童第華, 陳志偉

(1.北京航空材料研究院,北京 100095;2.北京航空工程研究中心,北京 100076）

局部應(yīng)變法預(yù)測飛機(jī)結(jié)構(gòu)帶孔部件疲勞壽命

童第華1, 陳志偉2

(1.北京航空材料研究院,北京 100095;2.北京航空工程研究中心,北京 100076）

介紹了應(yīng)用Levenberg-Marquardt迭代法計(jì)算局部應(yīng)力和局部應(yīng)變的工作。Levenberg-Marquardt迭代法是求解超越方程的一種常用數(shù)學(xué)方法,但是缺點(diǎn)是程序比較復(fù)雜,計(jì)算效率較低,因此本文目的是找到一種程序?qū)崿F(xiàn)簡單、計(jì)算效率高、計(jì)算精度滿足要求的計(jì)算方法,選擇了二分法,并且對比分析了二分法和Levenberg-Marquardt迭代法求解局部應(yīng)變與應(yīng)變壽命方程的效率和精度,從而得出應(yīng)用二分法來進(jìn)行求解是簡單并且可以被工程應(yīng)用的;最后結(jié)合某飛機(jī)結(jié)構(gòu)一種帶孔部件的實(shí)例,應(yīng)用局部應(yīng)力應(yīng)變法給出了該部位的壽命預(yù)測值,通過和試驗(yàn)壽命值的對比,得出了考慮平均應(yīng)力修正的應(yīng)變壽命方程才更符合工程要求。

局部應(yīng)力應(yīng)變法;Levenberg-Marquardt迭代法;二分法;應(yīng)變壽命方程;平均應(yīng)力修正

金屬在較高的循環(huán)應(yīng)變作用下發(fā)生的疲勞失效,稱為應(yīng)變疲勞。金屬材料的應(yīng)變疲勞壽命一般都較短,故將應(yīng)變疲勞稱為低周疲勞,即短壽命疲勞。局部應(yīng)力應(yīng)變法結(jié)合材料的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變曲線,通過彈塑性有限元分析或其他計(jì)算方法,將構(gòu)件上的名義應(yīng)力譜轉(zhuǎn)換為危險(xiǎn)部位的局部應(yīng)變(應(yīng)力）譜,然后根據(jù)危險(xiǎn)部位的局部應(yīng)力應(yīng)變歷程估算壽命[1]。

結(jié)構(gòu)在其服役期間總體上處于彈性范圍內(nèi),但某些疲勞危險(xiǎn)部位在大載荷情況下卻進(jìn)入彈塑性狀態(tài),應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系不再是線性關(guān)系,塑性應(yīng)變成為影響其疲勞壽命的主要因素。局部應(yīng)力應(yīng)變法在疲勞壽命估算中考慮了塑性應(yīng)變的影響和載荷順序的影響,因而用它估算結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋形成壽命通?？梢垣@得比較符合實(shí)際的結(jié)果[2]。

本研究就局部應(yīng)力應(yīng)變法展開研究,應(yīng)用Levenberg-Marquardt迭代法和二分法來求解局部應(yīng)力、局部應(yīng)變和應(yīng)變壽命公式,并對兩種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析;進(jìn)一步分析了應(yīng)變壽命公式平均應(yīng)力修正的必要性;結(jié)合某飛機(jī)結(jié)構(gòu)一種帶孔部件的模擬試件,給出預(yù)測的疲勞壽命,并與試驗(yàn)壽命進(jìn)行比對分析。

1 局部應(yīng)力應(yīng)變法估算結(jié)構(gòu)疲勞壽命的步驟[3]

用局部應(yīng)力應(yīng)變法估算結(jié)構(gòu)疲勞壽命,首先估算疲勞危險(xiǎn)點(diǎn)的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變歷程,然后對照材料的疲勞性能數(shù)據(jù),按照疲勞累積損傷理論,進(jìn)行循環(huán)續(xù)循環(huán)的疲勞損傷的累積,最后得到構(gòu)件的疲勞壽命,其步驟如圖1。

圖1 局部應(yīng)力應(yīng)變法壽命估算的步驟Fig.1 Process of local stress-strain method

2 局部應(yīng)變和局部應(yīng)力的求解

本研究主要采用Neuber法來計(jì)算缺口根部的局部應(yīng)力和局部應(yīng)變[4]。Neuber提出的計(jì)算缺口根部彈塑性應(yīng)力應(yīng)變的方程為:

式中KT為理論應(yīng)力集中系數(shù);Kσ=σ/S為應(yīng)力集中系數(shù),σ為缺口根部的局部應(yīng)力,S為名義應(yīng)力,在試驗(yàn)件處于彈性時(shí),Kσ=KT;Kε=ε/e為應(yīng)變集中系數(shù),ε為缺口根部的局部應(yīng)變,e為名義應(yīng)變,在試驗(yàn)件處于彈性時(shí):

在工程實(shí)際中,通常結(jié)構(gòu)整體上處于彈性,即名義應(yīng)力S和名義應(yīng)變e之間為彈性關(guān)系S=Ee,將此帶入式(1）得:

式中C被稱之為Neuber常數(shù);E為彈性模量。

Morrow[5]等認(rèn)為,在循環(huán)加載條件下,切口根部的局部應(yīng)力范圍 Δσ和局部應(yīng)變范圍 Δε,也可以用式(3）計(jì)算,于是:

材料的穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線,可用下式表示:

式中K′為循環(huán)強(qiáng)度系數(shù),n′為循環(huán)應(yīng)變硬化系數(shù)。

將式(4）和式(5）聯(lián)立求解,從名義應(yīng)力即可得到局部應(yīng)力和應(yīng)變(Δσ和 Δε）之值,這樣問題就轉(zhuǎn)化為對(4）和(5）這個(gè)超越方程組精確求解的問題,本文后面會(huì)對這個(gè)問題進(jìn)行詳細(xì)的闡述。

3 應(yīng)變壽命的求解

在所有的應(yīng)變壽命公式中,Manson-Coffin公式[6]使用最為廣泛,其表達(dá)式為:

由于大多數(shù)給出的Manson-Coffin公式的參數(shù)是在Rε=-1下得到的,而實(shí)際疲勞載荷幾乎都是非對稱應(yīng)變循環(huán),因此在使用Rε=-1下的 Δε-N曲線進(jìn)行疲勞壽命估算時(shí),需要對 Δε-N曲線進(jìn)行修正。一些學(xué)者在這方面做了很多工作,提出了一些很有價(jià)值的考慮平均應(yīng)力修正的應(yīng)變壽命公式[7],如Morrow平均應(yīng)力修正公式:

本研究就根據(jù)Morrow方法對Rε=-1的 Δε-N曲線進(jìn)行修正。

通過上節(jié)的分析我們可以得到每個(gè)循環(huán)的局部應(yīng)力和局部應(yīng)變值,將局部應(yīng)變值帶入式(7）即可求出當(dāng)前應(yīng)變幅值下的壽命Nf,那么現(xiàn)在的問題就是精確求解這個(gè)超越方程。求解超越方程(4）,(5）和(7）的方法也有很多,被廣泛應(yīng)用的是二分法(區(qū)間對分）和迭代法,下面就對這兩種數(shù)值算法進(jìn)行對比分析。

4 超越方程的數(shù)值解法

4.1 Levenberg-Marquardt法

在求解 Δσ和 Δε以及應(yīng)變壽命方程的過程中,一方面需要求解超越方程,另外由于載荷譜是一個(gè)較長較復(fù)雜的載荷歷程,所以必須借助計(jì)算機(jī)對很長的峰谷歷程逐個(gè)循環(huán)求解。

對下列一般非線性方程組(8）:

求解的方法有很多,最常用的是采用迭代方法逐步逼近近似求解。迭代求解該問題的方法,一般可利用成熟的軟件包求解。本文就利用了MATLAB軟件包中Levenberg-Marquardt法[8]求解局部應(yīng)力和局部應(yīng)變。

Levenberg-Marquardt方法是一種牛頓類型的方法。在普通的梯度算法中,收斂的方向始終是待解方程函數(shù)的梯度方向。而在Levenberg-Marquardt算法中,采用了一個(gè)方向矢量不斷調(diào)整計(jì)算的收斂方向,可以獲得更好的收斂性。其求解的主要過程為:設(shè)是的Jacobian矩陣,即式(9）,方程未知量的迭代法則可以用式(9）表示。

式(10）中為程序自動(dòng)調(diào)整的試探性參數(shù),為單位矩陣。

整個(gè)計(jì)算過程在MATLAB中進(jìn)行,算法的每次迭代都對進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,當(dāng)接近一個(gè)解時(shí),逐漸減小,迭代式(10）演變成Gauss-Newton法;當(dāng)遠(yuǎn)離解時(shí),λ逐漸增大,迭代式(10）則演變成梯度下降法,可以進(jìn)行全局搜索,所以Levenberg-Marquardt算法同時(shí)具備了牛頓法的局部收斂性和梯度法的全局搜索性的優(yōu)點(diǎn)。由于Levenberg-Marquardt算法中 [J(xk）TJ(xk）+λkI]是正定的,所以式(10）的解總存在,保證了算法的穩(wěn)定性,算法流程圖如圖2。實(shí)際計(jì)算中,迭代增量s小于容許誤差限(e=1.00E-10）即認(rèn)為收斂,輸出計(jì)算終值。

圖2 Levenberg-Marquardt算法流程圖Fig.2 Levenberg-Marquardt algorithm process chart

與其它迭代算法一樣,Levenberg-Marquardt算法的計(jì)算結(jié)果依賴于初值的選取,合理的選取初值是保證計(jì)算結(jié)果快速收斂到所需精度的關(guān)鍵,本文用下面的方法巧妙的解決了這個(gè)問題。

4.2 二分法

在應(yīng)用Levenberg-Marquardt法求解上述超越方程的時(shí)候,我們發(fā)現(xiàn)Levenberg-Marquardt法的求解精度很高,但不足的是程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜,并且隨著求解方程數(shù)量的增加計(jì)算效率顯著下降,為此下面介紹下一種程序?qū)崿F(xiàn)簡單、計(jì)算效率高的計(jì)算方法—二分法。

應(yīng)用二分法來計(jì)算時(shí),首先需要定義一個(gè)含根的區(qū)間[a,b]。不失一般性,取為a=1,b=109。還需要明確f(Nf）的表達(dá)式:

式中的 σ′f,E,b,c,ε′f均為材料參數(shù)。圖 3給出求解上面復(fù)雜超越方程的二分法計(jì)算流程圖。

圖3 二分法計(jì)算流程圖Fig.3 Dichotomy calculation process chart

5 實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果

某型飛機(jī)一個(gè)帶孔部件的模擬試件的具體材料數(shù)據(jù)如下:板寬W=12mm,孔直徑 D=3.5mm。材料的性能常數(shù)為:彈性模量E=69000MPa,拉伸強(qiáng)度 σb=505MPa,循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)K′=723.4MPa,應(yīng)力集中系數(shù)Kt=2,循環(huán)硬化系數(shù) n′=0.0845。應(yīng)變疲勞參數(shù)為 σ′f=859.56MPa,b=-0.1023,c=-0.615, ε′f=0.88。表1給出了某型飛機(jī)一個(gè)帶孔部件的模擬試件在某基準(zhǔn)譜下試驗(yàn)結(jié)果。

我們根據(jù)式(4）和式(5）利用二分法和Levenberg-Marquardt迭代法求出的 Δε,將其帶入到式(11）中就可求出當(dāng)前應(yīng)變幅下的壽命Nf。

例如,對于第一個(gè)循環(huán),根據(jù)表2中求出的Δε,將其帶入Manson-coffin公式,分別根據(jù)二分法和Levenberg-Marquardt迭代法來計(jì)算壽命Nf,其結(jié)果比較見表3。

表1 一個(gè)帶孔部件模擬試件在某基準(zhǔn)譜下試驗(yàn)結(jié)果Table 1 The test results of a hole part simulation specimen at X reference spectrum

表2 應(yīng)用二分法和迭代法的Δε計(jì)算結(jié)果Table 2 The Δε calculate results of application dichotomy and iterative

表3 應(yīng)用二分法和迭代法的壽命計(jì)算結(jié)果Table 3 The life calculate results of application dichotomy and iterative

從表2和表3中可以看出應(yīng)用二分法和Levenberg-Marquardt迭代法計(jì)算出的局部應(yīng)變結(jié)果和壽命結(jié)果都十分接近,也說明了計(jì)算結(jié)果是十分接近真值的,是可以被工程應(yīng)用的,但是Levenberg-Marquardt迭代法的計(jì)算效率明顯不如二分法,同時(shí)二分法程序編寫簡單,精度也滿足要求,易于被工程上所應(yīng)用,在此后計(jì)算壽命時(shí),采用的就是二分法。

下表4是針對一個(gè)帶孔部件在考慮了平均應(yīng)力影響和未考慮平均應(yīng)力影響應(yīng)用二分法計(jì)算的壽命結(jié)果。

表4 平均應(yīng)力修正對壽命預(yù)測值的影響Table 4 The average stress amend impact on the prediction life

從表4中我們可以看出,未考慮平均應(yīng)力修正的計(jì)算模型,計(jì)算出的疲勞壽命值,遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于試驗(yàn)壽命,而考慮了平均應(yīng)力修正的計(jì)算模型,計(jì)算出的疲勞壽命和試驗(yàn)得到的疲勞壽命相近。這是因?yàn)榇颂帉?shí)際隨機(jī)譜的每個(gè)循環(huán)的平均應(yīng)力雖不同但幾乎都是正的,全部為正的平均應(yīng)力對實(shí)際的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大的影響;而未考慮平均應(yīng)力修正的計(jì)算模型,相當(dāng)于把平均應(yīng)力都當(dāng)0來處理,這明顯不符合實(shí)際情況,所以說考慮了平均應(yīng)力修正的計(jì)算模型才更符合工程要求。

6 結(jié)論

(1）應(yīng)用局部應(yīng)力應(yīng)變法來求解疲勞壽命時(shí),缺口根部的局部應(yīng)力和局部應(yīng)變的計(jì)算精度直接影響最后計(jì)算壽命的精度,本文采用 Levenberg-Marquardt迭代法和二分法來求解非線性方程組,利用這兩種算法編程求解的精度都達(dá)到了滿意效果。

(2）求解應(yīng)變-壽命曲線超越方程,必須采用計(jì)算機(jī)編程。二分法程序編寫簡單,通過二分法和迭代法的計(jì)算結(jié)果比較,證實(shí)其精度和效率也滿足要求,易于工程應(yīng)用。

(3）未考慮平均應(yīng)力修正的應(yīng)變壽命方程,計(jì)算出的疲勞壽命跟實(shí)際構(gòu)件的試驗(yàn)壽命相差較大,而考慮了平均應(yīng)力修正的應(yīng)變壽命方程,計(jì)算結(jié)果與實(shí)際構(gòu)件的試驗(yàn)壽命符合得較好。

(4）應(yīng)用局部應(yīng)力應(yīng)變法來預(yù)測本文X型飛機(jī)結(jié)構(gòu)一個(gè)帶孔部件的壽命值時(shí),取得了良好的效果,計(jì)算精度滿足了工程要求。

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Fatigue Life Evaluation on Plane Structural Parts with Holes through Local Strain Method

TONG Di-hua1, CHEN Zhi-wei2
(1.Beijing Institute of Aeronautical Materials,Beijing 100095,China;2.Beijing Aeronautical Technology Research Center,Beijing 100076,China）

The thesis introduces the work of calculating local stress and local strain by application of Levenberg-Marquardt's iteration method.As an usual mathematical method to solve super equation,Levenberg-Marquardt's iteration method has some disadvantages such as complicated program,low computing efficiency.Therefore,the paper aims to find out a comparatively simple,high efficient and high precision computing method.Through comparing and analyzing the efficiency and precision of dichotomy and Levenberg-Marquardt's iteration method by which solving strain life equation and local strain range,the thesis proves that the application of dichotomy is simple and applicable for the engineering.At last,through combination with the case of plane's drilled component,applying local stress strain method to calculate the parts'predictive life and comparing that result with the experimental life value,the paper concludes that strain life equation which concerns mean stress correction more fit for engineering requests.

local stress and local strain;Levenberg-Marquardt's iteration method;dichotomy;strain life equation;mean stress correction

10.3969/j.issn.1005-5053.2011.5.017

V223;V215.5

A

1005-5053(2011）05-0086-05

2011-02-23;

2011-07-05

童第華(1985—）,男,博士研究生,(E-mail）Tongdi133@163.com。

book=90,ebook=253