劉 鑫，孟昭為

(山東理工大學(xué)理學(xué)院 ，山東淄博 255049)

在金融時(shí)間序列中，一元SV模型對(duì)時(shí)變方差的研究已經(jīng)相當(dāng)?shù)某墒欤堰@些模型推廣到多元SV模型，研究分析多元金融時(shí)間序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)，然后把它們應(yīng)用于投資組合的優(yōu)化、風(fēng)險(xiǎn)管理以及衍生性商品定價(jià)等方面已成為現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)最為關(guān)注的問題之一。對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率模型的多元因子建模，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到對(duì)高維股票收益數(shù)據(jù)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)分析中。另一方面，在目前的文獻(xiàn)中，對(duì)帶有交叉杠桿效應(yīng)的MSV模型的有效估計(jì)方法(或者非對(duì)稱性)的研究還很少。

本文研究的是一個(gè)帶有交叉杠桿效應(yīng)的廣義MSV模型，并利用多步移動(dòng)抽樣，提出了一個(gè)新的有效的MCMC算法。對(duì)SV模型運(yùn)用MCMC方法，關(guān)鍵是從它們的完全條件后驗(yàn)分布中有效地抽取潛在的波動(dòng)變量的樣本。對(duì)一元波動(dòng)變量來說在其他時(shí)刻的波動(dòng)變量和其他參數(shù)給定的條件下，這一時(shí)刻的波動(dòng)變量用單步移動(dòng)抽樣很容易獲得。這就表示當(dāng)用單步移動(dòng)抽樣時(shí)，要多次重復(fù)使用MCMC算法進(jìn)行抽樣，以獲得準(zhǔn)確的估計(jì)。因此，本文依據(jù)近似線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型提出了一個(gè)快速、有效的狀態(tài)抽樣算法。

1 帶有交叉杠桿效應(yīng)的MSV模型

1.1 MSV模型的基本形式

一元杠桿SV模型的基本形式為

其中:

其中:yt表示在t時(shí)刻的股票收益;αt是對(duì)數(shù)波動(dòng)的潛在變量;Nm(μ，Σ)是均值為μ，協(xié)方差陣為Σ的m維正態(tài)分布，把它擴(kuò)展到MSV模型上時(shí)，令yt= ( y1t，…，ypt)'表示 P維股票收益向量;αt=(α1t，…，αpt)'表示它們相應(yīng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)向量。

MSV模型的基本形式可以表示為

其中

Σ0第(i，j)個(gè)元素表示Σηη的第(i，j)個(gè)元素除以1 －φiφj，且滿足穩(wěn)定條件

使得

對(duì)可識(shí)別的過程，αt的預(yù)測值可視為0。

令

其中

則MSV模型(1)～(4)的似然函數(shù)可表示為:

其中:

1.2 MCMC 方法

因?yàn)槟Ｐ椭泻泻芏嗟臐撛谧兞喀羣，所以用它們?nèi)ピu(píng)估θ的似然函數(shù)或者一個(gè)高維的數(shù)值積分是非常困難的。本文通過貝葉斯方法，采用了模擬方法、MCMC方法，從后驗(yàn)分布中抽取樣本，對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

對(duì)θ的先驗(yàn)分布，假設(shè)，

其中 Ba(aj，bj)和 IW(n0，R0)分別表示 Beta 分布和逆Wishart分布。

概率密度函數(shù)分別為

用方程(7)～(9)，在

的條件下，θ，()α的聯(lián)合后驗(yàn)密度函數(shù)為

其中

把MCMC算法分成3步:

① 生成 α|φ，Σ，Yn;

② 生成Σ|φ，α，Yn;

③ 生成 φ|Σ，α，Yn。

在第①步中，可用2種方法從α的條件后驗(yàn)分布中抽取它的樣本:一是單步移動(dòng)抽樣，也就是t時(shí)刻，在其他時(shí)刻αj給定的條件下，抽取αt的樣本;二是多步移動(dòng)抽樣，也就是在其他狀態(tài)變量為條件的情況下，一段一段地抽取狀態(tài)向量(αt，…，αt+k)的樣本。

生成α:首先把

分為K+1段

且

k的節(jié)點(diǎn)

是由

隨機(jī)生成，其中Ui是在均勻分布U(0，1)上產(chǎn)生的獨(dú)立隨機(jī)變量。這些隨機(jī)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)優(yōu)勢就是通過調(diào)節(jié)這些點(diǎn)去改變MCMC迭代的方式。這里k是一個(gè)調(diào)整參數(shù)，以獲得較少自相關(guān)的MCMC樣本。

在第 i組假設(shè) ki－1=s，ki=s+m，考慮在其它狀態(tài)向量和參數(shù)條件的情況下，從它的條件后驗(yàn)分布中進(jìn)行抽樣，令

其中矩陣Rt表示當(dāng)

時(shí)，

的一個(gè)choleski分解，且當(dāng)

時(shí)，

為了對(duì)MH算法構(gòu)造一個(gè)合適的分布，本研究著眼于擾動(dòng)項(xiàng)

的分布，因?yàn)樗梢耘缮?/p>

其中

注意:Q是正定、可逆的。但是當(dāng)m很大時(shí)，為求得mp個(gè)變量的多元正態(tài)分布的協(xié)方差陣，而必須求mp×mp階Hessian陣的逆，這需要花費(fèi)很長的時(shí)間。為解決這一困難，筆者解釋方程(13)為來自一個(gè)輔助狀態(tài)空間的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，這樣僅需通過卡爾曼濾波和平穩(wěn)擾動(dòng)項(xiàng)求出p×p階矩陣的逆就行了?？梢宰C明，f*是的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，可以從下面的狀態(tài)空間模型獲得:

②通過式(14)和(15)得到近似線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型。

③在第2步把平滑擾動(dòng)項(xiàng)應(yīng)用于近似線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型，計(jì)算后驗(yàn)?zāi)Ｊ溅蝆。

因此，這些步驟相當(dāng)于用得分的方法去求條件后驗(yàn)分布密度最大化。作為的一個(gè)初始值當(dāng)前的樣本可以應(yīng)用到MCMC方法中。如果近似線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型可以通過模式獲得，則可以通過MH算法，從條件后驗(yàn)分布抽取ξ的一個(gè)樣本，步驟:

1)建議用舍選法從

②以概率

2)生成Σ和φ。有關(guān)Σ和φ的抽樣方法非常直接。

生成Σ:

生成Σ的條件后驗(yàn)概率密度函數(shù)為

其中

然后用MH算法，選定一個(gè)候選值

并且以概率

接受。

生成φ:

令Σjj為 p×p階矩陣且為Σ－1的第(i，j)塊，進(jìn)一步令

b為一個(gè)向量，且它的第i個(gè)元素相當(dāng)于B的第(i，j)個(gè)元素，則φ的條件后驗(yàn)密度函數(shù)為:

其中

⊙表示Hadamard積。用MH算法從φ的條件后驗(yàn)分布密度函數(shù)中抽取φ的樣本，在R的截尾正態(tài)分布上生成候選值

且以概率

接受。

2 結(jié)束語

本文主要是對(duì)交叉杠桿MSV模型的潛在波動(dòng)向量用多步移動(dòng)抽樣的方法提出一種有效的MCMC算法。為了抽取一組狀態(tài)向量的樣本，對(duì)目標(biāo)似然函數(shù)的對(duì)數(shù)形式用泰勒展開，構(gòu)造一個(gè)基于近似正態(tài)分布的MH算法。

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