魏國強(qiáng)

(江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇無錫 214122)

關(guān)于數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的思考與實(shí)踐

魏國強(qiáng)

(江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇無錫 214122)

重視數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)對(duì)于全方位提升數(shù)學(xué)建模能力具有舉足輕重的作用.數(shù)學(xué)建模的假設(shè)應(yīng)遵循目的性、簡明性和真實(shí)性準(zhǔn)則;數(shù)學(xué)模型的選擇要符合適合性、基礎(chǔ)性和可行性準(zhǔn)則;提出模型算法評(píng)價(jià)的3項(xiàng)指標(biāo);給出粗略及細(xì)致檢驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蠼饨Y(jié)果的策略.這些準(zhǔn)則和策略在數(shù)學(xué)建模實(shí)踐中的合理應(yīng)用,有助于數(shù)學(xué)建模教學(xué)和參賽的成功.

數(shù)學(xué)建模;評(píng)價(jià);準(zhǔn)則;指標(biāo);策略

1 引 言

近年來,每當(dāng)各類大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽結(jié)果揭曉,在許多獲勝者收獲喜悅的同時(shí),也常有不少參賽者因成績不佳而留下深深的遺憾.其成績不佳的原因主要有以下幾個(gè)方面：(i)對(duì)問題的理解不準(zhǔn)確或假設(shè)不合理;(ii)模型構(gòu)建或解法失當(dāng);(iii)計(jì)算有誤.作者回顧近年來擔(dān)任我校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模參賽組織培訓(xùn)工作的經(jīng)歷,深刻體會(huì)到：數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中在全方位提升學(xué)生雙向翻譯能力、解模能力、觀察猜想能力、邏輯思維能力[1]的同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的分析評(píng)價(jià)能力,將有利于他們對(duì)模型和算法的優(yōu)化選擇,使建模和求解過程中的錯(cuò)誤減少到最少,從而使他們的數(shù)學(xué)建模能力得到顯著提升.然而由于數(shù)學(xué)模型千姿百態(tài),種類紛繁,對(duì)其評(píng)價(jià)并非易事.參賽論文中常見的例行公事式的優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)價(jià)往往于事無補(bǔ),專門討論數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的文章也不多見[2].結(jié)合近年來從事數(shù)學(xué)建模教學(xué)、培訓(xùn)的體會(huì),作者嘗試就數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的內(nèi)涵、功能、若干原則與準(zhǔn)則以及方法策略等展開探討,旨在與同行交流.文中例題都指全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模(CUMCM)賽題.

2 數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的內(nèi)涵與功能

數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)是人們利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),依據(jù)一定的準(zhǔn)則,采用一定的方法,對(duì)自己或他人建立與求解數(shù)學(xué)模型的過程和結(jié)果進(jìn)行全面的檢驗(yàn)、判斷,以利于對(duì)已建模型及其求解過程調(diào)整、完善和發(fā)展的過程.

數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)對(duì)于學(xué)生成功完成建模、提高創(chuàng)新能力的功能在于：

第一,它是完善數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)和循環(huán)中樞.這從下面數(shù)學(xué)建模的基本步驟[5]不難看出：

(i)建模準(zhǔn)備(確定課題);

(ii)建模假設(shè)(對(duì)原形抽象、簡化);

(iii)構(gòu)造模型(表現(xiàn)為數(shù)學(xué)表達(dá)式或算法程序等);

(iv)模型求解(多為數(shù)值結(jié)果);

(v)模型分析和評(píng)價(jià);若評(píng)價(jià)合格則轉(zhuǎn)(vi),否則轉(zhuǎn)(ii)修改假設(shè)及模型,循環(huán)往復(fù)直至得到滿意結(jié)果.

(vi)模型應(yīng)用.

正是模型評(píng)價(jià)這一步驟使數(shù)學(xué)建模遵循“肯定—否定—否定之否定”的唯物辯證法的基本規(guī)律,走上螺旋式上升或波浪式前進(jìn)的良性發(fā)展軌道.

第二,數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)是全過程、有目的的評(píng)價(jià),建模者要掌握模型評(píng)價(jià)的基本準(zhǔn)則和合理方法,有理有據(jù)地思考判斷和抉擇,有利于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力、改善認(rèn)知結(jié)構(gòu);

第三,有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的積極性、主動(dòng)性,提高自學(xué)興趣,全方位地提高建模能力.

近年來,我們?cè)谧ズ脭?shù)學(xué)建模教學(xué)培訓(xùn)各個(gè)環(huán)節(jié)的同時(shí),通過開設(shè)講座、討論班等各種形式引導(dǎo)學(xué)生反思自糾、品析錯(cuò)例、評(píng)價(jià)思路,重視對(duì)數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的教學(xué),保持了培訓(xùn)的優(yōu)質(zhì)高效,獲得了多項(xiàng)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的全國獎(jiǎng),并榮獲06年度高教社杯.這也從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)分析的作用.

3 數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則和策略

3.1 數(shù)學(xué)模型假設(shè)的準(zhǔn)則.

數(shù)學(xué)模型假設(shè)總的準(zhǔn)則是圍繞建模目的,保留事物的本質(zhì)因素對(duì)原形進(jìn)行抽象簡化,為成功建模提供前提條件.具體準(zhǔn)則有：

(i)目的性準(zhǔn)則.從原形中抽象出與建模目的有關(guān)的因素,簡化掉與建模目的無關(guān)或關(guān)系不大的因素;例如2006年A題(出版社資源配置)給出的調(diào)查數(shù)據(jù)不少與建模目的無關(guān),需要去掉;

(ii)簡明性準(zhǔn)則.所給假設(shè)條件要簡單明確,有利于建模;

(iii)真實(shí)性準(zhǔn)則.假設(shè)條件要符合情理,不違背原形的本質(zhì)屬性,簡化帶來的誤差要在實(shí)際問題允許的范圍內(nèi).例如在2007年的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中,有的參賽隊(duì)在求B題的最優(yōu)公交線路時(shí)想當(dāng)然地假設(shè)環(huán)形線路公交車、地鐵是單向行駛,違反了公交車雙向?qū)﹂_的常識(shí),造成大量計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤,功虧一簣.

真實(shí)性和簡明性有時(shí)會(huì)發(fā)生沖突,穩(wěn)妥的做法是先按簡明條件建模,然后再逐步擴(kuò)充以反映原形.例如2005年B題(DVD在線租賃)的問題(1)中,若假設(shè)題中給出的從1000名會(huì)員調(diào)查得到的5種DVD碟片的需求比例就是現(xiàn)有10萬會(huì)員的需求比例,則5種DVD的需求量就可由此比例同比擴(kuò)大10萬倍得到;而嚴(yán)格地講,對(duì)每種碟片而言,10萬會(huì)員的需求量是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其分布參數(shù)可從上述1000名會(huì)員的調(diào)查數(shù)據(jù)估計(jì)得到.通過給定置信度計(jì)算置信區(qū)間上限得到10萬會(huì)員的碟片需求量.并指明：前者的處理方法是后者取置信度為0.5時(shí)的特例.

3.2 數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則.

模型假設(shè)的目的性準(zhǔn)則、簡明性準(zhǔn)則和真實(shí)性準(zhǔn)則仍可作為構(gòu)造模型的準(zhǔn)則.此外還應(yīng)遵循下列準(zhǔn)則：

(i)適合性準(zhǔn)則 要選擇適合問題本質(zhì)特征、符合建模目的要求及建模人能力特長、符合求解軟硬件條件的模型[4],“適合的就是最好的”.

例如1998年A題(投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益)中指明投資的總風(fēng)險(xiǎn)用各項(xiàng)投資中最大一項(xiàng)衡量,機(jī)械套用Markowitz理論用總收益方差作為目標(biāo)函數(shù)將導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.

再如我校參賽學(xué)生在構(gòu)造2006年A題(出版社的資源配置)模型時(shí),精選經(jīng)濟(jì)效益、滿意度、市場(chǎng)占有率和計(jì)劃準(zhǔn)確率4個(gè)指標(biāo),為評(píng)價(jià)各單位的綜合實(shí)力,又經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后用線性加權(quán)和法化為單目標(biāo)規(guī)劃模型,取得了優(yōu)異成績,其中王艷等3位同學(xué)獲高教社杯.而對(duì)于2007年B題,要求建模尋找乘公交(包括地鐵)出行的最佳線路.目標(biāo)可能有：換乘次數(shù)最少,時(shí)間最少,乘車費(fèi)用最少等.有的參賽者受2007年A題解法思維定勢(shì)的影響,仍然采用線性加權(quán)和法化為單目標(biāo)規(guī)劃,求得所謂綜合指標(biāo)為目的的“最優(yōu)線路”,顯然這不能滿足每個(gè)乘客的效用偏好,與題意不符.正確的方法是將各目標(biāo)按字典序排列,用目標(biāo)規(guī)劃法分別求出各種目標(biāo)下的最優(yōu)線路供乘客選擇.

(ii)基礎(chǔ)性準(zhǔn)則 盡可能以相關(guān)專業(yè)理論、成熟數(shù)學(xué)方法或已有數(shù)學(xué)模型作為基礎(chǔ),并有所改進(jìn)和創(chuàng)新.如在求解2004年B題(奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì))時(shí),我校參賽學(xué)生將商圈理論中著名的哈夫模型及哈夫法則[3]結(jié)合本題實(shí)際加以改進(jìn),解決了各商區(qū)有效購買力的計(jì)算問題.研究表明：近年來國內(nèi)外大學(xué)生數(shù)學(xué)模型賽題大多可在某些成熟模型基礎(chǔ)上改進(jìn)或推廣解決,但都需要結(jié)合題意,克服一定的困難,不能生搬硬套.仍以近年來我國CUMCM賽題為例：2005年B題(DVD在線租賃)可以指派問題模型為基礎(chǔ),但要克服隨機(jī)因素及DVD碟片的購買與分配相結(jié)合等困難;2006年A題可建立整數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃解決,但需要克服海量數(shù)據(jù)的篩選、不同質(zhì)優(yōu)化指標(biāo)的設(shè)置及標(biāo)準(zhǔn)化等困難;2007年B題的公交線路查詢可歸結(jié)為在有向圖上找最短路,但存在線路站點(diǎn)多、數(shù)據(jù)量大,公交車、地鐵的多條線路之間的換乘等困難,必須將最短路的Dijkstra和Floyd算法改進(jìn)后才能應(yīng)用于本題.

(iii)可行性準(zhǔn)則 為使建立的模型便于求解,應(yīng)盡量減少?zèng)Q策變量的個(gè)數(shù)、盡可能減少非線性約束和目標(biāo)函數(shù).

3.3 模型算法的評(píng)價(jià).

不同的數(shù)學(xué)模型可導(dǎo)致不同算法,而同一模型也可采用不同的算法.算法決定效率,甚至決定成敗.可用以下指標(biāo)評(píng)價(jià)算法：

(i)得到準(zhǔn)確解的比率 即多次應(yīng)用該算法計(jì)算同類問題得到準(zhǔn)確解的百分比.若準(zhǔn)確解難以得到,可用計(jì)算中獲得的最好解替代;

(ii)計(jì)算速度 可考察在特定的軟硬件環(huán)境條件下計(jì)算不同規(guī)模模型的時(shí)間.有條件時(shí)可作算法復(fù)雜性分析,判斷是否為有效算法(多項(xiàng)式時(shí)間算法);

(iii)占用內(nèi)存空間大小 這一指標(biāo)直接影響算法可解問題的規(guī)模.占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間過大的算法,無論其計(jì)算速度如何,都不能求解大規(guī)模問題.

再以2007年B題公交線路查詢問題為例：據(jù)統(tǒng)計(jì),絕大多數(shù)參賽隊(duì)根據(jù)集合求交思想利用搜索法求解,此法對(duì)換乘次數(shù)少的線路效率較高,但隨著換乘次數(shù)的加大,計(jì)算時(shí)間快速增加.盡管有方法改進(jìn),但算法及編程的復(fù)雜性令許多人難以承受.

若建立有向圖求最短路的0-1規(guī)劃模型求解,則建模思路清晰,模型結(jié)構(gòu)簡單,求解不受換乘次數(shù)的限制因而可精確地求出各種目標(biāo)下的最優(yōu)線路,所建模型具有通用性.但求解此模型必須解決數(shù)據(jù)量大占用內(nèi)存大的問題.如果考慮直達(dá)時(shí)間矩陣或距離矩陣容易生成而將問題處理成完全圖,那么近4千個(gè)站點(diǎn)每兩站對(duì)應(yīng)一條邊,共有近1600萬條邊,在0-1規(guī)劃中對(duì)應(yīng)同樣多的決策變量xij,這是計(jì)算機(jī)內(nèi)存不能承受的,不少參賽隊(duì)因此受阻.2008年暑假集中培訓(xùn)時(shí),我們指導(dǎo)學(xué)生利用MATLAB軟件編程列出所有直達(dá)邊,此時(shí)邊數(shù)為不到39萬條,僅為處理成完全圖時(shí)的1/40.再算出對(duì)應(yīng)邊的最短直達(dá)時(shí)間和最少直達(dá)費(fèi)用并生成文本文件,利用軟件間的數(shù)據(jù)交換功能將上述數(shù)據(jù)導(dǎo)入Lingo程序并成功運(yùn)行,得到模型的精確結(jié)果.學(xué)生在模型與算法的比較評(píng)價(jià)中學(xué)會(huì)建模、學(xué)會(huì)計(jì)算,增長才干.

3.4 模型結(jié)果的評(píng)價(jià)與檢驗(yàn).

在人們費(fèi)盡周折建立并求解數(shù)學(xué)模型并得到結(jié)果后,即進(jìn)入結(jié)果評(píng)價(jià)階段.注意到對(duì)于開放性問題,不同的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不同的模型從而得到不同結(jié)果,其正誤難以比較;此外,數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、步驟多、數(shù)據(jù)量大,正確結(jié)果通常未知,結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)并非易事,完全避免出錯(cuò)幾乎是不可能的.然而省略這一步驟則可能前功盡棄.因而采用適當(dāng)策略提高檢驗(yàn)效率以降低出錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn)是明智的.我們建議按實(shí)際情況選擇使用粗略檢驗(yàn)與細(xì)致檢驗(yàn)兩類方法.

以下為粗略檢驗(yàn)：

(i)檢驗(yàn)量的界限.數(shù)學(xué)模型中的變量都有明確的實(shí)際意義,其取值的正負(fù)、范圍?？深A(yù)知,若結(jié)果不符合這些條件則必錯(cuò)無疑.對(duì)于最優(yōu)化問題,如用其它方法得到的可行解較模型中解出的“最優(yōu)解”還優(yōu),則結(jié)果錯(cuò)誤明顯.

(ii)檢驗(yàn)量的對(duì)稱性.實(shí)際問題中條件對(duì)稱的兩個(gè)量其計(jì)算結(jié)果應(yīng)保持一致,否則結(jié)果錯(cuò)誤.如在2004年A題中,所處位置對(duì)稱的兩個(gè)商區(qū)人流量應(yīng)一致,如A5與A7,A2與A10,B2與B4,C1與C3的人流量不等,則計(jì)算有誤.

(iii)檢驗(yàn)參數(shù)取特殊值時(shí)的結(jié)果.如果一個(gè)模型是由熟知的經(jīng)典模型擴(kuò)充推廣而成,則參數(shù)取特殊值使模型復(fù)原時(shí),應(yīng)得到原經(jīng)典模型的結(jié)果.例如：若求得允許缺貨庫存模型的訂貨批量,在令單位缺貨成本無窮增大時(shí)與不允許缺貨條件下的結(jié)果不同,則模型計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

以下為細(xì)致檢驗(yàn).當(dāng)條件許可時(shí),采用細(xì)致檢驗(yàn)策略可能比將問題重新求解一遍效果更佳、時(shí)間更省.

(i)多種解法或多人(競(jìng)賽時(shí)僅限于同隊(duì)隊(duì)員間)計(jì)算結(jié)果對(duì)比.若利用多種方法求解同一問題或多人求解同一問題得到一致或基本一致的結(jié)果,則求解出錯(cuò)概率大大降低,且不同解法所依據(jù)的原理差異越大,檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性越高.例如在求解2007年B題時(shí),將集合求交法與0-1規(guī)劃法求解的結(jié)果進(jìn)行比較和相互驗(yàn)證,效果極為理想.

(ii)分層分步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算結(jié)果.模型解決的問題可由多個(gè)子問題有序構(gòu)成,前面子問題的結(jié)果可影響后繼子問題;每個(gè)子問題的求解由假設(shè)、建模、編程等步構(gòu)成,每步的結(jié)果直接影響后繼步的結(jié)果.解決問題過程中分層分步檢驗(yàn),盡可能在每一步中查出并糾正錯(cuò)誤,避免錯(cuò)誤累積,大大提高了工作效率.例如2000年B題(鋼管訂購和運(yùn)輸)的各鋼廠到各待鋪設(shè)管道節(jié)點(diǎn)的費(fèi)用矩陣、2007年B題的直達(dá)時(shí)間(費(fèi)用)矩陣等都是應(yīng)該重點(diǎn)檢驗(yàn)、不容有錯(cuò)的中間結(jié)果.

[1] 趙建昕.提高數(shù)學(xué)建模能力的策略研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,13(3)：50-52.

[2] 丁思統(tǒng).關(guān)于數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)與檢驗(yàn)[J].江西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2006,28(4)：641-644.

[3] 趙麗君,朱華嵐.基于GIS商業(yè)零售業(yè)商圈分析[J].遙感技術(shù)與應(yīng)用,2003,18(3)：144-148.

[4] 葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材(一)[M].長沙：湖南教育出版社,2000.

[5] 陳理榮.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社,1999.

Practice and Thoughts on Mathematical Modeling Evaluation

W EI Guo-qiang
(School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China)

Mathematical modeling evaluation is very necessary in raising students’modeling ability.Its presupposition must abide by purpose,simplicity and objectiveness.Mathematical model’s selection should accord with suitability,basic and feasibility.We put forward evaluation index abort model algorithm and check policy about calculate result.It is helpful to success of mathematical modeling teaching and competition to apply suitably this criterion and policy in the mathematical modeling practice.

mathematical modeling;evaluation;criterion;index;policy

G421

C

1672-1454(2011)03-0164-04

2008-09-16