鄭智捷

(云南大學(xué)軟件學(xué)院信息安全系,云南昆明650091)

在0-1域中,利用邏輯變量和函數(shù)模型進(jìn)行開關(guān)代數(shù)分析、設(shè)計、描述、優(yōu)化,以及超大規(guī)模集成電路設(shè)計和邏輯門陣列實(shí)現(xiàn),通過卡諾圖,合取范式,析取范式等方法獲得邏輯函數(shù)表示[1-4]已有一系列的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)[1-8]。這類數(shù)理邏輯工具為現(xiàn)代信息和知識產(chǎn)業(yè)建立起堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),為先進(jìn)的電腦和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)大規(guī)模普及發(fā)展做出了實(shí)質(zhì)貢獻(xiàn)[1-13]。從形式化邏輯發(fā)展的角度,0-1邏輯體系奠定的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)[1-6],推動了當(dāng)今世界先進(jìn)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的輝煌成就[1-13]。

在復(fù)雜性科學(xué)[16-20]中元胞自動機(jī)模型[16-23]利用邏輯函數(shù)遞歸處理方法,對動態(tài)圖像變化模式進(jìn)行深入探討。在Wolfram開創(chuàng)的“新一代科學(xué)”系列研究[24-26]中,除了按照順序編號觀察遞歸函數(shù)的復(fù)雜動態(tài)特性之外,研究焦點(diǎn)在探尋單個函數(shù)反復(fù)迭代操作下可能出現(xiàn)的不同圖像變化輸出模式[16-27]。

離散邏輯函數(shù)空間的隨機(jī)組合帶來非規(guī)范特性,不同的表示結(jié)構(gòu)對應(yīng)的變換空間具有內(nèi)蘊(yùn)的非數(shù)值化特征和巨大組合數(shù)目。對整體邏輯配置函數(shù)空間進(jìn)行研究是一類高難度系統(tǒng)探索性問題[16-21,28-32]。

由于缺乏合適的基本原理、模型方法和輔助工具,整體化變換群結(jié)構(gòu)和組織的特性有待于深入研究。利用文獻(xiàn)[40-44]中對規(guī)則化平面格黑白圖像基礎(chǔ)和應(yīng)用研究,提出基本的組織原理和方法。利用多變量0-1序列,從整體編碼角度針對變值體系結(jié)構(gòu)等價性和對稱性方面進(jìn)行分析[38-39]。

利用廣義和文王等編碼系列,形成高維系統(tǒng)分析工具框架,對多變量函數(shù)群集提供展示環(huán)境。

論文第一章給出基礎(chǔ)定義和變值基元的不變特征,第二章對n元邏輯變量建立配置函數(shù)空間,引入兩類擴(kuò)展算符：向量化置換運(yùn)算和互補(bǔ)運(yùn)算模式。定義了廣義編碼結(jié)構(gòu)和2維編碼表示系列。在第三章和第四章中,應(yīng)用基元向量結(jié)構(gòu)和變值編碼系列,對單個和兩個0-1變量的邏輯函數(shù)空間進(jìn)行展示;在第五章中總結(jié)所建立的模型和方法。

1 基本定義

1.1 N元0-1序列

令 x=xn-1…xi…x0,0≤i＜n為n元 0-1變量,記 k為指定的關(guān)聯(lián)位置0≤k＜n,輸出變量y,n變量函數(shù)f,y=f(x),xi,y∈B2={0,1},x∈B={0,1}n

例如：X=01101110,Y=11000111為長度為 N=8的1維0-1序列。最右側(cè)為第0位,最左側(cè)為第7位。

1.2 在邏輯變換中的變值特性

令n元變量序列中的第k個位置為關(guān)聯(lián)位置,在N元序列中,該位置為當(dāng)前位j,所選定的位置在后繼處理中有特殊重要性。

對任意的邏輯變量,在選定了函數(shù)之后關(guān)聯(lián)位置形成Xj→Yj點(diǎn)-點(diǎn)對應(yīng)位置關(guān)系。即該模式由當(dāng)前輸入狀態(tài)和函數(shù)輸出狀態(tài)之間建立的關(guān)系。

由于關(guān)聯(lián)位置1-1對應(yīng)取值為 0-1,輸入/輸出值共有 4類基元變化模式：A：0→0,B：0→1,C：1→0,D：1→1 4類模式,利用變值基元可以建立起更為靈活的表達(dá)方式。

例如：邏輯代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)范式最大項(xiàng)(1點(diǎn)：B和D類)和最小項(xiàng)(0點(diǎn)：A和C類)傳統(tǒng)邏輯析取及合取范式函數(shù)是通過選擇最大項(xiàng)(1點(diǎn))或者最小項(xiàng)(0點(diǎn))集合來決定[1-6],4類變值基元模式以更為豐富的表達(dá)形式構(gòu)成函數(shù)方程。

從元胞自動機(jī)的角度,當(dāng)前的輸入狀態(tài)和輸出狀態(tài)是相互關(guān)聯(lián)的。該類關(guān)系決定變化基元本身在函數(shù)空間中的內(nèi)蘊(yùn)特性。

在4類變值模式中,第B和C類對應(yīng)變值群集;而A和D類對應(yīng)不變值群集。

2 n元變量狀態(tài)空間和配置函數(shù)空間

N長0-1序列在環(huán)轉(zhuǎn)連接下,利用給定位置k的n元變量模式進(jìn)行操作。

2.1 n元變量和基元狀態(tài)

令N長0-1序列為環(huán)狀結(jié)構(gòu),以忽略序列邊界效應(yīng),對任意的整數(shù) n,k;0≤k＜n,0＜n≤N,n為變量數(shù)目,k為關(guān)聯(lián)點(diǎn)距離最右位的偏移量。隨著關(guān)聯(lián)點(diǎn)位置的變動,n元變量在環(huán)上對應(yīng)移動。

輸入輸出變量的關(guān)聯(lián)狀態(tài)：

n個輸入變量形成一個狀態(tài),每個變量取值為0-1,共有2n個狀態(tài)形成狀態(tài)空間。

可區(qū)分的狀態(tài)空間在表1中示意。

表1 基元向量及其狀態(tài)編號

n變元獨(dú)立取值,共有2n可區(qū)分狀態(tài),每個狀態(tài)編號 I數(shù)值的0-1取值對應(yīng)著一個給定的n元狀態(tài)向量。第I個基元向量,在系統(tǒng)中2n基元向量形成基元向量空間。

函數(shù)空間及表示向量

記J=J2n-1…Jj…J0,0≤j＜2n,Jj∈B2,為長度為2n位的函數(shù)向量,每個函數(shù)向量 J確定一個邏輯函數(shù),共有向量構(gòu)成函數(shù)空間在表2中示意。

表2 函數(shù)向量及其函數(shù)編號

2.2 順序編碼-邵雍-Leibniz編碼

在公元11世紀(jì),邵雍首先提出按二叉樹形成的順序排列黑白圖像表示方法[33-37]。在公元17世紀(jì),Leibniz使用0-1序列將樹狀黑白圖像模式表示成二進(jìn)制算術(shù)表示[15,32]。

定義2.2.1：邵雍-Leibniz編碼(SL碼)為函數(shù)表中按二進(jìn)制編號順序排列的序列

證明：按照二進(jìn)制計數(shù)的模式,在每個編號向量中1值對應(yīng)最大項(xiàng),0值對應(yīng)最小項(xiàng)。所選擇的編號值集合和函數(shù)形成1-1對應(yīng)關(guān)系。

2.3 1維編碼-廣義編碼和配置函數(shù)空間

記Ωm為m元對稱置換群結(jié)構(gòu)。

令P為置換算符,

定理2.3.1：在置換算符P的作用下,所有的可區(qū)分的2n!置換函數(shù)向量組成一個邏輯函數(shù)向量置換群空間。

證明：置換算符作用在特征向量上,向量共有2n不同位置,第0個位置有2n種選擇,…,第 j位置有2n-j種選擇,…,第2n-2位置有2種選擇,第2n-1位置僅有1種選擇方式?？赡艿目倲?shù)目為各個位置選擇數(shù)目的乘積。

對每個基元向量的位置可以選擇原來的值,或者為相反的值。定義互補(bǔ)運(yùn)算Q,在向量的模式下,令Q為一個2n長0-1向量,P(J)Q=P(J2n-1)Q2n-1…P(Jj)Qj…P(J0)Q0

為方便描述,在P和Q兩類算符作用下形成的空間稱為配置函數(shù)空間,一個選定的P和Q算符確定一個配置函數(shù),每個配置函數(shù)包含按廣義編碼排列的個函數(shù)。

定義2.3.2：廣義編碼(G碼)是由P和Q算符對2n位長向量J作用后,形成的配置編碼模式。

定理2.3.3：在P和Q兩類算符作用下,廣義編碼P(J)Q所包含的可區(qū)分配置函數(shù)數(shù)目為

證明：對每個互補(bǔ)運(yùn)算j,Qj有兩種選擇,Q的選擇總數(shù)為;對置換算符基元向量在P算符的作用下形成2n!置換群,總數(shù)目為二者的乘積。

廣義編碼配置函數(shù)的數(shù)目為n元邏輯互補(bǔ)空間的算符數(shù)目與2n個基元置換對稱群算符數(shù)目的乘積。

2.4 二維編碼

廣義編碼,在P,Q變換下所形成的編號還是22n向量的一個置換,在配置函數(shù)變換空間中存在置換,將其重排為與SL編碼對應(yīng)的順序編號模式。

為方便地描述2維結(jié)構(gòu),

令P(J)Q=P〈J1|J0〉Q形成二維編碼。

公元前13世紀(jì),周文王(姬昌)首先引入了非對稱排列,將八卦圖示表示為兩個置換群集[33-37]。用文王命名這類形成二維表示的編碼結(jié)構(gòu)。

定義2.4.1：文王碼(W 碼)為滿足 P(J)Q=P〈J1|J0〉Q條件,形成的通用型二維編碼。

定理2.4.2：文王編碼等價于廣義編碼,文王編碼提供一個2維平面框架顯示選定的配置函數(shù)中各個函數(shù)的相對位置。

證明：每個廣義編碼的編號能寫為〈J1|J0〉文王編碼的標(biāo)準(zhǔn)形式,在表3中每個邏輯函數(shù)在配置函數(shù)表示空間中有一個確定的位置,

表3 2維展示框架

通過文王碼的兩個子編號,將函數(shù)集展示在2維平面上。

表4 n=1廣義編碼和文王編碼序列

二維廣義編碼排列為：

如何才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望，教師在設(shè)計練習(xí)時要充分考慮兒童的心理特點(diǎn)，教師結(jié)合學(xué)生已有知識盡量使練習(xí)設(shè)計新穎，生動有趣，只有有趣的練習(xí)，才能調(diào)動學(xué)生做練習(xí)的積極性。

序3 0 1 1 0序2 2 3序1 3 2序0 2 3 3 2 0 1 1 0序7 0 2 2 0序6 1 3序5 3 1序4 1 3 3 1 0 2 2 0

8個二維表不同函數(shù)排列：

序3 0 ˉxˉx 0序2 x 1序1 1 x序0 x 1 1 x 0 ˉxˉx 0序7 0 x x 0序6ˉx 1序5 1 ˉx序4ˉx 1 1 ˉx 0 x x 0

置換和互補(bǔ)運(yùn)算不會改變函數(shù)本身,但將不同的配置函數(shù)排列成可區(qū)分的結(jié)構(gòu)。這樣不變特性為整體分析提供分析比較圖式。

2.5 伏羲編碼和共軛編碼

公元前45世紀(jì),伏羲排出對稱編排的八卦模式[33-37],用伏羲命名這類配對的對稱編碼。

定義2.5.1：對2維文王編碼,如果?j1-2n-1=j0,0≤j0＜2n-1,2n-1≤j1＜2n同時Ij1=ˉIj0,即兩個相差2n-1的基元按照配對的模式排列互為互補(bǔ)向量表示,則該類編碼為伏羲編碼(F碼),也稱為廣義共軛編碼(GC碼)。

如果還有更強(qiáng)地約束基元配對,則形成另一類編碼。

定義2.5.2：在伏羲編碼系列中,如果對?Ij0∈IJ0,對基元特定的位置i,,(或者?Ii=1),0≤i＜2n-1,則該類編碼為共軛編碼(C碼)。

在配對條件下的兩種編碼有如下定理。

定理2.5.4：對n元變量結(jié)構(gòu),C碼的數(shù)目是8×(2n-1)!

證明：基元向量互補(bǔ)算符Q共有4種可能性。由于置換算符P前一半的基元同后一半的基元有配對要求,同時對基元特定的位置i,?Ii∈Ij0&Ii=0,(或者?Ii=1)0≤i＜n,一共有!組合。兩類算符相互獨(dú)立,編碼總數(shù)為兩者數(shù)目的乘積。

2.6 幾種編碼方案比較

為了比較不同的編碼系列,在表5中列出主要編碼和計算公式。以判斷編碼的整體特性。

表5 不同編碼計算公式比較

在單個變元的條件下,8個G-W碼序列也是F-GC碼和C碼序列。

隨著變元數(shù)目超幾何級數(shù)增長,詳細(xì)研究只可能針個例,不能進(jìn)行窮舉性遍歷。

在下面的章節(jié)中,研究單變量和雙變量的配置函數(shù)空間展示分布情況。

3 單變量和雙變量的表示結(jié)構(gòu)

3.1 基本模式

對單變量函數(shù),

單元函數(shù)為1-1變換關(guān)系,按照公式

對輸入變量在輸入向量上求值,得到函數(shù)的輸出序列。

對雙變量函數(shù),將首尾銜接成環(huán)狀,由于變換的非對稱性有兩種變換模式：

類型A：

或者

類型B：

或者

3.2 單變量配置函數(shù)空間

從邏輯代數(shù)的角度,單變量函數(shù)是最基本的函數(shù)。函數(shù)空間表示如下：令 x為邏輯變量x∈{0,1}

在一元邏輯函數(shù)空間中有4個函數(shù),編號為0-3。在單變量下,各類編碼都是相同的,考察SL碼和C碼的編號排列。

3.3 單變量函數(shù)的SL編碼和C編碼表示

對單變量函數(shù),用如下的規(guī)則構(gòu)造其表示空間：

(1)將狀態(tài)空間分為兩個集合：0,1;

(2)按照選擇及不選擇,在函數(shù)空間中建立關(guān)系;

(3)在狀態(tài)集合1,0上,互補(bǔ)10,01集合在〈J1|J0〉模式中標(biāo)記為編號;

(4)記 f(〈J1|J0〉|x)的基本結(jié)構(gòu)〈J1|J0〉為選擇的變值函數(shù)表示：

y=f x x ˉx 10 01 〈J1|J0〉 C碼編號 等價函數(shù) SL碼編號f0(x)=f00(x)0 0 1 0 〈1|0〉 2 0 0 f1(x)=f01(x)0 1 1 1 〈1|1〉 3 ˉx 1 f2(x)=f10(x)1 0 0 0 〈0|0〉 0 x 2 f3(x)=f11(x)1 1 0 1 〈0|1〉 1 1 3

其他函數(shù)的等價特性關(guān)系,亦能通過選擇集合驗(yàn)證。

3.4 共軛表示的定理和推論

從3.3節(jié)中可以看到,利用最大項(xiàng)或者最小項(xiàng)組合所構(gòu)成的函數(shù),與通過變值基元構(gòu)成的函數(shù)是相互等價的。兩個配置函數(shù)空間具有同樣的大小,不同的編號和函數(shù)可以相互比較。

從基元變換群的角度,基元狀態(tài)形成變值基元。這樣的描述特征有利于克服經(jīng)典系統(tǒng)適合表達(dá)靜態(tài)組合特性而缺乏動態(tài)描述功能的局限。

利用對應(yīng)關(guān)系,得到等價性定理。

定理3.4.1：單變量邏輯函數(shù)空間和單變量變值函數(shù)空間的可區(qū)分函數(shù)總數(shù)為221=4。在兩個結(jié)構(gòu)中的4個函數(shù)1-1對應(yīng)。

證明：利用4個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,等價性成立。

在結(jié)構(gòu)中形成的4個頂點(diǎn)有明確地意義。

推論3.4.2：在變值表示中,4個函數(shù)有如下的變換意義,

(1)f(〈0|1〉|x)保持{1}點(diǎn)狀態(tài)不變,轉(zhuǎn)化{0}點(diǎn)為1。對應(yīng)邏輯代數(shù)的1函數(shù);

(2)f(〈0|0〉|x)保持原有的值不變。對應(yīng)原函數(shù) x;

(3)f(〈1|1〉|x)將{0}點(diǎn)轉(zhuǎn)化為1值,同時將{1}點(diǎn)轉(zhuǎn)化為0值。對應(yīng)邏輯代數(shù)的非函數(shù)ˉx;

(4)f(〈1|0〉|x)保持{0}點(diǎn)狀態(tài)不變,轉(zhuǎn)化{1}點(diǎn)為0值。對應(yīng)0值函數(shù)。

證明：對1元邏輯函數(shù),只有上述4種情況。

推論3.4.3：1元函數(shù)的函數(shù)空間同變值函數(shù)空間同構(gòu)。

證明：在兩個結(jié)構(gòu)中任意函數(shù)明確的1-1對應(yīng)。

應(yīng)用例子

對給定的0-1序列 X=01101110,8位長的二進(jìn)制序列,1元共軛函數(shù)空間生成如下4種輸出序列：

4 雙變量的表示結(jié)構(gòu)

對任意n變量,狀態(tài)數(shù)目為2n,函數(shù)空間數(shù)目為。在雙變量函數(shù)空間中共有16個函數(shù)。

4.1 A型雙變量表示

對A型模式,序列X,下列關(guān)系成立：

f x 0 1 z 0 1

雙變量 x,z一共有4種狀態(tài)組合：

16個函數(shù)的不同編碼在表6中示意。

對雙變量函數(shù),用如下的規(guī)則表示：

(1)將zx的狀態(tài)空間根據(jù)x點(diǎn)取值為0或者1分為兩個集合：{0,2},{3,1};

(2)狀態(tài)集0：3;2：1是共軛對;

(3)由1(0)點(diǎn)狀態(tài)決定J1(J0)的集合;

(4)選擇狀態(tài)為1,不選擇為0,建立對應(yīng)關(guān)系;

(5)〈J1|J0〉為變值表示：f(〈J1|J0〉|zx)

表6 1維排列SL C(類型A),F,G,W 各類表示

二維展示：

SL碼順序排列 SL碼函數(shù)分布

二維碼排列 F碼函數(shù)分布＜0,0＞ ＜0,1＞ ＜0,2＞ ＜0,3＞ x z+x ˉzx ˉzx+zˉx＜1,0＞ ＜1,1＞ ＜1,2＞ ＜1,3＞ zx z 0 zˉx＜2,0＞ ＜2,1＞ ＜2,2＞ ＜2,3＞ ˉz+x 1 ˉz ˉz+ˉx＜3,0＞ ＜3,1＞ ＜3,2＞ ＜3,3＞ zx+ˉzˉx z+ˉx ˉzˉx ˉx W碼函數(shù)分布 C碼函數(shù)分布x ˉz+x z+x 1 x z+x ˉz+x 1 zx zx+ˉzˉx z z+ˉx zx z zx+ˉzˉx z+ˉxˉzx ˉz ˉz x+zˉx ˉz+ˉx ˉzx ˉzx+zˉx ˉz ˉz+ˉx 0ˉzˉx zˉx ˉx 0 zˉx ˉzˉx ˉx

將得到的結(jié)果,總結(jié)為定理形式。

定理4.1.1：對多元變量等價變值函數(shù)集表示,SL編碼不同于C編碼的排列模式。

證明：觀察SL碼的基元向量,當(dāng)變元數(shù)目大于1時。按順序排列的前一半和后一半向量通常不會滿足廣義共軛條件。

定理4.1.2：對任意的F編碼,按主對角線劃分,對應(yīng)編號的函數(shù)為成對共軛函數(shù)。

證明：在F編碼條件下,任意選擇的編號〈J1|J0〉其在對角線另一側(cè)的編號是〈J0|J1〉。該編號是原向量集的共軛變量集合。

觀察上面例子中的F碼和C碼的函數(shù)分布,函數(shù)對滿足成對共軛關(guān)系。

定理4.1.3：對任意的C編碼,除了主對角線的共軛對稱性之外,4個頂點(diǎn)為：0,x,ˉx,1

證明：在上述4種情況中,x什么都不變自然保持輸入變元原狀態(tài)直接輸出;1函數(shù)將0點(diǎn)變?yōu)?,輸出1向量;0函數(shù)轉(zhuǎn)化1點(diǎn)為0,輸出0向量;ˉx把0點(diǎn)變?yōu)?,同時 1點(diǎn)變?yōu)?,輸出為原值求反。

4頂點(diǎn)不變性是C類編碼特有的空間結(jié)構(gòu)特征。

定理4.1.4：在文王編碼中如果基元向量集無成對匹配,則其對應(yīng)函數(shù)分布一般不出現(xiàn)共軛對稱效應(yīng)。

證明：由于編碼規(guī)則的約束,非成對匹配形成非對稱排列。但可能在一些團(tuán)體組合模式下以個例顯現(xiàn)共軛對稱性,定理的結(jié)論對大部分情況能夠成立。

觀察前面G碼的例子,盡管大多數(shù)函數(shù)對非共軛對稱,但是兩個頂點(diǎn)函數(shù)(0和1)仍保持共軛對稱。

5 結(jié)論

對多變量條件下利用傳統(tǒng)東方邏輯結(jié)構(gòu)建立起現(xiàn)代化變值邏輯變換體系。利用變值基元向量,建立了整體編碼模型和系列化編碼展示結(jié)構(gòu)。

定理4.1.1-4.1.4總結(jié)論文的主要結(jié)果。在新的編碼系列中,文王編碼具有通用二維結(jié)構(gòu)。伏羲編碼在配置函數(shù)空間中形成共軛函數(shù)對。而共軛編碼,特有的四元極值頂點(diǎn)將其他的編號約束在內(nèi)。

由于文王編碼系列具有超幾何級數(shù)增長的趨式,下一步的工作將集中在對較少量變元(2-4)的變換結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)際的模擬處理和窮舉型計算。同時應(yīng)用該理論體系處理數(shù)學(xué)/物理的基礎(chǔ)悖論問題,為實(shí)際應(yīng)用現(xiàn)代東方邏輯系統(tǒng)：變值邏輯體系開辟道路。

致謝：感謝已故的恩師高慶獅院士,高先生早在30年前就指導(dǎo)作者在對稱置換群上構(gòu)造并行算法。感謝陳濤先生利用分層結(jié)構(gòu)化模型建立的現(xiàn)代中醫(yī)輔助診斷系統(tǒng),應(yīng)用傳統(tǒng)中醫(yī)理論形成現(xiàn)代化成果激勵作者重返基礎(chǔ)邏輯研究前沿。感謝云南省特色專業(yè)建設(shè)基金和云南省軟件工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室信息安全專項(xiàng)基金支持。

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