李世平，付 宇，張 進(jìn)

（第二炮兵工程學(xué)院，陜西 西安 710025）

0 引 言

對儀器的測量誤差進(jìn)行修正，提高測量準(zhǔn)確度，其關(guān)鍵技術(shù)是如何分離測量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。測量誤差分離程度的好壞直接關(guān)系到修正的效果。

測量誤差的分離方法現(xiàn)在使用較多的主要有最小二乘回歸法、中值濾波法、傅里葉級數(shù)逼近法、小波和小波包分解法等。最小二乘回歸法在誤差分離中存在模型階數(shù)確定困難；中值濾波法誤差分離準(zhǔn)確度難以提高；Fourier級數(shù)逼近、小波和小波包分解法，都屬于基于基函數(shù)的分離方法，F(xiàn)ourier級數(shù)逼近法采用三角基函數(shù)逼近，選用不同的基函數(shù)，會得到不同的分離結(jié)果，但基函數(shù)的選擇本身就是難點(diǎn)。針對上述問題，提出了基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）誤差分離的一種新方法，EMD分解的基函數(shù)是不確定的，它在分解過程中依賴于誤差信號本身，是自適應(yīng)的。對于不同的誤差信號，基函數(shù)的選擇是不同的，也可以說這種分離方法采用的是一種自適應(yīng)廣義基。盡管無法給出基函數(shù)的確切表達(dá)式，但由于依賴于誤差信號本身是自適應(yīng)的，所以能夠通過這樣的廣義基得到非常好的分離效果。由于EMD分解是自適應(yīng)性分解，這種自適應(yīng)性表現(xiàn)為在不同的局部時間內(nèi)其時間尺度是可以不同的，上一級基本模式分量的所有時間尺度不一定需要全部小于下一級的時間尺度，各個基本模式分量內(nèi)時間尺度的變化完全是由誤差信號本身的特性決定的[1]。

1 誤差特征分析

根據(jù)誤差理論可知，誤差按照其性質(zhì)和特點(diǎn)可以分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差3種。

1.1 系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在重復(fù)性條件下，同一被測量無窮多次測量結(jié)果的均值與該被測量真值之差，其主要特征是具有規(guī)律性[2]。由于儀器自身的測量原理、組成結(jié)構(gòu)、存放與使用環(huán)境因素的影響和操作的直接作用，使得系統(tǒng)誤差具有一定的變化規(guī)律。存在有不變的系統(tǒng)誤差、線性變化的系統(tǒng)誤差、指數(shù)變化的系統(tǒng)誤差、周期函數(shù)變化的系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差5種形式。

圖1 系統(tǒng)誤差的特征

圖1所示為各種系統(tǒng)誤差隨時間變化而表現(xiàn)出不同的特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差；b為線性變化的系統(tǒng)誤差；c為指數(shù)函數(shù)系統(tǒng)誤差；d為周期函數(shù)系統(tǒng)誤差；e為復(fù)雜規(guī)律便變化的系統(tǒng)誤差[2]。

1.2 隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是指相同測量條件下，誤差的大小和符號的變化均沒有固定規(guī)律。因此，隨機(jī)誤差的特征是沒有規(guī)律性、不可預(yù)見性和不可控制性。然而就其的總體而言，隨機(jī)誤差具備有界性、對稱性和抵償性，具有統(tǒng)計規(guī)律性。隨機(jī)誤差用概率統(tǒng)計的方法進(jìn)行處理。

1.3 粗大誤差

超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差，此誤差較大，明顯歪曲測量結(jié)果，通常不包含在合理的測量數(shù)據(jù)中。

2 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分離原理

2.1 EMD方法原理[3]

美國宇航局的Huang等于1998年提出了固有模態(tài)函數(shù)（IMF）的概念以及將任意信號分解為固有模態(tài)函數(shù)的方法，即經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）。由EMD分解產(chǎn)生的IMF是根據(jù)信號本身的特點(diǎn)自適應(yīng)得到的，分解出來的固有模態(tài)函數(shù)滿足以下2個條件：

（1）在整個數(shù)據(jù)序列中，極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)目相等或最多相差1個。

（2）在任意時間點(diǎn)上，信號極大值確定的上包絡(luò)線和極小值確定的下包絡(luò)線的均值為零。

EMD分解就是將信號分解成一系列表征信號特征時間尺度的IMF，其結(jié)果是將信號中不同尺度的波動或趨勢逐級分解，產(chǎn)生一系列具有不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列，每一序列就是IMF。

信號數(shù)據(jù)x（t）進(jìn)行EMD分解的步驟如下：

（1）首先找出x（t）上所有極值點(diǎn)，將所有極大值點(diǎn)和所有極小值點(diǎn)分別用三次樣條插值函數(shù)擬合出x（t）上、下包絡(luò)線，上、下包絡(luò)線間應(yīng)包含所有的信號數(shù)據(jù)。將2條包絡(luò)線的平均值記為m1，x（t）與m1的差記作h1，即

在理想情況下，h1應(yīng)為一個IMF分量。但事實(shí)上，由于包絡(luò)擬合中過沖和欠沖現(xiàn)象的存在，會產(chǎn)生新的極值點(diǎn)。因此，分解必須進(jìn)行多次。

在第2次分解中，把h1看作待處理數(shù)據(jù)，其包絡(luò)均值為m11，則有

該過程重復(fù)k次，得到

直到h1k滿足IMF的條件為止，于是得到第1個IMF分量，記作

它表示信號數(shù)據(jù)序列中最高頻率的分量。

為了保證IMF分量有意義，必須確定一個停止準(zhǔn)則。為此，Huang等人提出限制標(biāo)準(zhǔn)差SD的值來停止分解。SD的表達(dá)式如下：

當(dāng)SD小于預(yù)先設(shè)定的值時，分解就停止。SD的值常取0.2～0.3之間。

（2）用x（t）減去c1（t），得到去掉高頻成分的新數(shù)據(jù)序列r1（t）為

將r1（t）視為新的x（t），重復(fù)以上過程，依次得到第2個IMFc2（t），…，cn（t）或rn（t）滿足終止條件分解終止。由此可得x（t）的分解式為

式中：rn（t）——?dú)堄嗪瘮?shù)，代表信號的趨勢項；

c1（t），c1（t），…，cn（t）——信號從高到低不同頻率的分量。

通常，EMD分解出來的前幾個IMF分量集中了原信號中最顯著、最重要的信息[3]。

2.2 系統(tǒng)誤差的分離

按照系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)，雖然存在有各種不同形式，但其變化是有規(guī)律的。根據(jù)該文前面介紹的內(nèi)容可知，通過EMD分解得到的IMF分量和趨勢項來確定、提取系統(tǒng)誤差。

從IMF分量和趨勢項函數(shù)中判定系統(tǒng)誤差，應(yīng)該按照系統(tǒng)誤差的形式進(jìn)行確定，根據(jù)系統(tǒng)誤差的諸多形式，趨勢項函數(shù)一定屬于某種形式的系統(tǒng)誤差[2，4]。如何提取按周期規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，應(yīng)當(dāng)按照系統(tǒng)誤差的性質(zhì)和其確定的規(guī)律性特點(diǎn)來判定，當(dāng)存在不同頻率IMF分量函數(shù)時，低頻IMF分量函數(shù)應(yīng)屬于周期性系統(tǒng)誤差，高頻IMF分量函數(shù)是否屬于周期性系統(tǒng)誤差是不能直接確定的。該文采用自相關(guān)分析的方法對高頻IMF分量函數(shù)進(jìn)行提取周期性系統(tǒng)誤差。

自相關(guān)分析的目的是確定信號在不同時間的依賴關(guān)系或相似程度[1]，是提取信號周期的常用方法，可提取混有噪聲的周期信號，但前提條件是信噪比較高[5]。對于高頻IMF分量函數(shù)的系統(tǒng)誤差分離方法，實(shí)際上是小周期性系統(tǒng)誤差的分離。首先采用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法將誤差分解到各個IMF分量函數(shù)，達(dá)到降低噪聲誤差的作用；然后采用自相關(guān)分析法，判別每個IMF分量中是否含有淹沒于噪聲誤差中的周期信號，進(jìn)而利用頻譜圖，提取該系統(tǒng)誤差的頻率；最后對含有的小周期性系統(tǒng)誤差進(jìn)行擬合。

2.3 隨機(jī)誤差的分離

對于合理測量誤差數(shù)據(jù)，它是由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩部分組成的，在一定條件下，當(dāng)已知其中某一誤差分量，另一部分誤差分量可求出。在使用EMD誤差分離方法分離出測量誤差的系統(tǒng)誤差分量后，如若系統(tǒng)與隨機(jī)誤差是代數(shù)和組合形式，隨機(jī)誤差分量通過測量誤差數(shù)據(jù)減去系統(tǒng)誤差即可得到。否則，使用單獨(dú)的分離隨機(jī)誤差的方法分離。

3 系統(tǒng)誤差的分離與仿真

按照系統(tǒng)誤差的變化特征，分別對系統(tǒng)誤差為線性變化、指數(shù)變化、冪函數(shù)變化和周期變化的4種情況進(jìn)行仿真實(shí)驗，說明EMD分解提取系統(tǒng)誤差的有效性。

設(shè)仿真誤差x（t）由兩部分組成，一部分是干擾誤差函數(shù) s（t），另一部分是系統(tǒng)誤差函數(shù) d（t），即

為了仿真方便，這里假設(shè)干擾誤差函數(shù)s（t）的表達(dá)式為

當(dāng)然干擾函數(shù)也可以取任何其他函數(shù)或白噪聲函數(shù)。

3.1 系統(tǒng)誤差為線性變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 EMD分解結(jié)果

圖3 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖2中，第1行為誤差x（t），第2行為100Hz的正弦分量，第3行為50Hz的正弦分量，第4行為余項，即線性變化的系統(tǒng)誤差。圖3給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較及誤差曲線，圖3（a）給出了提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差的對比，其中實(shí)際系統(tǒng)誤差用實(shí)線繪制，提取的系統(tǒng)誤差用虛線繪制?？梢钥吹?，2條曲線吻合度較高，利用EMD可以有效地提取線性變化的系統(tǒng)誤差。圖3（b）給出了它們的誤差曲線圖，可以看到，由于EMD算法中的端點(diǎn)效應(yīng)[6-7]，使得數(shù)據(jù)的兩端誤差較大。

3.2 系統(tǒng)誤差為指數(shù)變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖4所示。圖5給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較及誤差曲線。

圖4 EMD分解結(jié)果

圖5 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

3.3 系統(tǒng)誤差為冪函數(shù)變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖6所示。圖7給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線比較及它們的誤差曲線。

3.4 系統(tǒng)誤差為大周期的周期變化

設(shè)系統(tǒng)誤差d（t）的表達(dá)式為

以均值為零、方差為1的正態(tài)分布白噪聲作為干擾誤差函數(shù)，對誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖8所示。圖9給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較以及它們的誤差曲線。分離結(jié)果表明EMD能夠有效分離出大周期的周期性系統(tǒng)誤差。

3.5 系統(tǒng)誤差為小周期的周期變化

當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差比白噪聲干擾誤差函數(shù)的周期大得多時，分離效果同線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的效果相當(dāng)，達(dá)到了分離要求；如若周期性系統(tǒng)誤差d（t）的周期與干擾誤差的周期相接近時，EMD的分離效果較差。

圖6 EMD分解結(jié)果

圖7 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖8 EMD分解結(jié)果

設(shè)系統(tǒng)誤差d（t）的表達(dá)式為

圖9 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖10 誤差時域圖

圖11 EMD分解結(jié)果

以均值為零、方差為1的正態(tài)分布白噪聲作為干擾誤差，如圖10所示。對其進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖11。

圖12 誤差頻譜

圖13 IMF的自相關(guān)函數(shù)圖

圖14 IMF1頻譜圖

圖15 IMF2頻譜圖

從圖11中可以看出，線性變化的系統(tǒng)誤差很容易就被分離出來，而小周期的周期性系統(tǒng)誤差卻很難與干擾誤差分離，且EMD的分解含有很多虛假趨勢項。由于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法是依據(jù)信號時域波形極值的自適應(yīng)性分解，當(dāng)系統(tǒng)誤差的周期遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差時效果顯著，如3.1～3.4；當(dāng)系統(tǒng)誤差周期接近于干擾誤差周期時，分離效果不理想，如 3.5。

從圖11中發(fā)現(xiàn)，在IMF1-IMF4的時域圖中，幾乎分辨不出哪層含有周期性的系統(tǒng)誤差。圖12為該誤差的自相關(guān)頻域圖，能判斷出含有頻率為30 Hz的周期分量。

圖13為EMD分解后各層IMF的自相關(guān)函數(shù)圖，由上至下分別為 r1，r2，r3，r4。經(jīng)過對 r1，r2，r3，r4分別作出各自的頻譜圖，可以明顯發(fā)現(xiàn)IMF1、IMF2兩分量中含有頻率為30Hz的周期性系統(tǒng)誤差，如圖14、圖15所示。

4 結(jié)束語

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法作為既適于線性、平穩(wěn)信號，又適于非線性、非平穩(wěn)信號的一種新的信號處理方法，已在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用。該文將經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法運(yùn)用于測量誤差數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差分離，通過仿真驗證，該分解方法能夠有效地應(yīng)用于測量誤差數(shù)據(jù)的分離，并成功地將具有不同變化特征的系統(tǒng)誤差進(jìn)行有效提取，尤其是與自相關(guān)分析結(jié)合的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法在分離周期變化的系統(tǒng)誤差上取得了較好的效果，為系統(tǒng)誤差分離提供了一種新的方法。

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