齊予侖

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什844000）

自20世紀(jì)80年代鄧聚龍先生針對(duì)“少數(shù)據(jù)、貧信息”問題提出灰色理論以來，灰色系統(tǒng)理論在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，基于貧信息的灰預(yù)測(cè)成功地解決了許多信息不完全的預(yù)測(cè)問題．對(duì)于灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）模型，很多文獻(xiàn)從模型的初值優(yōu)化、灰導(dǎo)數(shù)、背景值等方面對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，豐富了灰色系統(tǒng)理論的研究，并將GM（1，1）模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、工程與科學(xué)技術(shù)等許多領(lǐng)域．本文通過建立改進(jìn)的灰色GM（1，1）模型，并利用根據(jù)中國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研報(bào)告中4種營養(yǎng)性疾病檢出率（輕度營養(yǎng)不良、中度以上營養(yǎng)不良、超重、肥胖）的數(shù)據(jù)資料，對(duì)2010年和2015年我國10～12歲城鄉(xiāng)男女的營養(yǎng)性疾病檢出率進(jìn)行預(yù)測(cè)．

1 改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型

設(shè)非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列為x（0）＝｛x（0）（1），…，x（0）（n）｝，其累加生成序列x（1）＝｛x（1）（1），…，x（1）（n）｝．其中x（1）（k）＝，k＝1，2，…，n．稱x（0）（k）＋az（1）（k）＝b為GM（1，1）模型，這里z（1）（k）＝0．5x（1）（k）＋0．5x（1）（k－1）稱為GM（1，1）模型的背景值，為累加生成序列的緊鄰均值生成值．

若將背景值序列改為

則可得

如果給定α的值，則可得（1）式中參數(shù)a，b的最小二乘估計(jì)為

其中

進(jìn)一步規(guī)定模型初值條件為t＝1時(shí)，x（1）（1）＝x（0）（1）＋β，這里β為初值修正參數(shù)．為了討論方便，將上面同時(shí)修正背景值和初值條件的灰色模型稱為改進(jìn)GM（1，1）模型，從而改進(jìn)GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

k＝1，2，…

還原后模型表達(dá)式為

2 基于粒子群算法的改進(jìn)GM（1，1）模型參數(shù)優(yōu)化

粒子群優(yōu)化算法［10]（Particle Swarm Optimization，PSO）是由James Kennedy和Russell Eberhart在1995年提出的，粒子群優(yōu)化算法是一種智能進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，它具有計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂速度快，并且需要調(diào)整的參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)應(yīng)用在方程優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、系統(tǒng)控制以及模式識(shí)別等許多領(lǐng)域．

粒子群優(yōu)化算法首先對(duì)目標(biāo)函數(shù)初始化一組隨機(jī)解，每個(gè)個(gè)體解可以看成一個(gè)粒子．每個(gè)粒子都有一個(gè)由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)值，還有一個(gè)速度決定粒子搜索的方向和距離．依據(jù)適應(yīng)值的大小可以判斷粒子的優(yōu)劣．在迭代過程中，每個(gè)粒子都根據(jù)兩個(gè)極值來更新自己，一個(gè)是個(gè)體極值（pbest），另一個(gè)是全局極值（gbest）．每個(gè)粒子都按照下面的公式更新自己的速度和位置

其中：vk是粒子的速度向量；xk是粒子的當(dāng)前位置；pbestk是粒子本身搜索到的最優(yōu)解，即個(gè)體極值；gbestk是整個(gè)粒子群搜索到的全局極值；w為慣性系數(shù)，用來保持全局搜索和局部搜索的平衡；c1和c2稱為加速系數(shù)，通常?。?，2）之間的隨機(jī)數(shù)．

根據(jù)一次累加生成序列的曲線形狀，可以大致判定參數(shù)a和b的取值范圍，作為約束條件，從而參數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為以平均相對(duì)誤差函數(shù)最小為目標(biāo)的非線性優(yōu)化問題，然后就能夠利用粒子群優(yōu)化算法求解參數(shù)．

適應(yīng)度函數(shù)是微粒群中各個(gè)微粒演化的評(píng)價(jià)函數(shù)，它需要根據(jù)具體問題來確定．這里將平均相對(duì)誤差函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，利用粒子群算法確定改進(jìn)GM（1，1）模型的參數(shù)優(yōu)化．定義平均相對(duì)誤差函數(shù)為

利用粒子群優(yōu)化算法得到參數(shù)a，b，α，β的估計(jì)值，將這些估計(jì)值代入（1）式和（2）式就可以得到改進(jìn)灰色GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)．

粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)模型參數(shù)的算法步驟如下：

Step1 在可行域內(nèi)初始化粒子種群和粒子速度；

Step2 計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，選擇個(gè)體極值和全局極值；

Step3 如果計(jì)算結(jié)果達(dá)到一定的精度或者達(dá)到最大迭代次數(shù)，轉(zhuǎn)入Step5，否則轉(zhuǎn)入Step4；

Step4 按照（3）式和（4）式更新每個(gè)粒子的速度和位置，然后轉(zhuǎn)入Step2；

Step5 輸出全局極值以及相應(yīng)的解，并退出循環(huán)．

3 學(xué)生營養(yǎng)健康狀況預(yù)測(cè)

學(xué)生的生長發(fā)育著重與營養(yǎng)有關(guān)，營養(yǎng)主要從日常膳食中攝取，生活水平和生活質(zhì)量是改善與提高學(xué)生營養(yǎng)狀況的基礎(chǔ)條件，合理營養(yǎng)與科學(xué)營養(yǎng)是促進(jìn)學(xué)生正常生長發(fā)育的基本保證．若營養(yǎng)攝取不均衡或營養(yǎng)過剩，都將嚴(yán)重影響學(xué)生正常發(fā)育與健康成長，其中營養(yǎng)不良和肥胖是新時(shí)期威脅我國學(xué)生健康常見的營養(yǎng)問題．因此，對(duì)學(xué)生的營養(yǎng)不良、超重和肥胖等營養(yǎng)性亞健康疾病的流行趨勢(shì)進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，可為國家今后一個(gè)時(shí)期有效實(shí)施對(duì)全國學(xué)生生長發(fā)育的宏觀監(jiān)控，研究制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃和促進(jìn)學(xué)生生長發(fā)育的干預(yù)策略、措施提供科學(xué)數(shù)據(jù)．

數(shù)據(jù)資料來自1985、1995、2000、2005年中國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研報(bào)告［11]，各時(shí)期全國學(xué)生各種營養(yǎng)狀況的篩查標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一使用“1985年身高標(biāo)準(zhǔn)體重”修訂版．該篩查方法同2003年公布“中國學(xué)齡兒童青少年超重、肥胖篩查BMI參考標(biāo)準(zhǔn)”的評(píng)價(jià)效果基本相一致，能比較客觀地反映不同時(shí)期我國學(xué)生的各種營養(yǎng)狀況．身高標(biāo)準(zhǔn)體重篩查法將學(xué)生營養(yǎng)狀況共分為7類：重度營養(yǎng)不良、中度營養(yǎng)不良、輕度營養(yǎng)不良、較低體重、正常體重、超重和肥胖．本文僅采用10～12歲城鄉(xiāng)男女的超重和肥胖指標(biāo)數(shù)據(jù)資料（見表1）建立改進(jìn)GM（1，1）模型，其它各年齡段可以采用類似方法．

這里以全國10～12歲鄉(xiāng)村女生營養(yǎng)性疾病檢出率中超重指標(biāo)數(shù)據(jù)為例，說明建模的方法和過程．此時(shí)，原始數(shù)據(jù)序列和一次累加生成序列分別為

x（0）＝｛2．83，3．985，5．14，6．83，8．84｝

x（1）＝｛2．83，6．815，11．955，18．785，27．625｝

利用粒子群優(yōu)化算法的基本參數(shù)設(shè)置為：加速系數(shù)c1＝c2＝2，迭代次數(shù)為20，慣性權(quán)重w＝0．2，模型參數(shù)α和β的取值范圍為α∈［0，1] ，β∈［0，5] ．利用Matlab軟件編程計(jì)算可得：α＝0．527 3，a＝－0．265 8，u＝2．691 4，β＝0．146 5．進(jìn)一步可得改進(jìn)GM（1，1）模型的擬合值，計(jì)算結(jié)果見表2．

表1 全國10～12歲學(xué)生1985 2005年2種營養(yǎng)性疾病檢出率 %

表1 全國10～12歲學(xué)生1985 2005年2種營養(yǎng)性疾病檢出率 %

注：表1中1990年數(shù)據(jù)是利用內(nèi)插法得到的，其余數(shù)據(jù)選自中國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研報(bào)告［11]

_________________________超重肥胖________________________________________1985 1990 1995 2000 2005 1985 1990 1995 2000 2005__城市男生1．32 3．975 6．63 14．48 16．62 0．41 4．665 8．92 11．59 15．33城市女生2．83 5．245 7．66 10．96 12．53 0．80 2．42 4．04 6．18 8．08鄉(xiāng)村男生3．34 3．83 4．32 7．72 10．78 1．37 1．725 2．08 4．30 7．09__鄉(xiāng)村女生____2．83 3．985 5．14 6．83 8．84 0．80 1．22 1．64 2．57 4．24__

表2 模型擬合值與實(shí)際值的比較分析

由表2的計(jì)算結(jié)果可以看出，改進(jìn)GM（1，1）模型的平均相對(duì)誤差為0．383 654 537%，而GM（1，1）模型的平均相對(duì)誤差為0．508 877 303%．另外，改進(jìn)GM（1，1）模型的均方差比也要小于傳統(tǒng)GM（1，1）模型的均方差比．結(jié)果表明，通過背景值和初值同時(shí)優(yōu)化的改進(jìn)灰色GM（1，1）模型能夠提高模型的擬合精度．

對(duì)表1的另外7組數(shù)據(jù)可以采用類似的方法建立改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型，計(jì)算結(jié)果都表明改進(jìn)的GM（1，1）模型的擬合精度要比傳統(tǒng)的GM（1，1）模型的擬合精度高，這樣就可以利用這些改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型對(duì)未來學(xué)生營養(yǎng)性疾病檢出率進(jìn)行預(yù)測(cè)，2010年和2015年城市男女生學(xué)生超重和肥胖指標(biāo)，以及鄉(xiāng)村男女生學(xué)生超重和肥胖指標(biāo)的預(yù)測(cè)結(jié)果見表3．

表3 全國10～12歲學(xué)生2種營養(yǎng)性疾病檢出率預(yù)測(cè)值 ﹪

表3的預(yù)測(cè)結(jié)果表明，未來時(shí)期我國學(xué)生中的超重與肥胖學(xué)生群體將在2005年的基數(shù)上大幅上升，且城市男生上升幅度最為明顯，成為未來時(shí)期重點(diǎn)干預(yù)的肥胖學(xué)生群體．此外，未來時(shí)期農(nóng)村肥胖學(xué)生（男生）上升速度加快，成為未來時(shí)期最需要關(guān)注的易感肥胖流行群體，要警惕農(nóng)村地區(qū)肥胖學(xué)生快速增長的苗頭與跡象．因此，今后一個(gè)時(shí)期要特別關(guān)注我國學(xué)生營養(yǎng)的雙面效應(yīng)，應(yīng)盡早采取積極主動(dòng)的干預(yù)策略與措施，以期控制并減緩超重與肥胖學(xué)生群體的增長數(shù)量與增長速度．

4 結(jié)束語

提高灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型擬合精度的途徑有很多種，同時(shí)優(yōu)化模型的背景值和初值是提高灰色模型擬合精度的有效途徑之一．本文就是通過同時(shí)對(duì)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的背景值和初值條件進(jìn)行修正，建立了改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型，并利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)改進(jìn)模型的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化．最后利用改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型對(duì)我國10～12歲城鄉(xiāng)男女生營養(yǎng)性疾病檢出率進(jìn)行了預(yù)測(cè)．應(yīng)用實(shí)例的計(jì)算結(jié)果表明：粒子群優(yōu)化算法是優(yōu)化改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型參數(shù)的一種有效方法，該算法具有計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)．

［1] 王豐效．基于初值修正的非等間距灰色預(yù)測(cè)模型［J] ．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（3）：42－44．

［2] 李玻，魏勇．優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)后的新GM（1，1）模型［J] ．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009（2）：100－105．

［3] 王豐效，張凌霜．基于蟻群算法的灰色組合預(yù)測(cè)模型［J] ．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（14）：102－106．

［4] 王鐘羨，吳春篤，史雪榮．非等間距序列的灰色模型［J] ．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33（10）：16－20．

［5] 王豐效．非等間距組合灰色預(yù)測(cè)模型［J] ．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（21）：39－43．

［6] 王豐效．非等距灰色預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用［J] ．統(tǒng)計(jì)與決策，2006（10）：20－21．

［7] 王豐效．GM（1，1）組合預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用［J] ．統(tǒng)計(jì)與決策，2006（11）：142－143

［8] 宋中民．灰色GM（1，1）模型參數(shù)的優(yōu)化方法［J] ．煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)與工程版，2001，14（3）：161－163．

［9] 張輝，胡適耕．GM（1，1）模型的邊值分析［J] ．華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，29（4）：110－111．

［10] Kennedy J，Eberhart R．A new optimizer using particle swarm theory［C] ／／Proceedings of the Sixth International Symposium on Micromachine and Human Science．Piscataway，NJ：IEEE Service Center，1995：39－43．

［11] 中國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研組．2005年中國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研報(bào)告［M] ．北京：高等教育出版社，2007．