章 萌 ， 李愛軍 ， 劉世民

(1.魯東大學(xué) 電子與電氣工程學(xué)院，煙臺(tái) 264025;2.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安710072;3.中航工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院第6研究所，西安 710089)

現(xiàn)代大型飛機(jī)具有輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量、薄升力面、細(xì)長(zhǎng)機(jī)身和低動(dòng)壓載荷系數(shù)等的特點(diǎn)，這使得飛機(jī)的結(jié)構(gòu)柔性增加，結(jié)構(gòu)彈性形變?cè)龃?，因此，需要考慮結(jié)構(gòu)彈性形變的影響，這種考慮了結(jié)構(gòu)彈性形變的飛機(jī)稱為彈性飛機(jī)。由于彈性飛機(jī)的彈性運(yùn)動(dòng)與剛性運(yùn)動(dòng)之間會(huì)出現(xiàn)較強(qiáng)的耦合，傳統(tǒng)的針對(duì)剛性和彈性模態(tài)分別設(shè)計(jì)控制器的方法變得不再適用［1］。另外彈性飛機(jī)在建模時(shí)在剛性模態(tài)的基礎(chǔ)上引入了大量的彈性自由度來(lái)表示彈性模態(tài)，剛性模態(tài)和彈性模態(tài)的耦合與疊加使得彈性飛機(jī)模型往往具有很高的階次。如果直接基于其全階模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)往往會(huì)帶來(lái)復(fù)雜的設(shè)計(jì)過(guò)程和大量的運(yùn)算工作，得到的控制器階次往往也很高，不利于工程的實(shí)現(xiàn)。因此，基于彈性飛機(jī)的降價(jià)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)是一種較好的選擇，但由于降階模型與全階模型之間必然存在著降階誤差(非參數(shù)不確定性或高頻未建模動(dòng)態(tài))，這又需要設(shè)計(jì)魯棒控制器來(lái)鎮(zhèn)定模型降階帶來(lái)的非參數(shù)不確定性。

對(duì)于彈性飛機(jī)魯棒控制器的設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)［2－4］和文獻(xiàn)［5］分別使用H∞混合靈敏度控制方法和QFT方法基于降階模型設(shè)計(jì)了魯棒控制器。這些魯棒控制器雖然具有一定的魯棒性，但也存在著控制器階次較高、增益較大等缺點(diǎn)，這些缺點(diǎn)顯然不利于控制器的工程實(shí)現(xiàn)。因此，在彈性飛機(jī)的魯棒控制器設(shè)計(jì)中迫切需要一種既能保證魯棒性又能降低控制器階次和增益的方法。

文獻(xiàn)［6－7］提出的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器設(shè)計(jì)方法是一種魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法結(jié)合了魯棒控制、PID控制和智能優(yōu)化算法的各自優(yōu)點(diǎn)，把系統(tǒng)H2/H∞范數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo)，使用遺傳算法(GA)作為優(yōu)化工具來(lái)進(jìn)行PID控制器參數(shù)優(yōu)化，從而獲得魯棒性較強(qiáng)且控制器階次較低的魯棒最優(yōu)PID控制器。文獻(xiàn)［8］研究了F18/HARV飛機(jī)的混合 H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)優(yōu)化，得到的控制器階次較低且具有較強(qiáng)的魯棒性能，表明了該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的控制器既有較強(qiáng)的魯棒性又有控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、階次和增益較低等優(yōu)點(diǎn)，因此，完全可以把該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法用于彈性飛機(jī)中，但目前對(duì)于該問(wèn)題的研究成果還沒有。

差分進(jìn)化算法(DE Algorithm)是由Storn R和Price K提出的一種群智能優(yōu)化算法［9］。該算法實(shí)際上是一種實(shí)數(shù)編碼且基于貪婪保優(yōu)策略的遺傳算法，具有算法原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、優(yōu)化性能強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)在優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。因此，完全可以代替遺傳算法用于混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)優(yōu)化中。

為此，本文研究了彈性飛機(jī)的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)優(yōu)化。首先，基于平衡截?cái)喾ǖ玫搅四硰椥燥w機(jī)的降階模型，并根據(jù)降階模型與全階模型的降階誤差選取了合適的魯棒加權(quán)函數(shù)。之后，給出了一種計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)誤差H2范數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，從而可以計(jì)算H2/H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo)。最后，使用DE算法對(duì)混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器參數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

1 混合H2/H∞PID控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理

1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo)

考慮如圖1所示的魯棒PID控制系統(tǒng)，PID控制器的形式為:

圖1 魯棒PID控制系統(tǒng)Fig.1 Robust PID control system

被控對(duì)象P(s)中含有乘性不確定性攝動(dòng)ΔP(s)，其中:ΔP(s)假定為穩(wěn)定的但具體形式并不確定的一個(gè)不確定性集，通過(guò)一個(gè)已知穩(wěn)定的加權(quán)函數(shù)WT(s)來(lái)限定其攝動(dòng)范圍，即滿足:或者(ΔP(jω))＜(WT(jω))。

假定ΔP(s)=0，則系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S和補(bǔ)靈敏度函數(shù)T可分別定義為:

靈敏度函數(shù)S(s)是誤差E(s)與參考輸入R(s)之間的傳遞函數(shù)，是決定系統(tǒng)跟蹤誤差大小的最重要指標(biāo)。S(s)的奇異值越小，則系統(tǒng)的跟蹤誤差越小，系統(tǒng)的跟蹤性能越好。同時(shí)，S(s)也是干擾D(s)與輸出Y(s)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)，S(s)的奇異值越小，系統(tǒng)對(duì)干擾的抑制能力就越強(qiáng)。因此，可以用作為閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)干擾抑制能力和跟蹤能力的度量。在此引入靈敏度函數(shù)加權(quán)函數(shù)Ws(s)，使其滿足:

補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)是系統(tǒng)參考輸入R(s)與輸出Y(s)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，它是決定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，在系統(tǒng)存在不確定性時(shí)，有較大的加權(quán)會(huì)迫使系統(tǒng)的輸出信號(hào)穩(wěn)定。T(s)的奇異值越小，標(biāo)志著系統(tǒng)因模型不確定性產(chǎn)生的復(fù)合干擾對(duì)系統(tǒng)的影響越小，因此是對(duì)乘性攝動(dòng)(1+ΔP(s))魯棒性的一種測(cè)度。在此，引入補(bǔ)靈敏度函數(shù)加權(quán)函數(shù)WT(s)，使其滿足:

為了使系統(tǒng)同時(shí)獲得良好的干擾抑制能力、跟蹤能力和魯棒穩(wěn)定性，希望控制系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S(s)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)的奇異值能夠同時(shí)達(dá)到最小，但由式(2)可知S(s)+T(s)=1，二者同時(shí)最小是相互矛盾的。這就需要對(duì)靈敏度函數(shù)S(s)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)在特定頻段內(nèi)進(jìn)行折衷處理，使得在低頻段內(nèi)系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)的奇異值較小，在高頻段內(nèi)系統(tǒng)的補(bǔ)靈敏度函數(shù)的奇異值較小。引入加權(quán)函數(shù)WS(s)和WT(s)后，使它們分別在低頻段和高頻段上具有較大的值，則可以引出如下兩個(gè)H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo):

①魯棒穩(wěn)定性指標(biāo):

②干擾抑制指標(biāo):

對(duì)二者進(jìn)行折衷處理得到總的H∞優(yōu)化指標(biāo)為:

為最小化閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差，引入閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差E(s)的H2范數(shù)指標(biāo):

混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)的最終優(yōu)化指標(biāo)J為:

由上可得混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求是:優(yōu)化設(shè)計(jì)一個(gè)PID控制器，在保證名義閉環(huán)系統(tǒng)(ΔP(s)=0，D(s)=0)穩(wěn)定的情況下，使得式(9)所示的系統(tǒng)H2/H∞范數(shù)優(yōu)化指標(biāo)最小。

1.2 閉環(huán)系統(tǒng)誤差E(s)的H2范數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)誤差E(s)的H2范數(shù)的計(jì)算方法，文獻(xiàn)［10］給出了一個(gè)初步的結(jié)果，但計(jì)算過(guò)程較為繁瑣復(fù)雜，下面給出一個(gè)簡(jiǎn)化的計(jì)算方法。

閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差E(s)為:

其中:R(s)為單位階躍信號(hào)。

根據(jù)Parseval定理有:

其中:A(s)，B(s)是Hurwitz多項(xiàng)式。

上述優(yōu)化問(wèn)題可以借助于留數(shù)定理來(lái)解決。

假定:

根據(jù)式(12)可以把式(11)表示為:

則有［10］:

其中:Pn－1是下面求解 Pi(i=0，1，…，n －1)的 n 個(gè)方程得到的結(jié)果:

同時(shí)令:

且 P=［p0，p1，…，pn－1］T。

則式(15)可以寫為矩陣方程

其中Ω為矩陣:

為了求解式(18)中的pn－1，使用Cramer法則有:

其中:

綜上所述，由式(14)、式(17)和式(20)可得:

2 彈性飛機(jī)混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器參數(shù)優(yōu)化

以某彈性飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)作為例，其基準(zhǔn)飛行狀態(tài)為高度H=1500 m，馬赫數(shù)M=0.6，在此狀態(tài)下進(jìn)行線性化處理并考慮前4階彈性形變模態(tài)，得到該彈性飛機(jī)的全階狀態(tài)方程為:

其中:狀態(tài) x=［V，α，θ，q，ηi，i］T，ηi，i分別表示廣義彈性形變及其形變速度量，i=1，2，3，4分別代表第1～4個(gè)彈性模態(tài)，其阻尼比都為ξ=0.02，自然頻率分別為:ω =5.88，10.8，11，0，13.3 rad/s;V 為飛機(jī)前向速度，α是迎角，θ是俯仰角，q是俯仰角速度，輸入u=δe是升降舵偏轉(zhuǎn)角，輸出y是駕駛艙處的法向過(guò)載n。由此可看出，該彈性飛機(jī)全階模型各包含了4個(gè)剛性模態(tài)量和彈性模態(tài)量，由于每個(gè)彈性模態(tài)量又包含了彈性形變量和形變速度量，因此，該彈性飛機(jī)全階模型的階次為12階。

2.1 模型降階與加權(quán)函數(shù)的選取

該彈性飛機(jī)模型的Hankel奇異值如圖2所示，可以看出，后6階的 Hankel奇異值相對(duì)于前6階的 Hankel奇異值都很小，即有:，應(yīng)該可以完全截?cái)喽粫?huì)對(duì)模型的精確度產(chǎn)生較大影響。因此，截?cái)嗪?個(gè)狀態(tài)量，則降階模型的階次為6。

使用平衡截?cái)嗨惴ǎ?1，12］進(jìn)行模型降階，得到6階降階模型Gr(s)。圖3為全階模型和降階模型的頻域響應(yīng)，從圖中可以看出，中低頻段降階模型與全階模型逼近效果較好，高頻段存在一定的截?cái)嗾`差。在設(shè)計(jì)混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器時(shí)，就可以把模型降階誤差作為被控對(duì)象存在的非參數(shù)乘性不確定性(高頻未建模動(dòng)態(tài))來(lái)處理。在選取補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)WT(s)時(shí)應(yīng)使其覆蓋Δm(s)所包括的乘性不確定區(qū)域。在此，選定補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)為WT，則乘性不確定性Δ(s)和補(bǔ)靈m

敏度加權(quán)函數(shù)WT(s)的頻率響應(yīng)曲線如圖4所示。此外，選取靈敏度加權(quán)函數(shù)為:

圖2 彈性飛機(jī)全階模型的Hankel奇異值Fig.2 Flexible aircraft full order model Hankel singular values

圖3 全階模型與降階模型的頻率響應(yīng)Fig.3 Full order model and reduced order model frequency responses

圖4 乘性不確定性和補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)的頻率響應(yīng)Fig.4 Multiplicative uncertainty and complementary sensitivity function frequency responses

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)誤差E(s)的H2范數(shù)的計(jì)算

對(duì)如圖1所示的魯棒PID控制系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)為:

根據(jù)式(16)、式(19)、式(21)可得:

則由式(22)可得閉環(huán)系統(tǒng)誤差E(s)的H2范數(shù)的計(jì)算公式為:

2.3 基于DE算法的最優(yōu)PID控制器參數(shù)優(yōu)化

把式(9)所示的優(yōu)化指標(biāo)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的目標(biāo)函數(shù)，使用DE算法優(yōu)化混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)。首先對(duì)待優(yōu)化參數(shù)kp、ki和kd進(jìn)行編碼，個(gè)體編碼結(jié)構(gòu)為:x=［kp，ki，kd］，則形成了一個(gè) 3 維的搜索空間。隨機(jī)初始化m=30個(gè)個(gè)體形成一群初始隨機(jī)解，其中第 i個(gè)個(gè)體為 xi=(xi1，xi2，xi3)，i=1，2，…，m。xi的搜索范圍為 xi∈［0，20］。

按照差分進(jìn)化算法的要求，由式(24)對(duì)個(gè)體進(jìn)行差分變異操作得到變異個(gè)體vi。

其中:F為縮放因子，選取為F=0.5。

然后對(duì)個(gè)體xi和變異個(gè)體vi進(jìn)行交叉操作得到試驗(yàn)個(gè)體ui，其第j個(gè)染色體可表示為:

其中:rand(0，1)為［0，1］之間的均勻隨機(jī)數(shù);jrand為［1，3］之間的生成的隨機(jī)整數(shù);CR為交叉概率因子，選取為 CR=0.3。

最后，進(jìn)行選擇操作，得到如式(26)所示的下一代個(gè)體 xi'。

其中:f(·)為適應(yīng)度函數(shù)，即為如式(9)所示的優(yōu)化指標(biāo)。

經(jīng)過(guò)50次迭代后，得到的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器參數(shù)為:

3 魯棒穩(wěn)定性驗(yàn)證與仿真分析

3.1 魯棒穩(wěn)定性驗(yàn)證

基于降階模型設(shè)計(jì)了混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器，但要使用該控制器控制彈性飛機(jī)全階模型，設(shè)計(jì)的控制器是否具有較強(qiáng)的魯棒性來(lái)鎮(zhèn)定模型降階產(chǎn)生的非參數(shù)乘性不確定性從而保證整個(gè)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性是首先需要驗(yàn)證的。

對(duì)于非參數(shù)乘性不確定性Δm(s)，有G(s)=［I+Δm(s)］Gr(s)，根據(jù)小增益定理，如果則系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。

圖5 給出了 σ［Δm(jω)］和 σ［T－1(jω)］頻率響應(yīng)魯棒穩(wěn)定性驗(yàn)證曲線，可以看出，在全頻段內(nèi)都滿足小增益定理，設(shè)計(jì)的控制器能夠保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

3.2 仿真分析與比較

為體現(xiàn)出優(yōu)化設(shè)計(jì)的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的優(yōu)越性，現(xiàn)將其與H∞混合靈敏度控制器的控制效果和魯棒性能做比較。在進(jìn)行H∞混合靈敏度控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，所選的加權(quán)函數(shù)與混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器設(shè)計(jì)中選取的加權(quán)函數(shù)完全一致，設(shè)計(jì)得到的H∞混合靈敏度控制器為:

分別使用混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器和H∞混合靈敏度控制器控制彈性飛機(jī)的全階模型，其狀態(tài)方程如式(23)所示，輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，輸出量為過(guò)載和彈性模態(tài)的形變量和形變速度量，因?yàn)樵谀Ｐ徒惦A時(shí)截?cái)嗔撕?個(gè)彈性模態(tài)，因此，我們重點(diǎn)關(guān)注后3個(gè)彈性模態(tài)的響應(yīng)情況。過(guò)載和后3個(gè)彈性模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)如圖6、圖7所示。

由以上仿真圖可看出，在標(biāo)稱狀態(tài)時(shí)，兩種控制器的控制效果較相近，H∞混合靈敏度控制器作用下的過(guò)載響應(yīng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量，混合 H2/H∞最優(yōu) PID控制器作用下的過(guò)載響應(yīng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，超調(diào)量為2.5%，調(diào)節(jié)時(shí)間都為3.5 s。但設(shè)計(jì)的混合 H2/H∞最優(yōu)PID控制器的階次和增益遠(yuǎn)小于H∞混合靈敏度控制器。

圖5 魯棒穩(wěn)定性驗(yàn)證曲線Fig.5 Robust stability validation curve

圖6 過(guò)載響應(yīng)曲線Fig.6 Overload response curve

圖7 彈性模態(tài)的響應(yīng)曲線Fig.7 Elastic modal response curve

當(dāng)彈性飛機(jī)全階模型的狀態(tài)矩陣和控制矩陣A，B存在－20%攝動(dòng)時(shí)，即被控系統(tǒng)同時(shí)存在著參數(shù)不確定性和非參數(shù)不確定性時(shí)，彈性飛機(jī)的過(guò)載和后3個(gè)彈性模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)如圖8、圖9所示。

由以上仿真圖可看出，此時(shí)H∞混合靈敏度控制器不能對(duì)彈性飛機(jī)進(jìn)行較好地控制，特別是過(guò)載和第2個(gè)彈性模態(tài)的響應(yīng)呈現(xiàn)出明顯的振蕩發(fā)散的趨勢(shì)，表明該控制器僅能鎮(zhèn)定非參數(shù)不確定性這一種不確定性。而混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器卻能取得較好的控制效果，過(guò)載響應(yīng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，超調(diào)量為2.5%，調(diào)節(jié)時(shí)間約為3.8 s。同時(shí)，各個(gè)彈性模態(tài)都能夠得到較好地抑制，快速地衰減到零。此時(shí)的響應(yīng)與標(biāo)稱時(shí)的響應(yīng)十分接近，這表明該控制器能夠同時(shí)鎮(zhèn)定參數(shù)和非參數(shù)兩種不確定性，具有更強(qiáng)的魯棒性。

通過(guò)以上分析比較可知，經(jīng)過(guò)參數(shù)優(yōu)化后得到的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器與傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度控制器相比，具有控制器階次低、增益低、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文研究了彈性飛機(jī)混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)使用差分進(jìn)化算法極小化H2/H∞優(yōu)化指標(biāo)優(yōu)化了混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器的參數(shù)，使得控制器具有較強(qiáng)的魯棒性和較低的增益。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化設(shè)計(jì)的混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器可以同時(shí)鎮(zhèn)定參數(shù)和非參數(shù)兩種不確定性，具有更強(qiáng)的魯棒性。表明該參數(shù)優(yōu)化方法是彈性飛機(jī)混合H2/H∞最優(yōu)PID控制器參數(shù)優(yōu)化中一種有效、實(shí)用的方法。

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