李 莉， 孫富春， 裴衛(wèi)東

(1.天津師范大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，天津 300387;2.清華大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)系人工智能重點實驗室，北京 100084)

0 引言

由于存在強的柔性模態(tài)，帶撓性附件航天器可以用含小攝動參數(shù)的多時標非線性系統(tǒng)進行描述。由于多時標系統(tǒng)中病態(tài)問題的存在，對其建模與控制比較困難。以往的處理方法通常是忽略較小的時間常數(shù)，對近似模型進行分析和綜合［1－4］。這種方法實際上是僅對系統(tǒng)中呈慢變化部分的狀態(tài)變量保留了小參數(shù)的零階近似，而對系統(tǒng)中呈快變化部分的狀態(tài)變量，不僅忽略了其小參數(shù)的高階近似，也使得它在邊界層內(nèi)的值丟失了主要項，達到失真的程度。采用這種方法設(shè)計控制器，雖然能夠降低控制器的階次和簡化其結(jié)構(gòu)，但是往往不能滿足系統(tǒng)的性能要求，甚至?xí)?dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由于奇異攝動理論能夠描述帶有小參數(shù)的高階微分方程，從20世紀60年代末到70年代初開始，用奇異攝動理論來研究、討論多時標系統(tǒng)的分析和綜合問題成為這一領(lǐng)域的主要方法并逐漸發(fā)展成熟。但是現(xiàn)有的控制策略都需要奇異攝動系統(tǒng)的模型已知，而且多用于線性系統(tǒng)，這在工業(yè)領(lǐng)域有時候很難達到。既然智能控制理論如模糊集和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論已經(jīng)成功用于許多具有不確定性和建模誤差的實際系統(tǒng)［5－6］，它們同樣可以用于模型部分或全部未知的奇異攝動系統(tǒng)控制中。

孫富春及其課題組最早提出了一種模糊奇異攝動模型并在此領(lǐng)域開展了一系列研究工作［7－9］。在給出模糊奇異攝動模型的定義的基礎(chǔ)上，進行了當攝動參數(shù)足夠小時的閉環(huán)穩(wěn)定性分析，并提出了鎮(zhèn)定并行分布式補償控制器，對連續(xù)或離散系統(tǒng)，其控制器增益可以分別歸結(jié)為一組LMI或BMI，后者可以利用迭代LMI方法有效地求解。鑒于模糊奇異攝動模型能夠?qū)⒍鄷r標非線性系統(tǒng)通過隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗卸鄷r標線性系統(tǒng)的插值，適用于多時標線性系統(tǒng)的方法可以通過適當?shù)淖兓糜诜蔷€性奇異攝動系統(tǒng)中。為減少LMI或BMI方法求解控制器的保守性問題，提出一種基于模糊奇異攝動模型的自適應(yīng)控制器，用于存在不確定性的帶撓性附件航天器的跟蹤控制中，采用Lyapunov方法保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果證明，所設(shè)計的控制器能夠獲得較好的跟蹤效果［10－12］。

以上提出的控制方法，絕大多數(shù)要求模糊奇異攝動模型的規(guī)則后件或者部分或者完全已知，這在實際系統(tǒng)中，有時很難達到。為此，本文將進一步深化研究奇異攝動系統(tǒng)的控制問題。當模糊奇異攝動模型的規(guī)則后件參數(shù)完全未知時，提出一種直接型自適應(yīng)控制器，其中狀態(tài)反饋的增益可以在線調(diào)整。最后將此控制器用于后件參數(shù)未知的模糊奇異攝動系統(tǒng)的模型跟蹤控制中，并與初始條件及參考模型相同但后件參數(shù)已知情況下設(shè)計的魯棒控制器相比較，仿真結(jié)果證明了該自適應(yīng)控制器的有效性。

1 問題闡述

設(shè)一大類奇異攝動系統(tǒng)如柔性機械手能夠由以下數(shù)學(xué)模型進行描述:

其中:ri是子系統(tǒng)的相對階rp+1=2。x(t)和z(t)分別是快慢狀態(tài)向量;x(t)=和為控制輸入;fi(x，z)，gij(x，z) 為未知函數(shù);ε是小的正數(shù)。

(1)可以寫成

系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(2)可以建立由一系列“如果－則”規(guī)則描述的模糊奇異攝動模型。假設(shè)第l條規(guī)則如下。

Rl:如果v1是且…且vN是ΨlN，則

給定輸入輸出對x(t)和u(t)，TS模型可以合成為

這里xm(t)∈Rn表示參考模型的狀態(tài)，r(t)∈Rp為有界參考輸入。

定義跟蹤誤差為

控制目標即設(shè)計控制器u(t)，使得被控對象的狀態(tài)x(t)跟蹤穩(wěn)定參考模型的動態(tài)xm(t)，即當t→∞時，e(t)→0。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

由于矩陣Hl和Ll未知，假設(shè)此時的理想控制律為

則可得閉環(huán)系統(tǒng)為

則閉環(huán)系統(tǒng)等價于式(7)，因為式(7)為穩(wěn)定系統(tǒng)，則有當t→ ∞ 時，e(t)→0。

對式(8)求導(dǎo)得

將式(12)代入式(13)，可得

則有

所以式(14)即為

對式(18)求導(dǎo)得

取自適應(yīng)律為

將式(21)、式(22)代入式(20)得

由此得到定理1。

定理1考慮式(3)所示的被控系統(tǒng)和穩(wěn)定參考模型(6)，采用控制律(12)和自適應(yīng)律(21)、(22)，假設(shè)參考輸入r(t)和參考狀態(tài)量xm(t)一致有界，則能夠保證在控制量和輸入信號有界的情況下，當t→∞時，e(t)→0。

證明:由式(23)得，對于任意的 t＞0，有 e(t)，有界。因為xm(t)有界，則X(t)有界。又因為r(t)∈L∞，根據(jù)式(12)得u(t)∈L∞。因此閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界。所以

由式(23)可以得到

因此有e(t)∈L2。

由于小參數(shù)ε的存在，在求解LMI的過程中會存在病態(tài)?？梢粤钍?19)變化為不等式

只要使得公共矩陣P滿足式(26)

討論:設(shè)計參考模型(6)的首要條件是穩(wěn)定，其次需滿足線性矩陣不等式(19)。在參考模型穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，式(19)中的Pε應(yīng)該很容易求得。最后在保證以上兩個基本條件的前提下，可以通過選取不同的參考輸入r(t)和參考模型的矩陣參數(shù)，以達到優(yōu)化跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)性能的目的。例如，可以通過增加矩陣Am特征根的數(shù)值，提高閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

3 仿真驗證

本部分將設(shè)計一種自適應(yīng)控制器，使得即使模糊奇異攝動模型的規(guī)則后件參數(shù)未知，閉環(huán)系統(tǒng)仍然能夠跟蹤穩(wěn)定參考模型的狀態(tài)。假設(shè)該模糊奇異攝動模型由兩條規(guī)則建立，其規(guī)則如下所述。

Rl:如果x1(t)是，則

這里

則可得

假設(shè)隸屬函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)參考模型的參數(shù)為

假設(shè) ε =0.11，求解式(19)得

這里參數(shù) A1，A2，B1，B2未知，需要按照式(12)和式(21)、式(22)設(shè)計控制律和自適應(yīng)律，仿真結(jié)果如圖1～圖5的實線部分所示。為了便于比較，同時假設(shè)模糊奇異攝動模型的參數(shù)已知，對系統(tǒng)設(shè)計魯棒控制器，仿真結(jié)果如圖1～圖5點劃線部分所示。

圖1 跟蹤誤差e1(t)Fig.1 Tracking error of e1(t)

圖2 跟蹤誤差e2(t)Fig.2 Tracking error of e2(t)

圖3 快變量z(t)Fig.3 Fast variable of z(t)

圖4 控制量u1(t)Fig.4 Controller of u1(t)

圖5 控制量u2(t)Fig.5 Controller of u2(t)

從圖1～圖5可以看出，與模糊奇異攝動模型規(guī)則后件參數(shù)已知時采取魯棒控制所得到的仿真結(jié)果相比，采用本文提出的方法使得閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間都略有增加，原因在于本章提出的方法是基于模型規(guī)則后件參數(shù)未知情況下提出的，控制器的增益需要通過自適應(yīng)調(diào)整才能達到穩(wěn)定值。雖然如此，在15 s以后，控制器輸出仍然能夠達到穩(wěn)定，系統(tǒng)的慢狀態(tài)較好地跟蹤了參考模型的狀態(tài)，而快狀態(tài)能夠保持穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本章提出當模糊奇異攝動模型的參數(shù)完全未知情形下的自適應(yīng)跟蹤控制，不需要模糊奇異攝動模型精確已知，控制器的增益值可以在線自適應(yīng)調(diào)整，仿真結(jié)果證明了方法的有效性。

［1］ GAJIC Z，LIM M T.Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications-high accuracy techniques［M］.New York:Marcel Dekker，Inc，2001.

［2］ CHOW J H，KOKOTOVIC P V.A decomposition of nearoptimum regulators for systems with slow and fast modes［J］.IEEE Trans.on Automatic Control，1976，21(5):701-705.

［3］ ZHANG X Y，JIN H Z，ZHANG H P，et al.Robust sliding mode control for a class of uncertain nonlinear singularly perturbed systems［C］//Proc.of the 41st SICE Annual Conference，2002，4:2616-2621.

［4］ LIU H P，SUN F C.Survey of singularly perturbed systems:Theory and application［J］.Control Theory and Applications，2003，20(1):1-7.

［5］ SPOONER J T，PASSINO K M.Stable adaptive controls using fuzzy systems and neural networks［J］.IEEE Transaction on Fuzzy System，1996，4(3):339-359.

［6］ TANAKA K，WANG H O.Fuzzy control systems design and analysis:A linear matrix in equality approach［M］.New York:Wiley-Interscience Publication，John wiley ＆Sons，Inc，2001.

［7］ LIU H P，SUN F C.Controller design and stability analysis for fuzzy singularly perturbed systems［J］.Acta Automatic Sinica，2003，29(4):494-500.

［8］ LIU H P，SUN F C.H2state feedback control for fuzzy singularly perturbed systems［C］//Proc.of the 42nd IEEE conference on decision and control，Maul，Hawali USA，2003:5239-5243.

［9］ LIU H P，SUN F C.Simultaneous stabilization for singularly perturbed systems via linear matrix inequalities［J］.Acta Automatic Sinica，2004，30(1):1-7.

［10］ LI Li，SUN Fuchun.An adaptive tracking controller design for non-linear singularly perturbed systems using fuzzy singularly perturbed model［J］.IMA Journal of Mathematical Control and Information，2009，26(4):395-415.

［11］ LI Li，SUN Fuchun.A reference model based adaptive fuzzy controller for nonlinear dynamic systems［C］//FSKD，2009，4:37-41.

［12］ 李莉，孫富春.自適應(yīng)模糊奇異攝動控制在航天器中的應(yīng)用［J］.電光與控制，2009，16(10):62-65.