武艷輝，吳正朋，李梅

(中國傳媒大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，北京 100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題。因此充分開發(fā)利用已占有的信息來挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準(zhǔn)則。我們可以通過社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來尋求因素之間或自身的變化規(guī)律。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂。但它們總有自身的整體功能，必然蘊(yùn)藏某種內(nèi)在的規(guī)律。關(guān)鍵是如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉硗诰蚝屠盟?。在文獻(xiàn)［1，4，5，7］中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動(dòng)緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應(yīng)用的弱化緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，又構(gòu)造出二類新弱化緩沖算子。從而推廣了緩沖算子的類型。

2 基本概念

定義2.1設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k) －x(k) －x(k－1) ＞0，則稱X為單調(diào)增長序列。

(2)?k=2，3，…，n，x(k) － x(k－1) ＜0，則稱X為單調(diào)衰減序列。

(3)若有 k1，k2∈{2，3，…，n}有 x(k1) － x(k1－1)＞0，x(k2)－x(k2－1)＜0，則稱 X為振蕩序列。其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱 M － m為振蕩序列X的振幅。

定義2.2設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱 D 為序列算子。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為 XD2，…，XDr。

公理2.1［4］(不動(dòng)點(diǎn)公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n)。

公理2.2［4］(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應(yīng)充分地參與算子作用的整個(gè)過程。

公理2.3［4］(解析化與規(guī)范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個(gè)統(tǒng)一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達(dá)式表達(dá)。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子。XD稱為緩沖序列。

定義2.3［5］設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，則稱緩沖算子D為弱化緩沖算子。

定理 1［5］

(1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d。

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≥x(k)d。

(k=1，2，…，n)

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為弱化緩沖算子，則

由定理2.1可知，單調(diào)增長序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹;單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮。

3 弱化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰，黨耀國等教授在其專著［2］中構(gòu)造了下列弱化緩沖算子，設(shè) X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D1，D2皆為弱化緩沖算子。

在此，我們在弱化緩沖算子D1，D2基礎(chǔ)上，利用單調(diào)函數(shù)理論構(gòu)建新的弱化緩沖算子。

定理2設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fi＞0，fi，i=1，…，n. 為嚴(yán)格單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)，gi為fi的反函數(shù)。權(quán)重向量為 w=(w1，…，wn)，其中

令 XD3=(x(1)d3，…，x(n)d3)

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D3為弱化緩沖算子。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而D3為緩沖算子。

假設(shè)fi為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，下證當(dāng):

(1)X為單調(diào)增長序列時(shí)，因?yàn)?＜x(k)≤…≤x(n)，得

所以D3為弱化緩沖算子。

當(dāng)代大學(xué)生對生活品質(zhì)的需求與日俱增，但由于經(jīng)濟(jì)來源單一，很多大學(xué)生不能得到滿足。不管是大學(xué)校園二手物品交易市場的供給方，還是大學(xué)校園二手物品交易市場的需求方，都是較為龐大的群體，他們對二手交易的需求十分強(qiáng)烈。由于大學(xué)生尚未體驗(yàn)生活的艱苦，他們很容易喜新厭舊。因此，很多大學(xué)生手中多多少少都會(huì)有些自己已不再需要但還有一定價(jià)值的物品，也有很多大學(xué)生由于生活費(fèi)的限制買不了自己想要的新產(chǎn)品，再加之大學(xué)生的消費(fèi)心理總是希望用最少的錢買到物有所值的商品，這就需要二手市場發(fā)揮積極作用。構(gòu)建新型大學(xué)校園二手交易平臺(tái)是可行的，它能在一定程度上滿足大學(xué)生的交易需求。

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)?＜x(k)≤…≤x(n)，得 fi(x(k))≥…≥fi(x(n)) ＞0，

所以D3為弱化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

對任意的 j∈{1，2，…，n}，有

故D3為弱化緩沖算子。

同理可證當(dāng)fi為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，D3也為弱化緩沖算子。

定理3設(shè) X=(x(1)，x(2))，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fi＞0，fi，i=1，…，n.為嚴(yán)格單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)，gi為fi的反函數(shù)。權(quán)重向量為w=(w1，…，wn)，fi為嚴(yán)格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，gi為其反函數(shù)。其中

令 XD4=(x(1)d4，…x(n)d4)

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列

證明:容易驗(yàn)證，

即D4滿足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而D4為緩沖算子。

假設(shè)fi為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當(dāng):

(1)X為單調(diào)增長序列時(shí)，因?yàn)?＜x(k)≤…≤x

(n)，得0＜fi(x(k))≤…≤fi(x(n))，

0＜fi(x(k))

所以D4為弱化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)?＜x(k)≤…≤x(n)，得 fi(x(k))≥…≥fi(x(n)) ＞0，

所以D4為弱化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

對任意的 j∈{1，2，…，n}，有

故D4為弱化緩沖算子。

同理可證當(dāng)fi為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，D4也為弱化緩沖算子。

定理4設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fj＞0，wi＞0，w'i＞0。權(quán)重向量分別為 w=(w1，…，wn)和 w'=(w'1，…，wn)。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

(2)當(dāng)X為單調(diào)遞減序列時(shí)，有

證明:假設(shè)fj為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則gj也為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。欲證

則只須證明

因此，

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

又因fj為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則，

由(7)知，

又因gj為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則

(2)當(dāng)X為單調(diào)遞減序列時(shí)，有

又因fj為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則

由(7)知，

故

又因gj為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則

(3)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

(4)當(dāng)X為單調(diào)遞減序列時(shí)，有

證明:對函數(shù)gj內(nèi)部表達(dá)式，兩邊取對數(shù)后進(jìn)行證明，推導(dǎo)過程與定理4類似，最后由于gj為嚴(yán)格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，可容易得到結(jié)論。

當(dāng)fi(x)=gi(x)=x時(shí)，弱化緩沖算子D3，D4分別就是文獻(xiàn)［4］中的弱化緩沖算子D1，D2。即弱化緩沖算子D1，D2為我們的特例。文獻(xiàn)［4］中的算例已經(jīng)說明弱化緩沖算子D3，D4具有一定的實(shí)用價(jià)值。當(dāng)然由于只要求f為嚴(yán)格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，這樣的f太多了，隨手可得。

4 實(shí)例分析

以上海市國際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)為例［13］，驗(yàn)證本文構(gòu)造的弱化緩沖算子在GM(1，1)模型預(yù)測中的應(yīng)用。選取該市2001～2007國際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)(單位:萬戶)作為原始數(shù)據(jù):

從原始數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，上海市上網(wǎng)用戶數(shù)增長勢頭很猛，年平均增長率為19.52%，如此高的增長率不可能一直保持下去，因此直接用原始數(shù)據(jù)建模，預(yù)測結(jié)果令人難以相信。經(jīng)過筆者認(rèn)真分析，認(rèn)為上海市上網(wǎng)用戶數(shù)和Internet的剛興起，以及政府的大力推廣等因素有關(guān)，因此要進(jìn)行若干年后上網(wǎng)用戶數(shù)的預(yù)測，必須要弱化其增長趨勢，要將上述政策因素附加到過去的年份中，從而消除前期政策因素對后期上網(wǎng)用戶數(shù)增加速度的影響，使得模型預(yù)測精度更高，預(yù)測結(jié)果與實(shí)際情況相符合。

以2001～2006年數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，以2007年數(shù)據(jù)為模擬檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了方便，令fi(x)=x2，權(quán)重為等權(quán)重，利用D3和D4對原始序列進(jìn)行一階緩沖算子的作用，分別得到一階緩沖序列:

通過計(jì)算得到平均相對誤差和一步預(yù)測誤差的比較結(jié)果，如表1所示

表1 弱化前后模型的平均相對誤差和一步預(yù)測精度比較

由表1可以看出，對原始序列經(jīng)過緩沖算子D4作用后，一步預(yù)測精度最低，其預(yù)測模型為:

2007年上海市互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)的預(yù)測值為1081.747萬戶，與實(shí)際值基本吻合

5 結(jié)語

在緩沖算子的構(gòu)造過程中，以前都是一個(gè)一個(gè)去構(gòu)造。而我們是首次將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來，一次構(gòu)造一大類緩沖算子。為解決擾動(dòng)數(shù)據(jù)序列的建模提供了多種選擇。開辟了如何利用函數(shù)來構(gòu)造緩沖算子的新方向，進(jìn)一步研究正在進(jìn)行中。

［1］ 劉思峰.沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測陷阱與緩沖算子［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，25(1):25 －27.

［2］ Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application［J］.The Journal of Grey System，1991，3(1):39 －48.

［3］ 劉思峰，黨耀國，方志耕，灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用(第三版)［M］，北京:科學(xué)出版社，2004.

［4］ 黨耀國，劉思峰，劉斌，唐學(xué)文.關(guān)于弱化緩沖算子的研究［J］，中國管理科學(xué)，2004，12(2):108－111.

［5］ 黨耀國，劉斌，關(guān)葉青.關(guān)于強(qiáng)化緩沖算子的研究［J］.控制與決策，2005，20(12):1332 －1336.

［6］ 黨耀國，劉思峰，米傳民.強(qiáng)化緩沖算子性質(zhì)的研究［J］.控制與決策，2007，22(7):730 －734.

［7］ 關(guān)葉青，劉思峰.基于不動(dòng)點(diǎn)的強(qiáng)化緩沖算子序列及其應(yīng)用［J］.控制與決策，2007，22(10):1189－1192.