張立，金健，唐志強

（常熟理工學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇常熟 215500）

上海GDP增長的數(shù)學模型及其分析與預(yù)測

張立，金健，唐志強

（常熟理工學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇常熟 215500）

根據(jù)上海1996年到2010年的生產(chǎn)總值（GDP）等相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分別建立了上海GDP增長灰色預(yù)測模型和Logistic模型.通過matlab編程計算，得到了上海GDP增長的定量分析并進行了相關(guān)討論.

GDP；影響力指標；灰色預(yù)測模型；Logistic模型

上海市委、市政府在對新一輪發(fā)展形勢作出深入分析判斷后，按照科學發(fā)展觀的要求，提出了科教興市主戰(zhàn)略，重點依托人才和科技資源，提升上海產(chǎn)業(yè)能級和城市創(chuàng)新能力，轉(zhuǎn)變城市經(jīng)濟增長方式，促進經(jīng)濟社會協(xié)調(diào)發(fā)展和人的全面發(fā)展.第41屆世界博覽會，即上海世界博覽會（Expo 2010）在2001年7月申辦成功，進一步促進了上海經(jīng)濟的快速發(fā)展.

根據(jù)上海市統(tǒng)計局的《上海統(tǒng)計年鑒2010》和其他一些資料，其中的1996年到2010年生產(chǎn)總值狀況數(shù)據(jù)如表1所示.

根據(jù)表1，從GDP的角度來分析數(shù)據(jù)，建立模型定量討論上海GDP的變化規(guī)律.

1 思考和分析

從統(tǒng)計年鑒中的數(shù)據(jù)，得到了上海近年來的生產(chǎn)總值和第一，二，三產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值，見圖1.

表1 1996年到2010年上海市GDP相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：億元）

續(xù)表1

從圖1可以粗略地觀察分析出上海市申博成功后的GDP、第一產(chǎn)業(yè)及第二產(chǎn)業(yè)的增長率上升.本文選擇了上海市生產(chǎn)總值為研究對象來具體定性和定量探討世博會對上海市的影響.結(jié)合具體數(shù)據(jù)，建立兩個模型：灰色預(yù)測模型和Logistic模型來進行定量分析.

圖1 上海市GDP的增長率

2 灰色預(yù)測模型和Logistic模型

灰色理論[1]將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)生成后，使其變?yōu)檩^有規(guī)律的生成數(shù)列再建模型，所以灰色模型實際上是生成數(shù)列模型.由于收集得到的原始數(shù)據(jù)利用MATLAB描點作圖發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)無規(guī)律可循，因此本文首先采用灰色預(yù)測模型.

2.1 一階微分方程

2.2 建立灰色模型步驟

灰色模型（Grey Model）[2]，記為GM.灰色建模是對累加處理后的數(shù)據(jù)建立微分方程，如果有N個變量，則記為GM（1，N）.特殊地，只有一個變量的數(shù)列，則為GM（1，1），用GM（1，1）為例說明建模步驟：

（1）登錄原始數(shù)列x(0)，并用x(0)累加生成數(shù)列x(1)：

（2）用累加生成數(shù)列構(gòu)成矩陣B，用原始數(shù)列構(gòu)成數(shù)據(jù)列矩陣yn.

（3）求微分方程的參數(shù)a,u.

生成數(shù)列的解為：

按最小二乘法，參數(shù)a,u為：

（4）建模

將a,u之值代入下式:

于是可以為生成的灰色預(yù)測模型[3]計算各個時期的數(shù)值.

（5）數(shù)據(jù)還原

按下述公式還原：

（6）殘差檢驗

按計算原始序列x(0)() i與x'(0)()

i的絕對誤差序列[4]及相對誤差序列：

根據(jù)計算數(shù)據(jù)和觀察數(shù)據(jù)，可以對模型進行精度檢驗,該指標能反映模型的信息.

2.3 Logistic模型

由于上海市的GDP不可能無限增長下去，會受到諸多因素的影響，因此，我們建立Logistic預(yù)測模型，引入滯后變量來進行預(yù)測.Logistic預(yù)測模型[5]的基本步驟如下：

（1）求出模型在不受任何影響情況下所能達到的GDP最大值，設(shè)為k；

（2）分析GDP增長到一定數(shù)量后增長率下降的主要原因，從而發(fā)現(xiàn)這些因素對GDP的增長起著阻滯作用，再通過對數(shù)據(jù)的分析，算出在阻滯作用下GDP的增長率為r(x)；

經(jīng)過計算，得到Logistic模型的解的形式如下：

3 具體計算

3.1 灰色預(yù)測模型的計算

對上海市的GDP數(shù)據(jù),用MATLAB編程，計算累加生成模型：

利用MATLAB軟件[6]，預(yù)測出2003年到2012年上海的GDP和相對誤差見表2.

根據(jù)殘差檢驗得：相對誤差小于1%，可見，該模型精度檢驗等級為優(yōu).

3.2 Logistic模型的計算

由MATLAB軟件，根據(jù)Logistic模型預(yù)測出在沒有世博會影響下2003年到2009年上海的GDP和相對誤差見表3.

表2 灰色模型計算的2003年到2012年GDP和相對誤差（單位：億元）

表3 Logistic模型計算的2003年到2009年GDP和相對誤差（單位：億元）

利用各模型預(yù)測數(shù)據(jù)的準確度指標來衡量各模型的合理性，準確度指標的含義是：

準確度指標=預(yù)測出的GDP/實際的GDP.

若準確度越高，說明該模型的可取性就越強；反之則弱.由表2和表3可知灰色預(yù)測模型的準確度較好一些，故對上海市GDP的數(shù)量變化，灰色預(yù)測模型是理想的.

[1]姜啟源，謝金星.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，2003．

[2]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法[M].武漢：華中理工大學出版社，2003．

[3]張巖，付業(yè)勤.海南省GDP的灰色預(yù)測[J].赤峰學院學報，2010，26（6）：137-138；

[4]劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[D].北京：科學出版社，2005．

[5]姜啟源，邢文訓(xùn).大學數(shù)學實驗[M].北京：清華大學出版社，2005．

[6]張志涌，楊祖櫻.Matlab教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2006．

Mathematical Models of the Influence of World Expo for GDP of Shanghai and Its Computation

ZHANG li,JIN Jian,TANG Zhi-qiang
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Based on the data from Shanghai Statistical Yearbook and some other data about the GDP of Shang?hai,this paper brings up two mathematical models to forecast and analyze quantity change of the GDP in Shang?hai which are the Grey Forecasting Model and Logistic Model.With the software of Matlab,the paper gives out the concrete computation results by these methods for the GDP in Shanghai.

GDP；indexes of influences；Grey Forecasting Model；Logistic Model

O212.1

A

1008-2794（2011）08-0035-04

2011-05-20

張立（1974—），男，江蘇武進人，常熟理工學院數(shù)學與統(tǒng)計學院講師，研究方向：優(yōu)化、信息安全.