吳政球，周 野，匡文凱，劉堂偉

（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南長沙 410082）

基于參考機(jī)的單機(jī)等面積暫態(tài)穩(wěn)定分析＊

吳政球?，周 野，匡文凱，劉堂偉

（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南長沙 410082）

提出了相對參考機(jī)的單機(jī)穩(wěn)定裕度評估方法.研究了單一機(jī)組功角曲線的表達(dá)方式，將多機(jī)系統(tǒng)中單機(jī)功角曲線表達(dá)為本機(jī)相對參考機(jī)轉(zhuǎn)子角度的函數(shù)，提出了基于泰勒級數(shù)的功角曲線預(yù)測擬合方法.提出了穩(wěn)定裕度的預(yù)測評估方法與事后評估方法，比較了事后評估與預(yù)測評估所得穩(wěn)定裕度的差異.SGEAC方法在判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定時沒有任何假設(shè)，不需要進(jìn)行動態(tài)二群的識別.實例驗證了所提方法的有效性.

暫態(tài)分析；裕度預(yù)測；功角曲線擬合；單機(jī)等面積判據(jù)；泰勒級數(shù)

電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析在尋找電力系統(tǒng)穩(wěn)定裕度和失穩(wěn)機(jī)理方面取得了大量的研究成果.分析方法主要有暫態(tài)能量函數(shù)法［1－4］、數(shù)值仿真法［5－9］和二者相結(jié)合的混合法.能量函數(shù)法又包括基于PEBS與RUEP的能量函數(shù)法［10］、擴(kuò)展等面積法（EEAC及SMEAC）［11－13］、單機(jī)等面積（SGEAC）［14］等方法.時域仿真的優(yōu)點(diǎn)是能考慮任意復(fù)雜的系統(tǒng)模型，通過多次計算，可得到基于臨界切除時間的穩(wěn)定裕度，但不能快速得到反應(yīng)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定裕度的能量型量化指標(biāo).對大系統(tǒng)而言，由于很難確定失穩(wěn)模式及相關(guān)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，基于RUEP的能量函數(shù)法使用起來不是很方便.基于最大勢能搜索的勢能邊界法（PEBS）很難得到能量型穩(wěn)定裕度量化指標(biāo).為了克服PEBS能量函數(shù)法的不準(zhǔn)確性，在系統(tǒng)慣性中心的基礎(chǔ)上采用了基于雙機(jī)等值的修正動能，該修正動能修正掉了與二群各自內(nèi)部各機(jī)組之間的“布朗運(yùn)動”相對應(yīng)的、對系統(tǒng)失穩(wěn)沒有影響的動能.EEAC及其改進(jìn)方法［11－13］在同步坐標(biāo)基礎(chǔ)上定義了動態(tài)二群機(jī)組的等值角度與速度，并進(jìn)一步定義了基于動態(tài)二群相對運(yùn)動且能反應(yīng)系統(tǒng)失穩(wěn)裕度的加速面積與減速面積（動能與勢能）.

文獻(xiàn)［14］提出了多機(jī)系統(tǒng)的單機(jī)等面積法暫態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，效果很好，但沒有對多機(jī)系統(tǒng)中單機(jī)功角曲線進(jìn)行深入研究.

本文研究了多機(jī)系統(tǒng)中單一機(jī)組功角曲線的表達(dá)方式，提出了基于泰勒級數(shù)的功角曲線預(yù)測擬合方法，將多機(jī)系統(tǒng)中單機(jī)功角曲線表達(dá)為本機(jī)相對參考機(jī)轉(zhuǎn)子角度的函數(shù).提出了穩(wěn)定裕度的預(yù)測評估方法與事后評估方法，比較了事后評估與預(yù)測評估所得穩(wěn)定裕度的差異.基于SGEAC的單機(jī)等面積方法沒有對電力系統(tǒng)動態(tài)模型作任何假設(shè)，不需要對失穩(wěn)模式進(jìn)行辨別，穩(wěn)定判別結(jié)果與時域仿真完全一致.與時域仿真法相比較，利用單機(jī)等面積法可方便地求得基于能量的穩(wěn)定與不穩(wěn)定裕度.

通過對簡單6機(jī)系統(tǒng)及IEEE 17機(jī)測試系統(tǒng)的分析，證實了本文所提方法的快速性、可靠性和有效性.

1 SGEAC思想的單機(jī)穩(wěn)定裕度

機(jī)組轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程為：

式中：ωi為轉(zhuǎn)子角速度和同步速的偏差；為轉(zhuǎn)子角度；Pm，i為機(jī)組的機(jī)械功率；g為發(fā)電機(jī)組總臺數(shù).

在系統(tǒng)后向機(jī)群中指定一臺發(fā)電機(jī)r為參考機(jī)，其運(yùn)動方程為：

式中：ADec，i為發(fā)電機(jī)i的減速面積；AInc，i為發(fā)電機(jī)i的加速面積為發(fā)電機(jī)i相對參考機(jī)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)角度為故障切除時發(fā)電機(jī)i相對參考機(jī)的角度；為故障切除時發(fā)電機(jī)i相對參考機(jī)的角速度；為發(fā)電機(jī)i相對參考機(jī)的平衡點(diǎn)功角；為發(fā)電機(jī)i相對參考機(jī)的平衡點(diǎn)角速度；為擾動結(jié)束后發(fā)電機(jī)i的功角曲線.若sηi＜0，則發(fā)電機(jī)i此擺失穩(wěn)，此時系統(tǒng)將失去穩(wěn)定；若sηi＞0，則發(fā)電機(jī)i此擺穩(wěn)定.

根據(jù)擬合得到的曲線，解方程（10）可預(yù)測發(fā)電機(jī)i的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)功角.

顯然，實際分析時，選取功角最小的機(jī)組作為參考機(jī)，對前向機(jī)群中功角最大機(jī)組進(jìn)行穩(wěn)定裕度計算就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2 功角曲線擬合的理論基礎(chǔ)

不管是采用EEAC方法、還是采用單機(jī)等面積方法進(jìn)行穩(wěn)定裕度的評估，都必須知道相應(yīng)的功角曲線.根據(jù)EEAC理論，EEAC等值機(jī)功角曲線為擬合得到的正弦曲線.在動態(tài)二群的思路下，即使在基于參考機(jī)的單機(jī)情況下，如果系統(tǒng)能動態(tài)分為二群的話，其電磁功率也可表達(dá)為相對參考機(jī)的本機(jī)功角的正弦函數(shù).系統(tǒng)動態(tài)過程中，正弦函數(shù)的參數(shù)會不斷發(fā)生變化，這一點(diǎn)與動態(tài)EEAC的思路是一致的.為了獲得當(dāng)前功角點(diǎn)到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)?δcri之間的尚未仿真得到的功角曲線，本文采用多項式擬合技術(shù)進(jìn)行相對參考機(jī)的單一機(jī)組的功角曲線擬合，該方法不需要機(jī)組分群的假設(shè).

由理論分析可知機(jī)組I的等效電磁功率可表達(dá)為：

同理可計算出電磁功率對功角的高階偏導(dǎo)數(shù).

雖然多機(jī)系統(tǒng)中，任意發(fā)電機(jī)電磁功率看起來是所有發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角度的函數(shù)，但實際上真正的獨(dú)立變量只有一個，即時間.由式（15）及其高階表達(dá)式可知：多機(jī)系統(tǒng)中任意單機(jī)電磁功率都可表達(dá)為本機(jī)相對參考機(jī)轉(zhuǎn)子角度的多項式函數(shù).

這種形勢下，專業(yè)的人在西王做得了專業(yè)的事嗎？對于大紀(jì)和大龍來說，他們是西王的“外人”，尤其是大紀(jì)，在集團(tuán)和俱樂部來說屬于“客人”，最終的話語權(quán)在西王老板及其老鄉(xiāng)身上；大紀(jì)本身的性格特點(diǎn)，也決定了他不爭不搶，對于西王方面的一些不合理的事情，估計大紀(jì)也難有勇氣去抗?fàn)帯?/p>

大量算例表明：機(jī)組在達(dá)到最大角度之前與之間是一條連續(xù)可微曲線.由泰勒級數(shù)有：

由數(shù)學(xué)分析可知，在展開點(diǎn)附近的一個鄰域內(nèi)，泰勒級數(shù)能較好地吻合原曲線.由當(dāng)前功角點(diǎn)之前的時刻點(diǎn)上功角曲線數(shù)據(jù)擬合得到的功角曲線函數(shù)應(yīng)該可以很好地預(yù)測當(dāng)前功角點(diǎn)到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間的曲線.計算上述高階導(dǎo)數(shù)很費(fèi)機(jī)時，本文利用仿真得到的（）通過擬合得到的高階泰勒級數(shù)來預(yù)測單一機(jī)組從當(dāng)前功角點(diǎn)到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間的曲線.

3 算 例

本文算例采用事后評估與預(yù)測評估的方法來評估系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度.對于失穩(wěn)情況，事后評估是根據(jù)仿真結(jié)果得到故障切除時刻或穩(wěn)定平衡點(diǎn)時刻研究機(jī)組的角速度，以及研究機(jī)組在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)時刻的角速度，由式（11）計算穩(wěn)定裕度.對于穩(wěn)定情況，事后評估是根據(jù)仿真得到的基于參考機(jī)的研究機(jī)組到達(dá)最大功角之前的功角曲線數(shù)據(jù)擬合得到最大功角點(diǎn)到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間的功角曲線，利用本文提出的相關(guān)計算公式計算得到相應(yīng)穩(wěn)定裕度.所謂預(yù)測評估就是利用當(dāng)前功角點(diǎn)之前0.1 s的功角曲線數(shù)據(jù)，利用擬合并外延得到相應(yīng)功角曲線，能夠在機(jī)組達(dá)到最大功角點(diǎn)或者不穩(wěn)定平衡點(diǎn)之前并計算出相應(yīng)機(jī)組的穩(wěn)定裕度.

3.1 6機(jī)系統(tǒng)失穩(wěn)故障的事后評估

在5號節(jié)點(diǎn)發(fā)生三相瞬時短路，0.38 s故障切除，搖擺曲線如圖1所示.其中，1和6號機(jī)為前向機(jī)群，其余為后向機(jī)群.

圖1 失穩(wěn)搖擺曲線Fig.1 Swing curves for unstable case

選取2號機(jī)作為參考機(jī)，在故障切除時刻0.38 s時，1號機(jī)相對參考機(jī)的角速度為＝0.007 5，在0.63 s時，1號機(jī)相對參考機(jī)的臨界角速度為＝0.004 4，由（11）式可以得到1號機(jī)相對參考機(jī)的穩(wěn)定裕度為－0.344.同樣，選取2號機(jī)作為參考機(jī)，在故障切除時刻0.38 s時，6號機(jī)相對參考機(jī)的角速度為＝0.009 8，6號機(jī)相對參考機(jī)的臨界角速度為＝0.006 2，由（11）式可以得到6號機(jī)相對參考機(jī)的穩(wěn)定裕度為－0.4.上述結(jié)果如表1所示，由表1數(shù)據(jù)可知，臨界機(jī)群中最嚴(yán)重單機(jī)的穩(wěn)定裕度與EEAC所得穩(wěn)定裕度基本一致.另外，單機(jī)穩(wěn)定裕度穩(wěn)定判斷得到的臨界切除時間與EEAC穩(wěn)定判斷得到的臨界切除時間完全一致.

表1 事后評估的不穩(wěn)定裕度指標(biāo)Tab.1 Stability margins for unstable scenarios

3.2 6機(jī)失穩(wěn)故障的預(yù)測評估

根據(jù)故障切除后短時間的仿真數(shù)據(jù)，樣本時間為0.1 s，根據(jù)多項式擬合得到研究對象的功角曲線.在當(dāng)前功角點(diǎn)時，由式（5）可以得到穩(wěn)定裕度計算式（18）：

利用故障后0.1 s數(shù)據(jù)及式（18）計算得到穩(wěn)定裕度如表2所示.由表中數(shù)據(jù)可知，不管是EEAC等值機(jī)群、還是相對參考機(jī)的單機(jī)，均能得到相似的穩(wěn)定裕度；臨界機(jī)群中最嚴(yán)重單機(jī)的穩(wěn)定裕度與EEAC所得穩(wěn)定裕度基本一致.

隨著仿真時間的延長，擬合樣本數(shù)據(jù)（樣本時間窗口為0.1 s保持不變）的不斷更新，表2中的單機(jī)等面積預(yù)測的裕度越來越接近表1所示的事后評估的裕度指標(biāo)，因而預(yù)測評估可用于基于PMU測量的暫態(tài)穩(wěn)定預(yù)測分析，可有效提前判別系統(tǒng)穩(wěn)定性.

表2 基于功角曲線預(yù)測的穩(wěn)定裕度Tab.2 Stability margins by using power angle curve prediction

3.3 6機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定場景的分析

為了得到量化穩(wěn)定裕度，一個關(guān)鍵問題是要得到相應(yīng)功角曲線.當(dāng)故障不是很嚴(yán)重且功角曲線沒有越過最大電磁功率點(diǎn)時，不管是基于EEAC等值機(jī)、或者是單一機(jī)組，不同樣本時刻擬合功角曲線得到的裕度指標(biāo)有一些變化，但都能正確判斷系統(tǒng)穩(wěn)定.當(dāng)相關(guān)功角曲線接近或越過最大電磁功率點(diǎn)時，擬合功角曲線得到的裕度指標(biāo)比較穩(wěn)定.

當(dāng)15號節(jié)點(diǎn)發(fā)生三相短路，0.16 s故障切除時，系統(tǒng)搖擺曲線見圖2.

圖2 穩(wěn)定的搖擺曲線Fig.2 Swing curves for unstable case

由圖2可知，不同機(jī)組搖擺交織在一起.在2.76～2.85 s內(nèi)，1，4，5和6機(jī)為前向機(jī)群，2和3機(jī)為后向機(jī)群，利用EEAC得到的穩(wěn)定裕度為0.4.在2.85～2.95 s內(nèi)，1，2，4，5和6機(jī)為前向機(jī)群，3機(jī)為后向機(jī)群，利用EEAC得到的穩(wěn)定裕度為0.62.

利用基于參考機(jī)的單機(jī)等面積定則進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定判別時，不需要知道所有機(jī)組的穩(wěn)定裕度，只需得到臨界機(jī)群中的單機(jī)相對于參考機(jī)的穩(wěn)定裕度就可判別系統(tǒng)穩(wěn)定性.利用多項式擬合得到1號機(jī)在0.35，1.55及2.95 s附近的功角曲線如表3所示，計算得到其穩(wěn)定裕度分別為3.65，2.38和0.28，可見單機(jī)等面積穩(wěn)定裕度正確反應(yīng)了機(jī)組的搖擺嚴(yán)重程度.

表3 穩(wěn)定場景的穩(wěn)定裕度指標(biāo)Tab.3 Stability margins for stable scenarios

3.4 IEEE 17機(jī)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)分析結(jié)果

按照文獻(xiàn)［15］中的數(shù)據(jù)，采用不同仿真數(shù)學(xué)模型對IEEE 17機(jī)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)進(jìn)行了分析，結(jié)果令人滿意.文中給出了發(fā)電機(jī)采用E′q恒定模型，負(fù)荷用恒定阻抗模型的數(shù)據(jù)分析結(jié)果.時域仿真時仿真步長為0.01 s.Bus3母線處的發(fā)電機(jī)作為參考機(jī).

當(dāng)系統(tǒng)故障為0 s 75母線處三相短路，0.356 s斷開75母線至9母線之間的線路來切除故障時，在故障點(diǎn)附近的Bus6，Bus73，Bus76，Bus114和Bus130遭受巨大擾動，其中Bus130發(fā)電機(jī)在二擺失穩(wěn)，故障切除后部分發(fā)電機(jī)的搖擺曲線如圖3所示.

圖3 0.356 s切除故障系統(tǒng)部分發(fā)電機(jī)搖擺曲線Fig.3 Generator swing curve for fault cleared at 0.356 seconds

采用故障后0.1 s內(nèi)仿真得到的功角數(shù)據(jù)，由多項式功角曲線擬合得到相對參考機(jī)的單機(jī)功角函數(shù)，利用公式（18），得到故障1時暫態(tài)穩(wěn)定裕度結(jié)果如表4所示.由表4可知，系統(tǒng)首擺裕度為0.432，裕度較小，需進(jìn)一步監(jiān)視.由單機(jī)越過二擺平衡點(diǎn)以后0.1 s的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到功角函數(shù)以后，得到相對參考機(jī)的單機(jī)穩(wěn)定裕度如表5所示.由表5數(shù)據(jù)可知，除了失穩(wěn)機(jī)組以外，其他機(jī)組的二擺穩(wěn)定裕度較首擺裕度都有所增加，仿真得到的搖擺曲線中二擺最大角度均有所減小，因而，穩(wěn)定裕度反映了機(jī)組的穩(wěn)定情況.

表4 首擺穩(wěn)定裕度Tab.4 Stability margin for the first swing

表5 第二擺穩(wěn)定裕度Tab.5 Stability margin for the second swing

當(dāng)系統(tǒng)在26母線處發(fā)生三相短路，0.194 s后切除（25～26）線路，系統(tǒng)搖擺曲線如圖4所示.此時系統(tǒng)是二群失穩(wěn)模式.本文方法得到73機(jī)在0.596 s時的穩(wěn)定裕度為－0.732，系統(tǒng)將失去穩(wěn)定，與仿真結(jié)果完全一致.應(yīng)當(dāng)注意的是，本文方法判別系統(tǒng)失去穩(wěn)定的時間（0.596 s）要早于180度功角差的時間.

圖4 0.196 s切除故障系統(tǒng)部分發(fā)電機(jī)搖擺曲線Fig.4 Generator swing curve for fault cleared at 0.196 seconds

應(yīng)當(dāng)指出的是：本文穩(wěn)定分析是以參考機(jī)為基礎(chǔ)進(jìn)行的，參考機(jī)一般為后向機(jī)群中的臨界機(jī).因此本文方法只需對前向機(jī)群中的臨界機(jī)進(jìn)行分析就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

4 結(jié) 論

提出了相對參考機(jī)的單機(jī)穩(wěn)定裕度評估方法、穩(wěn)定裕度的預(yù)測評估方法與事后評估方法，由泰勒級數(shù)分析得出了多機(jī)系統(tǒng)中單一機(jī)組的功角曲線可由機(jī)組本身的轉(zhuǎn)子角度來表示，得到了單機(jī)功角曲線的理論曲線.利用時域仿真結(jié)果，結(jié)合最小二乘法擬合出了單機(jī)多項式功角P-δ曲線.分析表明所提算法實用可行正確，具有較好的超前穩(wěn)定判別能力，可有效減少時域仿真時間，預(yù)測方法精度高、計算速度快，不需要進(jìn)行動態(tài)分群.

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A Fast Quantitative Transient Stability Margin Determination Method Based on SGEAC

WU Zheng－qiu?，ZHOU Ye，KUAN Wen-kai，LIU Tan-wei
（College of Electrical and Information Engineering，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Based on single machine equal area criterion，the stability margin based on single study generator and reference generator was defined.The power angle curve expression for single study machine was analyzed.Based on the Taylor series，the power angle curve of single study generator can be expressed as the function of the rotor angle of the study generator with respect to the reference machine angle，which is fitted by using polynomial function.The stability margins obtained by both prediction method and post event method were compared.Single Generator Equal Area Criterion（SGEAC）based stability margin is the real evaluation of the global stability margin，and it does not need the identification of the two group mode.Lots of example analysis verified the proposed method.

transient analysis；margin prediction；power angle curve prediction；single machine stability margin；Taylor series

TM731

A

1674-2974（2011）06-0049-06＊

2010-06-15

湖南省科技廳重大專項資助項目（2008FJ2003）

吳政球（1963－），男，湖南岳陽人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師

?通訊聯(lián)系人，E-mail：zhengqiuwu＠163.com