郭愛東，姜 楠，賈永霞

（1.天津大學(xué)力學(xué)系，天津 300072；2.天津市現(xiàn)代工程力學(xué)重點實驗室，天津 300072；3.軍事交通學(xué)院裝運機(jī)械系，天津 300161）

湍流渦黏性模型方程中相位差的測量

郭愛東1，3，姜 楠1，2，賈永霞1

（1.天津大學(xué)力學(xué)系，天津 300072；2.天津市現(xiàn)代工程力學(xué)重點實驗室，天津 300072；3.軍事交通學(xué)院裝運機(jī)械系，天津 300161）

基于理論上湍流相干結(jié)構(gòu)復(fù)渦黏性模型對渦黏性系數(shù)的分析，應(yīng)用熱線測速技術(shù)測量了平板湍流邊界層多尺度相干結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程中非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率之間的相位差。分析了湍流邊界層相干結(jié)構(gòu)猝發(fā)過程中，非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率之間的相位差沿湍流邊界層法向的變化規(guī)律，為建立更加符合實際的湍流模型提供了實驗依據(jù)。

湍流邊界層；多尺度相干結(jié)構(gòu)；渦黏性模型；雷諾應(yīng)力；速度變形率；相位差

0 引 言

1895年，雷諾提出統(tǒng)計平均的方法，將不規(guī)則的湍流運動分解為系綜平均量和脈動量兩部分，把它代入Navier－Stokes方程后得到控制平均流動的雷諾平均方程，雷諾平均方程與Navier－Stokes方程最大的區(qū)別是含有脈動速度的二階關(guān)聯(lián)項——雷諾應(yīng)力項，使得描述湍流平均運動的雷諾平均方程不封閉。為了解決雷諾平均方程的不封閉性問題，依靠理論與經(jīng)驗的結(jié)合，對雷諾應(yīng)力項引進(jìn)一系列模型假設(shè)，使雷諾平均方程封閉，建立描寫湍流平均量的封閉方程組的理論計算方法，就是所謂的湍流模式理論。渦黏性模型是湍流模式理論中應(yīng)用最為廣泛的一種。

從20世紀(jì)中葉開始，人們普遍認(rèn)為在湍流場中，除平均流外，同時還存在著不同尺度的相干結(jié)構(gòu)成分和隨機(jī)脈動成分（非相干結(jié)構(gòu)成分），所有與流動有關(guān)的物理量都可以分解為3部分［1］：

如果用?f表示對f的長時間平均，〈f〉表示對f的相位平均，考慮不可壓縮流體動量方程為：

連續(xù)性方程為：

將速度場和壓力場按如下方式進(jìn)行三項分解：

將式（4）和式（5）分別代入式（2）和式（3），將得到的式子分別做相位平均和長時間平均，并用方程的相位平均減去長時間平均，可以得到相干結(jié)構(gòu)滿足的方程：

的形式，其二維模型為：

鉆具組合：CK306B定向隨鉆擴(kuò)孔鉆頭×0.48 m+120 mm(1.75°)單彎螺桿+(331 mm×310 mm)接頭+88.9 mm無磁鉆桿(1根)+120 mm MWD短節(jié)+(311×310)接頭+擋板+88.9 mm無磁鉆桿(1根)+88.9 mm斜坡鉆桿(20根)+旁通閥+88.9 mm加重鉆桿(45根)+88.9 mm斜坡鉆桿+127 mm鉆桿。

式中，νT為渦黏性系數(shù)，該湍流模型即為渦黏性模型。

對于湍流相干結(jié)構(gòu)渦黏性模型的研究經(jīng)歷了一個長期的過程。從19世紀(jì)70年代起，依照流動穩(wěn)定性理論，Reynolds［1］、Wu［2］、羅紀(jì)生和周恒［3］分別提出了用流動穩(wěn)定性理論解釋湍流邊界層外區(qū)大尺度相干結(jié)構(gòu)的理論模型。這些理論模型對其中渦黏性系數(shù)的形式有不同的假定，Reynolds假定的渦黏性系數(shù)是個實數(shù)，Wu假定的渦黏性系數(shù)是復(fù)的常數(shù)，Reynolds和 Wu的假定都與 Brown［4］、Falco［5］的實驗不符；羅紀(jì)生和周恒［3］針對湍流邊界層外區(qū)提出的是大小沿平板法向位置變化的復(fù)渦黏性系數(shù)模型，得到的結(jié)果與Antonia［6］的實驗符合較好。

將渦黏性系數(shù)設(shè)成復(fù)數(shù)，相當(dāng)于認(rèn)為非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與相干結(jié)構(gòu)的速度變形率之間存在著相位差，這種觀點是比較符合實際的，有理論上的合理性，也得到了 Brown［4］、Falco［5］、Antonia［6］、Wu［2］、羅紀(jì)生和周恒［3］、王昕［7］、Wang［8］以及李萬平［9］、羅紀(jì)生和王新軍［10］等人在數(shù)值模擬和實驗等方面的驗證。

Wang［8］和羅紀(jì)生［10］等對壁面沿流向周期分布法向速度邊界條件的槽道湍流進(jìn)行了直接數(shù)值模擬，認(rèn)為具有波數(shù)α成份的沿流向周期變化的雷諾應(yīng)力復(fù)渦黏性模式應(yīng)該表示為：

其中，c·c表示復(fù)數(shù)共軛，而渦黏性系數(shù)的表達(dá)形式為：

根據(jù)他們的分析，相位信息φ（y）、θ（y）應(yīng)該是隨壁面法向坐標(biāo)y變化的函數(shù)。

為了建立更加符合流動實際的湍流相干結(jié)構(gòu)模型，正確測量隨壁面法向坐標(biāo)y變化的相位信息φ（y）、θ（y），得到湍流相干結(jié)構(gòu)猝發(fā)過程中隨機(jī)脈動對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與速度變形率之間的相位差顯得尤為重要與關(guān)鍵。姜楠和郭愛東［11］應(yīng)用雙絲熱線測速技術(shù)，對平板湍流邊界層外區(qū)多尺度相干結(jié)構(gòu)剪切雷諾應(yīng)力分量與流向速度法向變形率之間的相位關(guān)系進(jìn)行了實驗測量，研究了相干結(jié)構(gòu)剪切雷諾應(yīng)力分量與流向速度法向變形率之間的相位差沿湍流邊界層法向的變化規(guī)律，肯定了湍流相干結(jié)構(gòu)復(fù)渦黏性系數(shù)模型的合理性。

1 實驗設(shè)備與測量方法

實驗用1500mm×800mm光滑平板水平放置在風(fēng)洞實驗段內(nèi)，正對來流方向的平板前緣為楔形，平板前緣固定有絆線并貼有砂紙，以加速邊界層轉(zhuǎn)捩，保證在探針測量位置形成充分發(fā)展的湍流。在距離平板前端800mm處，用美國TSI公司IFA300型恒溫?zé)峋€風(fēng)速儀和TSI－1244－T1.5型雙平行絲熱線探針進(jìn)行測量，熱線探針的熱線敏感材料是直徑為5μm的鎢絲，雙平行絲熱線探針由兩個間距為1mm的相互平行的熱線敏感元件組成，用于測量空間距離為1mm的空間兩點的流向速度及沿流向的速度變形率。實驗時大氣壓強(qiáng)為1.01×105Pa，風(fēng)洞中氣流溫度為19.5°C。用 TSI－1244－T1.5型雙平行絲熱線探針測量湍流邊界層流向速度分量及沿平板流向的變形率，測量時兩根平行的熱線水平放置，與自由來流方向垂直，與平板平行，一根在上游，一根在下游。測量過程中保證兩根熱線始終在流場的同一水平高度且沿平板法向移動。共測量106個測點，得到湍流邊界層內(nèi)兩組不同法向位置的瞬時流向速度的時間序列信號。對測得的兩組瞬時流向速度信號進(jìn)行差分計算，得到湍流邊界層的瞬時流向速度流向變形率的時間序列信號。實驗中，湍流脈動速度信號的采樣頻率為50kHz，每個測點采集的數(shù)據(jù)量為1048576，采樣時間為20.97s。

2 結(jié)果分析與討論

圖1 來流速度為13.1m／s時y＋＝86.8處兩個通道的瞬時流向速度和流向速度的流向變形率時間序列信號Fig.1 Time sequence signals of two－channel longitudinal velocity and their strain rate at y＋ ＝86.8when U∞ ＝13.1m／s

圖1分別是來流速度為13.1m／s時，在y＋＝86.8處，用 TSI－1244－T1.5型雙平行絲熱線探針測得的兩個通道的瞬時流向速度的時間序列信號以及經(jīng)計算后得到的流向速度的流向變形率的時間序列信號。為了將湍流小尺度脈動的細(xì)節(jié)盡可能地顯示清楚，圖中只給出了8.00～8.05s時間段內(nèi)的部分。

在實驗數(shù)據(jù)分析過程中，用子波變換對湍流脈動速度信號進(jìn)行多尺度分解，將湍流脈動速度信號分解成20個尺度。子波尺度依據(jù)湍流脈動速度信號的采樣頻率和子波母函數(shù)的濾波特性自動進(jìn)行頻帶劃分，對實驗采集的離散信號自動進(jìn)行低通和高通共軛數(shù)字濾波。用自相關(guān)方法確定不同尺度湍渦結(jié)構(gòu)的時間尺度，根據(jù)子波系數(shù)的瞬時強(qiáng)度因子檢測平板湍流邊界層多尺度相干結(jié)構(gòu)，分離出湍流邊界層流向速度多尺度相干結(jié)構(gòu)成分及非相干結(jié)構(gòu)成分［12］。以相干結(jié)構(gòu)流向速度分量的相位平均波形為基準(zhǔn)，用條件相位平均技術(shù)提取了平板湍流邊界層多尺度相干結(jié)構(gòu)流向速度的流向變形率和非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力條件相位平均波形。

圖2給出了用子波分解得到的湍流脈動動能在20個尺度中的分布，可以發(fā)現(xiàn)第8尺度為能量最大尺度。圖3給出各尺度子波系數(shù)的平坦因子。從圖3可以看出，前8個尺度的分尺度平坦因子大于3，表明在前8個尺度中存在相干結(jié)構(gòu)，相位平均波形的結(jié)果也表明了這一點。前8個尺度的相干結(jié)構(gòu)的相位平均波形具有很光滑的波形曲線，說明相干結(jié)構(gòu)具有典型的擬序特征，其發(fā)展演化具有很強(qiáng)的規(guī)律性。而9尺度以后的分尺度平坦因子小于3，其相位平均波形曲線很不光滑，沒有規(guī)律性，屬于完全隨機(jī)的脈動。

根據(jù)文獻(xiàn)［13］的分析，在本文實驗條件下，時間耗散尺度大約為1～2個粘性時間單位，相當(dāng)于時間尺度不超過0.0005s，所以前8個尺度中，第1、2、3尺度為耗散尺度。而第4、5、6尺度的能譜符合Kolmogorov－5／3標(biāo)度律［14］，為慣性子區(qū)尺度，第7、8尺度為大尺度的含能區(qū)尺度［15］。給出了第2、5、7三個尺度的條件相位平均波形的圖形，它們分別代表了耗散尺度、慣性子區(qū)尺度、含能區(qū)尺度的相干結(jié)構(gòu)的典型特征。圖4、5、6分別是第2、5、7尺度，法向坐標(biāo)y＋分別為81.8、100.1、287.9時，與相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠過程相對應(yīng)的非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量的條件相位平均波形與流向速度流向變形率條件相位平均波形的比較，從圖中可以看出，與相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠過程相對應(yīng)的非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與流向速度流向變形率之間存在著相位差ΔΦ＝φ（y）－θ（y）。

圖4 第2尺度y＋分別為81.8、100.1、287.9時噴射和掃掠過程中非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率的條件相位平均波形比較Fig.4 Comparison of conditional phase average waveforms between Reynolds stress that noncoherent structures component contribute to coherent structures and longitudinal strain rate of longitudinal velocity of coherent structures in ejecting and sweeping process at y＋ ＝81.8，100.1and 287.9for scale＝2

用互相關(guān)技術(shù)計算非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力條件相位平均波形與流向速度流向變形率條件相位平均波形對應(yīng)不同相位差的互相關(guān)系數(shù)，確定互相關(guān)系數(shù)取得最大值時的相位差即為非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與流向速度流向變形率之間的相位差，經(jīng)計算得到平板湍流邊界層不同法向位置的相位差，進(jìn)而研究相位差沿平板湍流邊界層法向的變化規(guī)律。圖7顯示的是不同尺度的相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠時非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率之間的相位差沿平板湍流邊界層法向的變化規(guī)律。可以看出，在湍流邊界層中，非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與相干結(jié)構(gòu)的流向速度流向變形率之間的相位差不僅與相干結(jié)構(gòu)的尺度有關(guān)，還與相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠的具體物理過程有關(guān)：噴射階段非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力相位滯后于相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率相位，相位差基本不隨尺度變化，相位差在對數(shù)律層以內(nèi)在－120°～－160°之間基本不隨壁面法向變化，在外區(qū)隨壁面法向逐漸增加至0°；掃掠階段非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力相位超前于相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率相位，小尺度相干結(jié)構(gòu)掃掠的相位差略小，大尺度相干結(jié)構(gòu)掃掠的相位差略大，隨尺度增加相位差逐漸從150°增加到180°，相位差在對數(shù)律層以內(nèi)基本不隨壁面法向變化，在外區(qū)隨壁面法向逐漸減小至100°。

圖5 第5尺度y＋分別為81.8、100.1、287.9時噴射和掃掠過程中非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率的條件相位平均波形比較Fig.5 Comparison of conditional phase average waveforms between Reynolds stress that noncoherent structures component contribute to coherent structures and longitudinal strain rate of longitudinal velocity of coherent structures in ejecting and sweeping process at y＋ ＝81.8，100.1and 287.9for scale＝5

3 結(jié) 論

通過對平板湍流邊界層不同尺度的相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠過程中非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率之間相位差的實驗測量與計算分析，得到以下結(jié)論：

（1）在用湍流渦黏性模型計算雷諾應(yīng)力時，應(yīng)該充分考慮到宏觀尺度的湍渦結(jié)構(gòu)之間相互作用引起動量傳遞的時空弛豫效應(yīng)，即湍流應(yīng)力與平均速度變形率在時間和空間上的不同步性，用帶時空相位變化的渦黏性系數(shù)對平均速度變形率的相位進(jìn)行修正，使得雷諾應(yīng)力分量和平均速度變形率相位對齊，才能得到正確的雷諾應(yīng)力分布。所有在時空上存在周期變化的流動結(jié)構(gòu)的湍流都存在類似的問題。以前由于實驗技術(shù)的限制，這個問題并未引起足夠的注意。因此，復(fù)渦黏性系數(shù)形式的湍流雷諾應(yīng)力模型是合理的；

（2）具有宏觀尺度的湍流相干結(jié)構(gòu)間的動量傳遞與相干結(jié)構(gòu)運動變形的弛豫時間不能忽略不計，表現(xiàn)為非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量和相干結(jié)構(gòu)速度變形率之間的不同步性，它們之間存在著時空上的相位差，這是目前用于非定常湍流結(jié)構(gòu)的渦黏模式理論需要考慮的一個重要因素；

（3）非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力分量與相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率之間的相位差不僅與相干結(jié)構(gòu)的尺度有關(guān)，還與相干結(jié)構(gòu)噴射和掃掠的具體物理過程有關(guān)，噴射階段非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力相位滯后于相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率相位，相位差基本不隨尺度變化，相位差在對數(shù)律層以內(nèi)在120°～160°之間基本不隨壁面法向變化；掃掠階段非相干結(jié)構(gòu)成分對相干結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力相位超前于相干結(jié)構(gòu)流向速度流向變形率相位，小尺度相干結(jié)構(gòu)掃掠的相位差略小，大尺度相干結(jié)構(gòu)掃掠的相位差略大，隨尺度增加相位差逐漸從150°增加到180°，相位差在對數(shù)律層以內(nèi)基本不隨壁面法向變化。

［1］KLINE S J，REYNOLDS W C，SCHRAUB F H，et al.The structure of turbulent boundary layer ［J］.J Fluid Mech.，1967，30：741－774.

［2］WU X S，ZHOU H.Linear instability of turbulent boundary layer as a mechanism for the generation of large scale coherent structures［J］.Chinese Science Bulletin，1989，34（20）：1685－1690

［3］羅紀(jì)生，周恒.湍流邊界層外區(qū)大尺度相干結(jié)構(gòu)的理論模型及與實驗的比較［J］.中國科學(xué)（A 輯），1993，23（1）：56－62.

［4］BROWN G L，THOMAS A S W.Large structure in a turbulent boundary layer［J］.The Physics of Fluids，1977，20（10）：S243－S252

［5］FALCO R E.Coherent motions in the outer region of turbulent boundary layers［J］.The Physics of Fluids，1977，20（10）：S124－S132.

［6］ANTONIA R A，BISSET D K，BROWNE L W.Effect of Reynolds number on the topology of the organized motion in a turbulent boundary layer［J］.J.Fluid Mech，1990，213：267－286.

［7］王昕，連源.湍流邊界層復(fù)渦黏模式的實驗研究［J］.力學(xué)學(xué)報，2002，34（3）：519－524.

［8］WANG X J，LUO J S，ZHOU H.On the eddy viscosity model of periodic turbulent shear flows［J］.Acta Mechanica Sinica，2003，19（5）：470－475.

［9］李萬平，王小慶，謝華.湍流邊界層雷諾應(yīng)力和壁脈動壓強(qiáng)相位滯后分析［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，35（4）：122－125.

［10］羅紀(jì)生，王新軍.壁面定常波紋狀吹吸槽道流中湍流特性的研究［J］.力學(xué)學(xué)報，2005，37（6）：673－681.

［11］郭愛東，姜楠.壁湍流多尺度相干結(jié)構(gòu)復(fù)渦黏模型的實驗研究［J］.力學(xué)學(xué)報，2010，42（2）：159－168.

［12］JIANG N，LIU W，LIU J H，et al.Phase－averaged waveforms of Reynolds stress in wall turbulence during the burst events of coherent structures［J］.Science in China（Series G），2008，51（7）：857－866.

［13］姜楠，王瑞新.湍流邊界層中微小尺度流動結(jié)構(gòu)的精細(xì)實驗測量［J］，哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2006，27（5）：644－648.

［14］JIANG Nan，ZHANG Jin.Detecting multi－scale coherent eddy structures and intermittency in turbulent boundary layer by wavelet analysis［J］.Chinese Physics Letter，2005，22（8）：1968－1971.

［15］姜楠，王振東，舒瑋.辨識子波分析壁湍流猝發(fā)事件的能量最大準(zhǔn)則［J］.力學(xué)學(xué)報，1997，29（4）：406－411.

郭愛東（1972－），男，遼寧沈陽人，天津大學(xué)力學(xué)系博士研究生。研究方向：湍流與實驗流體力學(xué)。通訊地址：天津大學(xué)力學(xué)系流體力學(xué)實驗室（300072），聯(lián)系電話：022－27403574，E－mail：jjxyguoj＠sina.com。

Measurement of phase difference for eddy viscosity model equation of turbulence

GUO Ai－dong1，3，JIANG Nan1，2，JIA Yong－xia1
（1.Dept.of Mechanics of Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.Tianjin Key Laboratory of Modern Engineering Mechanics，Tianjin 300072，China；3.Handling Equipment Mechanical Department，Academy of Military Transportation，Tianjin 300161，China）

Based on the analysis of eddy viscosity coefficient of turbulent coherent structures complex eddy viscosity model in theory，the measurement technique of constant temperature anemometry has been used to measure the phase difference between Reynolds stress component that noncoherent structures component contribute to coherent structures and longitudinal velocity strain rate of longitudinal velocity of coherent structures in the dynamic model equation of multiscale coherent structures in turbulent boundary layer over smooth surface.The variational law of phase difference in the course of coherent structures bursting along normal direction in turbulent boundary layer has been analysed，which offers experimental evidences for constituting more actual turbulent model.

turbulent boundary layer；multi－scale coherent structures；eddy viscosity model；Reynolds stress；velocity strain rate；phase difference

O357.5

A

1672－9897（2011）04－0001－08

2010－10－26；

2011－11－23

國家自然科學(xué)基金重點項目（10832001），面上項目（10872145），中國科學(xué)院力學(xué)研究所非線性力學(xué)國家重點實驗室對外開放課題，天津大學(xué)科技創(chuàng)新基金