曾 磊 ,石友安 ,孔榮宗,賀立新,桂業(yè)偉

(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心,四川綿陽 621000)

0 引 言

熱環(huán)境地面風(fēng)洞試驗(yàn)是考核理論計(jì)算方法,為防熱設(shè)計(jì)提供依據(jù)的重要手段。地面試驗(yàn)的測(cè)熱精度直接影響著計(jì)算方法和防熱結(jié)構(gòu)的選取,是決定飛行成敗與否的關(guān)鍵因素之一。薄膜電阻溫度計(jì)作為激波風(fēng)洞中最常用的熱流測(cè)量傳感器,試驗(yàn)工作人員從傳感器制作、標(biāo)定、安裝,數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的采樣頻率等多方面入手以提高測(cè)熱試驗(yàn)精度。實(shí)際上,薄膜電阻溫度計(jì)在試驗(yàn)中測(cè)量得到的電壓信息(即溫度值變化量),還需要通過理論分析和計(jì)算將溫度信息轉(zhuǎn)化為熱流值。一直以來,薄膜電阻溫度計(jì)的理論分析都是從一維兩層介質(zhì)出發(fā),推導(dǎo)簡(jiǎn)化為一維半無限數(shù)學(xué)模型,再經(jīng)過數(shù)值積分(Cook-Felderman公式)或熱電模擬網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化獲得傳感器表面熱流值。但是,薄膜電阻溫度計(jì)是三維的,其表面鉑層內(nèi)也是有溫度分布的,且隨著鉑層溫度的升高進(jìn)入鉑層內(nèi)的熱流會(huì)逐漸降低。所以,試驗(yàn)中測(cè)量得到的溫度信息實(shí)際上是由一個(gè)時(shí)變的熱壁熱流引起的,這在后期的數(shù)據(jù)處理中是必須予以考慮的。

另外,目前常用的由溫度變化量計(jì)算熱流值所采用的Cook-Felderman公式或熱電模擬網(wǎng)絡(luò)都是基于一維半無限假設(shè)的數(shù)據(jù)處理方法。實(shí)際上,熱電模擬網(wǎng)絡(luò)的處理方法也是由Cook-Felderman公式轉(zhuǎn)化而來的,這種數(shù)值積分的方法對(duì)于測(cè)試噪聲有著累積和放大的效應(yīng),使得處理得到的熱流值存在較大的波動(dòng)。

筆者從三維薄膜電阻溫度計(jì)計(jì)算模型入手,對(duì)比研究一維簡(jiǎn)化、一維半無限簡(jiǎn)化計(jì)算方法對(duì)鉑層內(nèi)溫升規(guī)律的影響,研究熱壁熱流對(duì)表面溫升的影響,并由此建立可行的基于熱傳導(dǎo)反問題計(jì)算方法的表面溫升——熱流值的計(jì)算方法,為提高測(cè)熱精度提供可行的分析和數(shù)據(jù)處理手段。

1 薄膜電阻溫度計(jì)熱傳導(dǎo)模型理論簡(jiǎn)化分析

(1)一維簡(jiǎn)化影響分析

薄膜電阻溫度計(jì)的外形如圖1,基體材料為硼硅酸玻璃(ρ=2500kg/m3,Cp=1000J/kg?K,k=0.66W/m?s),表面鍍層的金屬薄膜材料為鉑(ρ=21450kg/m3,Cp=132J/kg?K,k=71.1W/m?s)。

圖1 薄膜傳感器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of thin film resistance thermometer

三維熱傳導(dǎo)計(jì)算采用有限元計(jì)算方法,直角坐標(biāo)系下的熱傳導(dǎo)控制方程為

傳感器網(wǎng)格如圖2所示。三維計(jì)算網(wǎng)格中取鉑層厚度為 5μ m,玻璃基體長(zhǎng)度為 20mm,直徑為3mm,為了簡(jiǎn)化計(jì)算鉑層外形取為長(zhǎng)方體。計(jì)算了不同來流熱流條件下,采用三維傳熱計(jì)算與一維傳熱計(jì)算鉑層內(nèi)溫度的分布情況,鉑層厚均取5μ m,初始溫度均為300K,三維傳熱計(jì)算時(shí)除鉑層所在的上表面取恒熱流邊界條件外,其余面均取絕熱邊界條件,這與試驗(yàn)條件中上表面暴露在模型表面,其余各面均用航空密封泥填充的邊界條件是相適應(yīng)的。圖3為1MW/m2熱流條件下,鉑層內(nèi)溫度對(duì)比圖,由該圖可見采用三維傳熱算法得到的鉑層內(nèi)溫度平均值,與一維傳熱計(jì)算得到的鉑層內(nèi)溫度值基本相同。同時(shí),分別采用三維和一維傳熱理論計(jì)算了表面熱流由85kW/m2至5MW/m2條件下,鉑層內(nèi)溫度隨時(shí)間變化規(guī)律,兩者所得結(jié)果基本相同,這說明由于玻璃基體材料導(dǎo)熱系數(shù)很小,鉑層附近玻璃基體的橫向傳熱是可以忽略的。由此可以說明薄膜電阻溫度計(jì)可以作為一維問題處理。

圖2 傳感器網(wǎng)格圖Fig.2 Grid of sensor

圖3 鉑層內(nèi)溫度對(duì)比圖Fig.3 Comparison of temperature of film

(2)半無限簡(jiǎn)化影響分析

目前的處理方法是將薄膜電阻溫度計(jì)當(dāng)作一維半無限體處理,忽略鉑層厚度的影響。圖 4為1MW/m2熱流條件下,鉑層5μ m厚時(shí)薄膜傳感器表面溫度分布云圖,可見鉑層的溫度是低于玻璃基體表面的溫度的。圖5所示為表面1MW/m2熱流下,不同鉑膜厚度對(duì)鉑層內(nèi)溫升的影響。當(dāng)膜厚為5、2和1μ m時(shí),其表面溫升與采用半無限假設(shè)得到的溫升相差分別為8%、4%和2%。這說明隨著鉑層厚度的變薄,一維半無限簡(jiǎn)化理論逐漸適用于薄膜電阻溫度計(jì)的傳熱分析。

圖4 傳感器表面溫度分布Fig.4 Temperature distribution of sensor's surface

(3)熱壁熱流影響分析

之前兩小節(jié)中給定的表面熱流條件均為進(jìn)入傳感器的熱流值,即為熱壁熱流。實(shí)際上,由測(cè)量得到的電信號(hào)(即表面溫度信號(hào))直接轉(zhuǎn)換得到熱流信息是熱壁熱流信息,需要通過轉(zhuǎn)換得到冷壁熱流值才能應(yīng)用于后期的燒蝕試驗(yàn)和防熱設(shè)計(jì)。熱壁熱流與冷壁熱流的關(guān)系可以用測(cè)試風(fēng)洞的總溫和傳感器被加熱面的溫度來確定,具體如公式(2)

圖5 不同鉑層厚度溫升對(duì)比圖Fig.5 Temperature in different films

圖6 熱壁熱流對(duì)表面溫升的影響Fig.6 Effect of heat flux on temperature rising

圖7 表面溫升對(duì)熱流的影響Fig.7 Effect of temperature rising on heat flux

以中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心的φ 2m激波風(fēng)洞為例,當(dāng)T∞=58K,Ma=9時(shí),風(fēng)洞運(yùn)行總溫約為1000K,若給定1MW/m2的冷壁熱流,考慮表面溫升與熱流的耦合效應(yīng),則在10ms之后進(jìn)入傳感器內(nèi)部的熱流為冷壁熱流的88%,表面溫升比不考慮耦合效應(yīng)的情況下低了近10%。

由此可見,在使用測(cè)量得到的溫度數(shù)據(jù)計(jì)算表面冷壁熱流時(shí),必須要考慮傳感器結(jié)構(gòu)溫升與熱流的耦合影響。

2 導(dǎo)熱反問題在薄膜電阻溫度計(jì)測(cè)熱試驗(yàn)中的應(yīng)用

現(xiàn)有的薄膜電阻溫度計(jì)測(cè)熱數(shù)據(jù)處理方法采用的是建立在一維半無限假設(shè)基礎(chǔ)上的Cook-Felderman公式(公式3),以及在實(shí)際測(cè)熱試驗(yàn)中采用的熱電模擬網(wǎng)絡(luò),具體處理方法見文獻(xiàn)[1]。

熱流測(cè)試原理上是測(cè)量熱流引起的溫度變化,通過數(shù)據(jù)處理得到熱流,本質(zhì)上是一個(gè)熱傳導(dǎo)反問題。從數(shù)學(xué)上講,熱傳導(dǎo)反問題屬于偏微分方程逆問題,是個(gè)不適定問題。它的不適定性主要體現(xiàn)在不滿足穩(wěn)定性上,即解不連續(xù)依賴于數(shù)據(jù),表現(xiàn)為微小的誤差可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的巨大變化。由于不適定的存在,熱傳導(dǎo)反問題的求解難度比相應(yīng)的正問題大得多。

對(duì)于測(cè)試數(shù)據(jù)而言,誤差是無法避免的,即：Tm=Texact+ε,ε為測(cè)量誤差。

分母實(shí)際上就變成了一個(gè)放大因子,對(duì)測(cè)溫誤差進(jìn)行放大。這就是Cook-Federman公式對(duì)誤差放大的原因之一。

式中符號(hào)意義：觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo) xm;測(cè)量溫度Tm;辨識(shí)溫度 T;誤差ε。

(1)共軛梯度法(CGM：Conjugate Gradient Method)

共軛梯度法也稱為迭代正則化方法,其基本思想則是將優(yōu)化問題分解為熱傳導(dǎo)正問題、靈敏度問題和伴隨變量問題來進(jìn)行求解。

梯度的計(jì)算與伴隨變量有關(guān),伴隨變量可通過求解伴隨方程來獲取。為得到伴隨方程,首先將目標(biāo)函數(shù)(4)寫為如下的擴(kuò)展形式

式中P稱為伴隨變量。對(duì)(5)式后半部分分部積分后再做變分,整理得到伴隨方程

初值條件 ：t=tmax：P=0

1.2.2 對(duì)照組干預(yù)措施 在接受基礎(chǔ)干預(yù)措施的同時(shí)，由醫(yī)務(wù)人員在就醫(yī)期間和門診隨診時(shí)采取常規(guī)健康教育：包括醫(yī)學(xué)營養(yǎng)指導(dǎo)、運(yùn)動(dòng)指導(dǎo)、血糖監(jiān)測(cè)指導(dǎo)等。

整理得到,目標(biāo)函數(shù)對(duì)q的梯度為

步長(zhǎng)由下式計(jì)算

式中ΔT是由Δ q=pn引起的各時(shí)刻溫度場(chǎng)的變化值。

在優(yōu)化過程中,收斂準(zhǔn)則根據(jù)輸出誤差原則獲得,即

σ為測(cè)量誤差的均方差,M為測(cè)點(diǎn)數(shù)

至此,共軛梯度法中涉及的梯度,步長(zhǎng)均已求出,共軛梯度可由梯度、步長(zhǎng)構(gòu)造。具體優(yōu)化細(xì)節(jié)可參閱文獻(xiàn)[2]。

(2)順序函數(shù)法(FSM：Function Specification Method)

順序函數(shù)法是基于熱傳導(dǎo)過程具有阻尼性和延遲性提出的。它不同于共軛梯度法的全時(shí)間域估計(jì),而是按時(shí)間順序估計(jì)表面熱流。用此方法辨識(shí)未知熱流q(t)時(shí),問題可以描述成：已知tM時(shí)刻的前M-1個(gè)時(shí)刻處的熱流q1,q2……qM-1和后r個(gè)時(shí)刻的溫度值TM,TM+1,……RM+r-1,辨識(shí)tM時(shí)刻的熱流qM。因此,辨識(shí)qM時(shí),對(duì)應(yīng)的正問題應(yīng)該體現(xiàn)在時(shí)間域[tM-1,tM+r-1]內(nèi)的熱傳導(dǎo)過程。選取如下目標(biāo)泛函

由熱傳導(dǎo)過程的延遲性可知,T(tM+n)不僅取決于qM+n,還取決于qM+1,qM+2……qM+n-1,因此,為了辨識(shí)qM,必須假設(shè)它們的值?，F(xiàn)假設(shè)各邊界點(diǎn)上qM至qM+r-1是線性變化的,當(dāng)時(shí)間間隔是常數(shù)時(shí),即

則目標(biāo)函數(shù)式(10)僅為qm的函數(shù),關(guān)于qm求導(dǎo),即得到辨識(shí)值

至此,辨識(shí)邊界熱流時(shí)序值的順序函數(shù)法已經(jīng)完全建立?；静襟E是在時(shí)間方向上按順序向后推進(jìn)辨識(shí)。根據(jù)初始q0和 T0,辨識(shí)得到 q1和 T1。它們又作為辨識(shí)下一時(shí)刻q2的初始條件,重復(fù)上述步驟進(jìn)行辨識(shí)。依此類推,即可得到q(t)。

(3)不同方法的對(duì)比分析

應(yīng)用Cook-Felderman公式計(jì)算方法、共扼梯度法、順序函數(shù)法對(duì)中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心的φ 2m激波風(fēng)洞某車次測(cè)熱試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理分析,并考慮第一小節(jié)中熱壁熱流的影響。

如圖8所示,采用Cook-Felderman公式計(jì)算得到的熱流數(shù)據(jù)波動(dòng)相對(duì)較大,且在0.02s之后計(jì)算熱流值與導(dǎo)熱反問題計(jì)算得到熱流值相差較大。且由于薄膜傳感器鍍膜厚度很薄(＜1μ m),所以Cook-Felderman公式計(jì)算結(jié)果并沒有出現(xiàn)明顯的滯后現(xiàn)象。

圖8 不同測(cè)熱數(shù)據(jù)處理方法比較Fig.8 Comparison between different data processing methods

圖9為以數(shù)據(jù)處理后得到的熱流值為邊界條件,計(jì)算得到的傳感器表面溫升情況。由圖可見在全時(shí)間域內(nèi),共扼梯度法反算得到的溫度值與實(shí)測(cè)溫度值都有很好的吻合,而Cook-Felderman方法反算得到的溫度值在0.02s之后明顯高于實(shí)測(cè)值,這是由于Cook-Felderman公式本身有對(duì)誤差積累和放大的作用。

圖9 反演熱流再計(jì)算溫度對(duì)比Fig.9 Comparison between different temperatures

圖10為熱壁熱流效應(yīng)對(duì)采用順序函數(shù)法辨識(shí)表面熱流值的影響。由圖可見考慮表面溫升對(duì)熱流的影響后,在15～20ms時(shí)間段內(nèi),溫升為 20～30K的情況下,得到的傳感器表面冷壁熱流比熱壁熱流高近5%。由(2)式可知,隨著表面溫度的升高,冷壁熱流與熱壁熱流相差越來越大。同時(shí),公式2也是用于對(duì)Cook-Felderman方法和共扼梯度法計(jì)算得到的熱流值的修正。

圖10 熱壁熱流效應(yīng)影響Fig.10 Effect of hot-wall heat flux

3 小結(jié)與展望

(1)通過對(duì)比計(jì)算,薄膜電阻溫度計(jì)的數(shù)據(jù)處理采用一維半無限假設(shè)是合理的。當(dāng)膜厚小于1μ m時(shí),一維半無限模型和三維計(jì)算模型得到的結(jié)果相差不到2%;

(2)采用導(dǎo)熱反問題計(jì)算得到的熱流結(jié)果與采用Cook-Felderman方法得到的結(jié)果在趨勢(shì)上很相似。雖然Cook-Felderman方法得到的結(jié)果波動(dòng)較大,但對(duì)于激波風(fēng)洞測(cè)熱來說有效數(shù)據(jù)一般取在15～20ms相對(duì)平滑的階段,且取該時(shí)間段的平均值,其有效熱流值結(jié)果與導(dǎo)熱反問題計(jì)算結(jié)果基本符合。同時(shí),Cook-Felderman方法的計(jì)算時(shí)間也比反問題的計(jì)算略短,可以很快地處理大量的測(cè)熱數(shù)據(jù);

(3)導(dǎo)熱反問題計(jì)算方法具有良好的抗噪性和適定性,可以有效地獲得平滑的熱流數(shù)據(jù),有利于反映熱流隨時(shí)間的變化規(guī)律,對(duì)于辨識(shí)時(shí)變的熱流值有一定的優(yōu)勢(shì);

總之,采用Cook-Felderman方法處理薄膜電阻溫度計(jì)在脈沖式風(fēng)洞中測(cè)量得到的溫度信號(hào)是可行的,但測(cè)量傳感器必須符合一維半無限假設(shè)條件。熱傳導(dǎo)反問題的計(jì)算方法計(jì)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng),適用于處理較長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)變熱流值。另外,反問題的計(jì)算方法可以推廣至軸對(duì)稱或多維的情況,適用于處理結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜的傳感器測(cè)量得到的溫度信號(hào)(如同軸熱電偶熱流傳感器),或大面積測(cè)熱數(shù)據(jù)。

[1] 張志成,劉初平,孔榮宗,等.高超聲速氣動(dòng)熱和熱防護(hù)之再入飛行器熱環(huán)境地面試驗(yàn)[M].北京：國防工業(yè)出版社,2002.

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