任學(xué)敏,劉紅梅

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系,上海200092)

,化為拋物型方程的基本形式為

隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和完善,投資者對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的承受力的增強(qiáng),發(fā)行企業(yè)債券成為公司融資的重要渠道.企業(yè)債券的明顯特性是具有信用風(fēng)險(xiǎn).目前處理企業(yè)債券定價(jià)和信用風(fēng)險(xiǎn)主要有兩種方法,結(jié)構(gòu)化方法和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是把公司債券看成是關(guān)于公司資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán),其敲定價(jià)格為債務(wù)額.最早由Merton等人[1]提出.為解決由Merton模型得到的公司違約概率過低問題,考慮到公司可在債券到期前破產(chǎn),Black和Cox等人[2]提出了首次通過模型,即當(dāng)公司資產(chǎn)值下降到事先約定的閾值(違約邊界)時(shí),債權(quán)人有權(quán)強(qiáng)制公司破產(chǎn)以保護(hù)債券持有人的利益.Longstaff和Schwartz[3]把首次通過模型推廣到隨機(jī)利率情形.為解決連續(xù)模型的在債券快到期時(shí)的違約概率幾乎為零的問題, Zhou[4]引入了跳擴(kuò)散模型.而約化方法則把公司違約看成是一個(gè)外在的過程,用Poisson過程來描述,即第一次發(fā)生跳時(shí)公司就違約.約化方法由Jarrow和 Turnbull[5],Jarrow,Lando和 Turnbull[6]以及Duffie和Singleton[7]等人最早采用.

本文考慮一種可展期的企業(yè)債券,即企業(yè)在發(fā)行債券時(shí)事先約定,企業(yè)有權(quán)在債券到期日 T視市場(chǎng)利率水平?jīng)Q定是否以發(fā)行時(shí)的收益率把企業(yè)債的到期日延長(zhǎng)到T1(T1＞T).顯然,在到期日T,如果市場(chǎng)利率上升,企業(yè)的重新融資的成本將提高,企業(yè)將會(huì)選擇延展債券的到期日;反之,如果市場(chǎng)利率下降,企業(yè)的重新融資的成本將下降,企業(yè)將不會(huì)延展債券的到期日.從債券投資人角度看,這給了企業(yè)一個(gè)規(guī)避利率風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)利,同時(shí),由于是企業(yè)債券,在可能的延展期[T,T1]內(nèi),投資人還要承受企業(yè)可能破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn),因此,必須給投資人以補(bǔ)償,即提高其收益率或等價(jià)地降低售價(jià).

1 約化方法簡(jiǎn)介及偏微分方程推導(dǎo)

約化方法僅考慮違約時(shí)間,回收率通常是外在(exogenous)給定的.跳的強(qiáng)度λ可為常數(shù)、確定的函數(shù)或隨機(jī)過程.由于λ為常數(shù)時(shí)模型簡(jiǎn)單,使用上比較容易并能得到解析解,所以本文中采用λ為常數(shù),λ為隨機(jī)過程的情形可參閱文獻(xiàn)[5-7].

由于Poisson過程在時(shí)段[s,t]發(fā)生k次跳的概率為

記τ為第一次跳發(fā)生的時(shí)刻,則公司[0,T]時(shí)段的違約概率為

1.1 利率r為常數(shù)時(shí)企業(yè)零息票債券定價(jià)

對(duì)可能違約的企業(yè)零息票債券,P(t,T)為其在t時(shí)刻的價(jià)格,假定其回收率為R∈[0,1].

(1)面值回收情形:回收在T時(shí)刻,原定在到期日T投資人可得1元的,一旦違約,則只能在到期日得到R元,其現(xiàn)值為

這里E(?)為數(shù)學(xué)期望.

如R=0,則

這等價(jià)于違約日拿相應(yīng)的無風(fēng)險(xiǎn)零息票的R倍,即

(2)市價(jià)回收情形:投資人在違約日拿違約前有風(fēng)險(xiǎn)零息票價(jià)值的R倍,這時(shí)

式(6)中第二個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)閱栴}類似于面值回收中回收為零的情形.可把回收率R看成是概率,公司在[t,t+dt]以概率λ dt違約,其中又以概率R不造成損害,以概率1-R得到零回收,亦即相當(dāng)于公司以(1-R)λ dt的概率破產(chǎn)并回收為零,所以,由式(4)可得結(jié)論.式(4)和式(6)是很有啟發(fā)性的,即在面值零回收和市價(jià)回收時(shí),企業(yè)債券的處理與國(guó)債類似,只是由于信用風(fēng)險(xiǎn)的原因,其貼現(xiàn)率分別用r +λ和r+(1-R)λ代替以補(bǔ)償投資者.

1.2 利率是隨機(jī)時(shí)企業(yè)零息票債券定價(jià)

由于影響企業(yè)債券價(jià)格的主要因素是信用風(fēng)險(xiǎn)和利率的變化,因此通常應(yīng)假定利率是隨機(jī)的.記P(r,t)和D(r,t)分別為有相同到期日的零息票企業(yè)債券和國(guó)債的價(jià)格,在風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度下,假定短期利率服從Vasicek模型[8]

式中:α,θ,σr為正常數(shù);Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).構(gòu)造一個(gè)投資組合Π=P(r,t)-Δ D(r,t),Δ為國(guó)債的份數(shù).在[t,t+dt]時(shí)段,企業(yè)以概率1-λ dt不破產(chǎn),由Ito公式,組合的價(jià)值變化為

可得

如果采用市價(jià)回收,即Q=ε P,這里0≤ε≤1,則企業(yè)債券滿足

可得

從而

2 模型和求解

2.1 基本假設(shè)

(1)公司發(fā)行了零息票公司債券,到期日為 T,同時(shí)公司有權(quán)在到期日T決定是否以發(fā)行時(shí)的名義收益率把到期日延展到T1.

(2)公司的違約強(qiáng)度λ是常數(shù),違約時(shí)間記為τ.一旦公司發(fā)生違約,回收為違約前市價(jià)的ε份, 0≤ε≤1,即采用市價(jià)回收.

(3)公司是否延展債券的到期日由在到期日 T的市場(chǎng)情況決定,即公司再舉債的所需名義收益率高于初始的名義收益率時(shí),公司將延展債券的到期日.

(4)市場(chǎng)利率滿足Vasicek模型,即

2.2 定價(jià)公式

記D(t,r)為與公司的債券有相同到期日的無風(fēng)險(xiǎn)零息票的價(jià)格,則其有仿射結(jié)構(gòu)解[8]

其中

由式(13)和(15)可知,如果公司在T時(shí)刻發(fā)行在T1時(shí)刻到期的零息票公司債券,則其價(jià)格為

其中

由于在到期日投資人可得1元,其平均收益率RT,T1(連續(xù)復(fù)利)滿足

從而

記τ=T-t,則方程可以改寫為

其中

下面,用基本解的方法[9-10]求解方程(20),即設(shè)G(τ,r;ξ)為下面方程的解:

這里δ(?)為δ函數(shù).則問題(20)的解可以表示為

下面先求解問題(21),基本思路是化為標(biāo)準(zhǔn)型.

首先做函數(shù)變換G(τ,r;ξ)=ue-β(τ)r,以消去函數(shù)項(xiàng)系數(shù)中的r,則函數(shù)u滿足下面的方程:

其中

再對(duì)問題(25)作函數(shù)變換u=Ve-ξ(τ)及自變量變換x=y+γ(τ),以消去函數(shù)和其一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),則V (τ,y)滿足下面的問題:

,化為拋物型方程的基本形式為

由基本解的公式可得

將變換還原到原變量以及函數(shù)即得

其中β(τ),η,γ(τ)如前定義.故問題(20)的解為

由R滿足等式eRTP(0,r)=1,可得R為下面的超越方程的解:

因?yàn)镻(0,r)包含R.利用數(shù)值方法可求出名義收益率.

上述方法可進(jìn)一步考慮公司信用等級(jí)的變化對(duì)債券價(jià)格的影響,利用標(biāo)普或穆迪的信用等級(jí)轉(zhuǎn)換概率矩陣可知在名義到期日時(shí)公司違約強(qiáng)度的改變的概率,只要在最后定價(jià)時(shí)取數(shù)學(xué)期望即可.

2.3 一些數(shù)值結(jié)果和分析

影響可展期企業(yè)債券名義收益率的因素有發(fā)行時(shí)的利率水平、到期日、可展期限、利率模型的參數(shù)、公司的違約概率和一旦違約時(shí)的回收率等,以下分析單個(gè)因素對(duì)可展期債券的收益率的影響.取參數(shù)α =0.379,r0=0.05,ε=0.4,σr=0.077,θ=0.098.

(1)在其他條件不變時(shí),可展期債券的名義收益率比普通債券的收益率高以補(bǔ)償投資者.

由圖1可知,收益率差在可展期限固定時(shí)(3年),差額隨到期日變大而減少,原因是補(bǔ)償額分?jǐn)偟搅烁L(zhǎng)的時(shí)間段.其金融意義是顯然的,理論證明也不復(fù)雜,因?yàn)榭烧蛊诤推胀▊瘽M足的方程一樣,但終值是普通債券的大,由極值原理即得結(jié)果.

(2)公司違約時(shí)回收越低或違約可能越大,可展期債券的名義收益率越高,以補(bǔ)償投資人在可能的延展期內(nèi)承受的更高的信用風(fēng)險(xiǎn),但隨著延展期變長(zhǎng),收益率曲線呈駝峰狀,這與從普通企業(yè)債所得到的結(jié)果類似,實(shí)證研究也發(fā)現(xiàn)該結(jié)果.圖2是在違約概率一定時(shí),不同的回收率對(duì)債券收益率的影響.圖3是在回收率一定時(shí),不同的違約概率對(duì)債券收益率的影響.而圖4是綜合違約概率和回收率,即違約損失對(duì)收益率的影響.

(3)發(fā)行時(shí)的利率水平越高,可展期債券的收益率也越高,且隨著可展期限的增加而增加,這是因?yàn)樾杞o投資人的補(bǔ)償增加(圖5),但在可展期限一定時(shí)(3年),收益率并不一定隨著債券到期日的增大而增加,這是由于補(bǔ)償在更長(zhǎng)期限的分?jǐn)偤碗S著到期日變大,利率變化中的均值回歸現(xiàn)象變得明顯(圖6).

圖1 名義到期日與收益率差的關(guān)系Fig.1 Relationship betwee n the nominal maturity and diffrence of return rate s

圖2 回收率和可展期期限對(duì)收益率影響Fig.2 Impact of re cove ry rate and e xte ndable maturity on the return rate

圖3 違約率和可展期期限對(duì)收益率影響Fig.3 Impact of default rate and extendable maturity on thereturn rate

圖4 回收率和違約率及可展期期限對(duì)收益率綜合影響Fig.4 T otal impact of recovery rate and default rate and e xte ndable maturity on the return rate

圖5 初始利率水平和可展期期限對(duì)收益率的影響Fig.5 Impact of initial inte rest rate and exte ndable maturity on thereturn rate

圖6 初始利率水平和首次到期日大小對(duì)收益率的影響Fig.6 Impact of initial inte rest rate and first maturity on thereturn rate

3 結(jié)論

從以上的討論可知,可展期企業(yè)債券實(shí)際是一張嵌入利率期權(quán)并有違約風(fēng)險(xiǎn)的合約,相應(yīng)的期權(quán)金和信用風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償體現(xiàn)在較高的回報(bào)率上.與一般的企業(yè)債券不同,其到期的名義回報(bào)(不違約時(shí)的回報(bào))事先是不確定的,它依賴于將來的利率水平.補(bǔ)償水平與利率未來的波動(dòng)、可延展的期限及公司的違約可能的大小等因素有關(guān).

[1] Merton R.On the pricing of corporate debt:the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance,1974,29:449.

[2] Black F,Cox J C.Valuing corporate securities:some effects of bond indenture provisions[J].Journal of Finance,1976,31:351.

[3] Long staff F,Schwartz E.A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt[J].Journal of Finance,1995, 50:789.

[4] Zhou C.A jump-diffusion approach to modeling credit risk and valuing defaultable securities[R].Washing ton:Federal Reserve Board,1997.

[5] Jarrow R,TurnbullS.Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk[J].Journal of Finance,1995, 50:53.

[6] Jarrow R,Lando D,Turnbull S.A Markov model for the term structure of credit risk spreads[J].Review ofFinancial Studies,1997,10:481.

[7] Duffie D,Singleton K J.M odeling term structure of defaultable bonds[J].Review of Financial Studies,1999,12:687.

[8] Vasicek O.An equilibrium characterization ofthe term structure[J].The Journal of Financial Economics,1977, 5:177.

[9] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

JIANG Lishang.The mathematical models and methods in option pricing[M].Beijing:Higher Education Press,2003.

[10] 姜禮尚,孫和生,陳志浩,等.偏微分方程選講[M].北京:高等教育出版社,1997.

JIANG Lishang,SUN Hesheng,CHEN Zhihao,et al.Some topics on partial differential equation[M].Beijing:Higher Education Press,1997.