邢威加 趙成龍

(首都師范大學(xué)附屬中學(xué),北京 100048)

1682年8月10日,瑞典的斯德哥爾摩有一艘當(dāng)時最大的主力艦“瓦薩”號正在舉行首航儀式,一陣微風(fēng)吹來,船身奇怪地晃動了一下,向左傾斜過來,炮長命令把所有的左舷上的大炮移到右舷以抵消船的傾斜,但甲板的傾斜度在增加.然后,當(dāng)船上的貨物、壓艙物、彈藥以及400個人轟的一聲滑到傾斜得很厲害的左舷船壁時,岸上觀眾聽到了雷鳴般的轟鳴聲.低層炮眼已經(jīng)淹沒在水里了,灌進(jìn)船的水決定了船的命運.在輝煌歷程的最初時刻,這艘為統(tǒng)治波羅地海而造的強大的“瓦薩”號,飄著艦旗沉入她誕生的海港.

“瓦薩”號為什么會翻倒?其翻倒的原因是什么?我們分別提出了一個簡化的物理模型和一個精確的物理模型對其進(jìn)行了研究.

1 一個簡化的物理模型

為了研究“瓦薩”號翻倒的原因,我們首先提出一個簡化的物理模型.這個模型忽略了“瓦薩”號的形狀,主要是忽略了船的面積對船的穩(wěn)定性的影響,把“瓦薩”號看作是一個浮在水面的試管,通過研究一個浮在水面的試管的穩(wěn)定性,來發(fā)現(xiàn)“瓦薩”號翻倒的原因.在這個簡化的物理模型研究中,我們分別采用實驗方法和理論方法進(jìn)行研究.

1.1 實驗研究

實驗器材:平底試管1只,1000 mL燒杯1個,輕質(zhì)試管塞1個,細(xì)線1根,直尺 1把,坐標(biāo)紙 1張,砝碼若干個,鉛筆.

通過受力分析,我們發(fā)現(xiàn)試管漂浮在水面上共受2個力,重力和浮力.我們猜想“瓦薩”號翻倒的原因與這2個力有關(guān).為此,我們研究這2個力的作用點(重心與浮心)的變化規(guī)律.

(1)探索裝有砝碼試管的重心變化規(guī)律

將裝有砝碼的試管用細(xì)線套住,把試管吊起,移動線套的位置,使試管處于水平,分別用直尺量出重心位置到管底的距離和砝碼上端到管底的高度,數(shù)據(jù)如表1.

圖1

我們發(fā)現(xiàn)裝入砝碼試管重心的變化規(guī)律是先下降后上升(圖1).為了找出這一規(guī)律,我們建立了一個物理模型.

表1

圖2

至此,我們找到了漂浮在水面上試管重心的變化規(guī)律.

(2)探索裝有砝碼試管的浮心的變化規(guī)律

先向試管中裝入適量的砝碼(6個),待試管處于穩(wěn)定平衡后,記下試管浸入水面的位置,然后用直尺量出試管浸入水中的高度,算出浮心的高度,測出與之對應(yīng)的砝碼高度,數(shù)據(jù)如表2,圖像如圖3所示.

表2

圖3

顯然,漂浮在水面上的試管的浮心的變化規(guī)律是一個線性函數(shù).

圖4

(3)通過數(shù)據(jù)處理找出該試管處于臨界平衡位置的砝碼高度

在圖4中,以砝碼高度為橫坐標(biāo),同時以重心高度和浮心高度為縱坐標(biāo),作出重心隨砝碼高度變化的曲線及浮心隨砝碼高度變化的曲線.延長浮心高度曲線并與重心曲線相交,交點所對應(yīng)的橫坐標(biāo)值即為試管處于臨界平衡位置時的砝碼高度.求得 x=2.9 cm.

從理論上看,聯(lián)立(1)、(2)兩式,當(dāng) y=z時,亦可以求出試管處于臨界平衡位置的砝碼高度.

1.2 理論研究

定性解釋:如圖5所示,微風(fēng)使船產(chǎn)生小角度傾斜時,重力和浮力的方向、大小和作用點都沒有發(fā)生改變,重心和浮心的3種位置關(guān)系使船具有3種平衡狀態(tài):依次為不穩(wěn)定平衡、穩(wěn)定平衡、隨遇平衡.當(dāng)船處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時,微風(fēng)使船產(chǎn)生小角度傾斜后重力和浮力的合力矩會加重輪船的傾斜趨勢直至使輪船完全翻倒.

圖5

定量解釋:選船的截面與水面的交線的中線為支點(支點的選擇不影響合力矩;也不影響分析過程中船體翻轉(zhuǎn)方向的判斷),設(shè)支點到浮心的距離為 L,設(shè)支點到重心的距離為 l,則當(dāng)船在微風(fēng)的作用下小角度傾斜時對稱軸方向上重心和浮心的距離差為(L-l),設(shè)船體傾斜的角度為θ,則此時船體受到重力和浮力的合力矩為

方向跟傾斜方向是一致的,所以船會在微風(fēng)的作用下翻沉.

研究結(jié)論:當(dāng)“瓦薩”號的重心在浮心之上時,“瓦薩”號翻倒.

2 一個精確的物理模型

上面的理論研究所建立的是一個簡化的模型.在這個模型中,沒有考慮船的形狀,主要是船的寬度.而事實上,船的穩(wěn)定性是與船的寬度有關(guān)的.為此,我們建立了一個更為精確的模型.在這個模型中,把船的寬度考慮進(jìn)去了.

設(shè)輪船截面寬為2a,截面高為2c,浸入水中的長度為2b.設(shè)想輪船傾斜一小角度θ,如圖6所示.輪船的重心為G,未傾側(cè)前浮心為B0,傾側(cè)后浮心移到 B.如果B在過G的鉛錘線的右方,重力與浮力的力偶矩將使輪船恢復(fù)到原來的正立位置,此時,輪船就是穩(wěn)定的.

圖6

如圖6建立 x坐標(biāo),原點取在水面與過 G點的對稱面對交點.這樣,只要比較 G和B的坐標(biāo),就能判定輪船平衡的穩(wěn)定性.由圖6可知,G點的x坐標(biāo)為

B0的x坐標(biāo)為

于是B點的x坐標(biāo)為

將 xB0代入上式得

穩(wěn)定平衡條件為 xB＞xG,即

又由二力平衡有

得

研究結(jié)果表明,只要輪船寬2a與輪船高2c滿足上述關(guān)系式,即使“瓦薩”號的重心在浮心之上時,“瓦薩”號也不會翻倒.