包興明，張 豪

(1.四川理工學院理學院，自貢 643000;2.電子科技大學數(shù)學科學學院，成都 611731)

現(xiàn)實中考慮各種因素后，物體所做的各種振動幾乎都是非線性振動。非線性問題是當前物理研究中的熱門問題，但其求解具有極大難度，除了少部分特殊情況可以用解析法解決以外，大部分問題要依靠數(shù)值方法，利用計算機才能得出其結(jié)果。文獻［1］分析了幾種常見的線性彈簧組合，對作非線性振動彈簧振子進行了數(shù)值求解，并與通過計算得出解析解進行了對比，解析解與數(shù)值解是一致的。但目前對實際生活和生產(chǎn)中常見的二維非線性振動少有所研究［2］。本文應用拉格朗日方程方法并用數(shù)值計算研究彈簧系統(tǒng)中對稱12彈性振子的二維非線性振動，給出其非線性振動方程并給出振動曲線。

1 對稱12彈性振子的運動方程

對稱12彈性振子的物理模型可以用一個在光滑水平面上運動的質(zhì)量為m的質(zhì)點來描述，它與12個彈性系數(shù)均為k、原長均為a的彈簧相連。在平衡時這12個彈簧互成30°。這12個彈簧兩兩對稱，此時彈簧為原長，質(zhì)點在xy平面內(nèi)(水平面)作微小振動。以質(zhì)點的平衡位置為原點o，建立坐標系oxy，如圖1所示。

圖1 對稱12彈性振子

系統(tǒng)的動能和勢能分別為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

根據(jù)保守力系統(tǒng)的拉格朗日方程

得到系統(tǒng)的運動微分方程為

方程(5)與方程(6)是一非線性耦合方程組［3］，這表明彈簧振子的運動是非線性振動。線性彈簧在此種組合下，由于其勢能函數(shù)V(x，y)不再是二次函數(shù)，必然產(chǎn)生非線性振動。其振動形式的解析解很難直接得到，本文采用數(shù)值方法對其進行研究。

若振子作微小振動，則方程(5)可化為

這是一個軟非線性的微分方程［4］，它給出了一個恢復力為x3的非簡諧振動的物理力學模型。若振子作微小振動，則方程(6)可化為

這是一個軟非線性的微分方程［4］，它給出了一個恢復力為y3的非簡諧振動的物理力學模型。

2 振動的數(shù)值求解和振動曲線模擬

為簡單起見，假定該彈性振子質(zhì)量m=1 kg，彈簧原長為a=1.0 m，彈性系數(shù)k=0.1 N/m?，F(xiàn)在，用數(shù)值方法研究系統(tǒng)在給定初始條件下的響應。

1)初始條件為x0=y0=0.05 m==0.0 m/s。利用maple語言的超強數(shù)值計算功能［5］，在如上的條件下，求解方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動曲線(圖2)，x方向振動和y方向振動的振幅均為 0.049 989 560 776 723 951 4 m。

圖2 x0=y0=0.05 m=0.0 m/s時的振動曲線

2)在x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=－0.03 m/s的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動曲線(圖3)，x方向振動的振幅為0.063 241 716 209 257 073 4 m、周期為81 s，而y方向振動的振幅為0.063 227 956 503 896 926 0 m。

圖3 x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=－0.03 m/s時的振動曲線

3)在x0=y0=0.1 m的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動曲線(圖4)，x方向振動和y方向振動的振幅均為0.099 956 279 830 978 711 6 m。

圖4 x0=y0=0.1 m0.0 m/s時的振動曲線

4)在x0=y0=0.1m=0.03 m/s=－0.03 m/s的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動曲線(圖5)，x方向振動的振幅為0.107 377 121 537 032 590 m、周期為81 s，而y方向振動的振幅為 0.107 072 704 126 938 560 m。

圖5 x0=y0=0.1 m=0.03 m/s=－0.03 m/s時的振動曲線

由圖2～5可以看出:

1)在微小振動的條件下，對稱12彈性振子的振動是非簡諧的周期性振動;在保守力系統(tǒng)中，非線性振動系統(tǒng)的振幅與初始位置和初始速度有關系。初始位置增大，振幅增大;初始位置不變，若初始速度增大，則振幅也增大。

2)在其x方向和在y方向的振動曲線都可以看成是一個形變了的余弦曲線，其上附加有依賴于振幅的高頻顫動。

3 結(jié)束語

對彈簧系統(tǒng)中常見的二維非線性振動問題，可利用拉格朗日方法得到其振動控制微分方程，借助于計算機和maple語言在計算方面的超強功能，成功解決了該類非線性振動問題。這種方法有效簡便，這就為非線性問題探索出了一種極好的求解途徑。

振動曲線彼此相似，其波形與振幅無關，具體形狀介于余弦波和三角波之間，可以看成是一個變形了的余弦波，其上附加有依賴于振幅的高頻顫動。

［1］廖旭，任學藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動［J］.大學物理，2008，27(2):25－28.

［2］包興明，周志堅，袁玉全.彈簧系統(tǒng)一種常見的二維非線性振動［J］.西南師范大學學報，2008，33(4):28－31.

［3］卓崇培.非線性物理學［M］.天津:天津科學技術(shù)出版社，1996:26－61.

［4］劉式適，劉式達.物理學中的非線性方程［M］.北京:北京大學出版社，2000:6，66.

［5］黎捷.MAPLE 9.0符號處理及應用［M］.北京:科學出版社，2004.