖7為α取2，γ取1，β取0.006、0.007、0.008時算法的收斂曲線。如圖所示，β取0.008時算法的收斂速度最快。圖8為β取0.008，γ取1，α取1、2、3時算法的收斂曲線?？梢钥闯觯寥?和3時收斂速度沒有顯著變化，取3時略優(yōu)于取2時。

圖6 α、β固定，γ變化時的收斂曲線

經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)得出，α，β，γ分別 取3，0.008，1時算法的權(quán)值達(dá)到最優(yōu)。圖 9即為這里所提變步長因子μ(n)=β{1-sech[αe(n)γ]}，在α取3，β取0.008，γ取1時與固定步長因子μ=0.001時的收斂曲線。由圖 9可以看出，這里所提出的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法在收斂速度上遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于固定步長LMS算法，且收斂后穩(wěn)態(tài)誤差失調(diào)量較小。

圖8 β、γ固定，α變化時的收斂曲線

圖9 這里算法與基本LMS算法的比較

4 與其他變步長LMS自適應(yīng)算法的比較

文獻(xiàn)［6］根據(jù)步長因子的調(diào)整原則，構(gòu)造過零點(diǎn)、單調(diào)平滑的函數(shù)作為算法的變步長因子。將雙曲正切函數(shù)的自變量加絕對值，得到變步長因子文獻(xiàn)［7］分析了現(xiàn)有幾種 LMS自適應(yīng)算法存在的缺點(diǎn)，利用反正切函數(shù)提出一種新的算法，使步長和誤差之間具有更好的非線性函數(shù)關(guān)系，其變步長因子為圖 10為這里算法與上述兩種算法在參數(shù)因子均取最優(yōu)值時μ(n)隨e(n)變化的函數(shù)曲線。

圖10 三種算法的步長曲線

如圖所示，新算法的函數(shù)收斂速度快，誤差穩(wěn)定性好。文獻(xiàn)[6]中的函數(shù)雖然收斂速度快，但是誤差的穩(wěn)定性差，文獻(xiàn)[7]中的算法穩(wěn)態(tài)誤差性能較好但收斂速度慢。圖11為三種算法的收斂曲線，進(jìn)一步說明現(xiàn)所提 LMS自適應(yīng)算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上均優(yōu)于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中的LMS算法。

5 結(jié)語

根據(jù)變步長LMS算法的步長調(diào)整原則提出一種新的變步長LMS自適應(yīng)算法。通過控制步長因子，在加速收斂的同時，使穩(wěn)態(tài)誤差趨于平緩，有效控制了穩(wěn)態(tài)誤差的失調(diào)量。這里還對參數(shù)的選擇進(jìn)行了詳細(xì)分析，在α取3，β取0.008，γ取1時算法權(quán)值接近最優(yōu)。通過與其他算法的比較，進(jìn)一步說明了該算法的有效性，為智能天線算法的研究提供了新的思路。

圖11 三種算法的收斂曲線

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