張昊 王琪潔 朱建軍 張曉紅

(中南大學地球科學與信息物理學院測繪與國土信息工程系，長沙410083)

最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)組合模型在極移短期預報中的應用
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張昊 王琪潔 朱建軍 張曉紅

(中南大學地球科學與信息物理學院測繪與國土信息工程系，長沙410083)

將ARIMA(P，1，0)模型應用到極移隨機性部分序列的預報中，提出了利用最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)的組合模型來對整體極移序列進行短期預報。并與其他方法對極移1～5天的短期預報精度進行了對比，結(jié)果證明了該模型在極移短期預報上的有效性與優(yōu)越性。

極移;短期預報;最小二乘外推;ARIMA(P，1，0)模型;精度改善

AbstractThe necessity of the short-term prediction of polar motion and the current common prediction approach are discussed.ARIMA(P，1，0)is used in prediction of stochastic components in polar motion before，non a combinational model of least squares extrapolation and ARIMA(P，1，0)is given to forecast the polar motion from one to five day in the future.Through accuracy analysis，the efficiency and superiority of this model is proved.

Key words:polar motion;short－term prediction;least squares extrapolation;ARIMA(P，1，0)model;accuracy improving

1 引言

極移(PM)是指地球瞬時自轉(zhuǎn)軸在地球本體內(nèi)運動而導致極點在地球表面上的位置發(fā)生緩慢變化的現(xiàn)象。對于極移的預報，許多學者建立了各種預報模型對其進行研究［1－8］?？偟膩碚f這些模型都是將極移分成有規(guī)律的確定性部分及不規(guī)律的隨機性部分分別進行預報。極移中有規(guī)律的確定性部分包括極移的長期趨勢(LT)、錢德勒擺動(CW)、周年擺動(AW)和半周年擺動(SAW)。各種預報模型對這部分大都采用最小二乘對已有極移數(shù)據(jù)進行擬合，得出確定性的擬合模型，然后對其進行外推預報。極移中不規(guī)律的隨機性部分是指極移中除去確定性部分而剩余的部分，很多文獻也將之稱為確定性模型殘差，這一部分主要包括極移數(shù)據(jù)中周期低于半年的項及其他高頻擺動項，極移中的這一部分振幅和相位變化極不規(guī)律，具有很大的隨機性，對于這部分的預報不同的模型采用不同的預報方法，主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ANN)模型［2］、模糊推理系統(tǒng)(FIS)［3］、平穩(wěn)自回歸(AR)模型［4］等。極移最終的預報結(jié)果為確定性部分的外推值與隨機性部分的預報值之和?，F(xiàn)代測地技術(shù)對極移的測定精度可達到0.1毫角秒級［4］，而以上方法對極移1～5天的短期預報精度卻遠遠小于這一量級。本文提出利用最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)組合方法對極移進行短期預報，經(jīng)過實驗分析得出:相對于其他方法，該方法對極移1～5天的短期預報精度有顯著地提高。

2 預報方法

利用ARIMA(P，1，0)模型對極移隨機性部分進行預報，利用最小二乘擬合的方法對極移確定性部分進行外推預報。

2.1 最小二乘外推模型

對極移中的確定性部分，用最小二乘外推模型進行外推預報。對于極移的X分量PX和Y分量PY，最小二乘外推模型的數(shù)學表達式為［5，6］:

其中Ax、Bx表示極移X序列模型中LT參數(shù)，C1x、C2x表示極移X序列模型中SAW參數(shù)，D1x、D2x表示極移X序列模型中AW參數(shù)，E1x、E2x表示極移X序列模型中CW參數(shù);PSA表示SAW周期，在擬合中取PSA=0.5年;PA表示AW周期，在擬合中取PA=1年; PC表示CW周期，在擬合中取PC=1.183年;t為序列的UTC時間，在進行擬合時單位換算為年。同樣對于極移Y序列模型，各對應參數(shù)表示含義與X序列模型一樣。

模型中各參數(shù)的求解是通過對已有極移數(shù)據(jù)序列進行最小二乘擬合而得到的。如圖1(a)為1990-01-01—2010-11-23日的PX原始觀測序列，圖1(b)為該段時間內(nèi)根據(jù)式(1)而得到的PX的最小二乘擬合序列，即極移觀測序列中確定性部分序列。

圖11990 -01-01—2010-11-23PX序列Fig.1Observed series and fitted series of PX from 1990-01-01 to 2010-11-23

2.2 ARIMA(p，1，0)模型

ARIMA模型全稱為求和自回歸移動平均模型。該模型實質(zhì)是d階差分運算和ARMA(p，q)模型的結(jié)合。模型參數(shù)中d表示對原始時間序列進行差分的階數(shù)，p為AR模型階數(shù)，q為WA模型的階數(shù)。ARIMA(p，d，q)進行預報的基本思想是:先對原始時間序列進行d階差分，然后對差分后的時間序列運用ARMA(p，q)進行預報，最后對預報值進行差分逆運算得到原始時間序列的預報值［9－11］。

圖2(a)為1990-01-01—2010-11-23日PX確定性模型殘差序列，即PX中隨機性部分，它是由原始觀測序列與最小二乘模型擬合序列相減而得到。由圖2(a)可以看出，模型殘差序列兩端波動較大，中間比較平緩，這是由擬合模型的本身性質(zhì)而導致的:擬合模型在對原觀測序列進行擬合時，在數(shù)據(jù)兩端是發(fā)散的。本文在對該部分利用ARIMA進行預報時，取d=1，即對確定性模型殘差序列進行一階差分(圖2(b))。

對于ARMA(p，q)模型，當p=0時，模型可表述為MA(q)，即q階移動平均模型;當q=0時，模型可表述為AR(p)，即p階自回歸模型。對于一個時間序列，判斷符合哪個模型，可借助該時間序列的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)，判定準則如表1［12］。

對模型殘差一階差分序列分別求時間延遲為1～40天的自相關函數(shù)與偏相關函數(shù)的結(jié)果見圖3。

從圖3可以發(fā)現(xiàn)對于PX序列，其確定性模型殘差一階差分序列的自相關函數(shù)具有拖尾性，偏相

圖21990 -01-01－2010-11-23PX序列Fig.2Residual series of fitting model and the first order differenced series from 1990-01-01 to 2010-11-23

關函數(shù)具有截尾性，故可采用AR(p)模型進行預報，即q=0。

AR(p)模型的數(shù)學模型為:

式中，zt(t=1，2，3，…，n)表示時間序列，在實際預報中代表確定性模型殘差一階差分序列。φ1，φ2，…，φp為模型參數(shù)，at表示白噪聲，p為模型階數(shù)。對于模型階數(shù)p的確定，采用最終預報誤差準則，其數(shù)學表達式為:

表1 時間序列模型判定準則Tab.1Judgement criterion of time series model

圖3 差分序列時間延遲為1～40天的自相關函數(shù)與偏相關函數(shù)Fig.3Autocorrelation and partial correlation function of the difference series in time－delay from 1 to 40 days

在實際預報中，Mp是用AR(p)模型擬合zt(t= 1，2，3，…，n)序列的剩余均方差。當p=1，2，…，N時使FPE(p)達到最小時的p取作模型的階。對AR模型參數(shù)φ1，φ2，…，φp的求解，采用李文遜［13］遞推算法。

對于PX確定性模型殘差序列，取參數(shù)d=1，q =0，即ARIMA(p，1，0)進行預報;PY序列與PX序列具有同樣的性質(zhì)，對于其確定性模型殘差序列同樣采用ARIMA(p，1，0)進行預報。

2.3 精度評定指標

采用均方誤差(RMSE)作為精度評定指標，其計算式為:

其中，Pj為j點的預報值，Oj為j點的實際值，i為預報跨度，RMSE－i為預報跨度為i的均方誤差。

3 實驗分析

為檢驗最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型在極移短期預報上的有效性與優(yōu)越性，用本文提出的方法與極移預報的其他方法進行對比，即在相同的特定時間段內(nèi)做跨度1～5天的極移短期預報，然后分別統(tǒng)計其預報精度。

如表2，方法一為最小二乘外推與AR(p)組合模型［4］，方法二為本文提出的最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型，預報精度統(tǒng)計為2000年1月1日至2010年11月23日的統(tǒng)計值。其中極移綜合預報精度由式(7)計算:

表21 －5天預報精度統(tǒng)計(單位:mas)Tab.2Comparison of prediction accuracy from 1 to 5 days(unit:mas)

從表2可以看出，本文提出的最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型相對于最小二乘與AR(p)組合模型在極移短期預報精度上有較顯著的改善。尤其是對于跨度為1天的預報，其精度改善達到近38%。隨著跨度增加，精度改善的強度也在減弱。

另外我們還將本文提出的模型與最小二乘外推與ANN組合模型進行了對比。Schuh是對1999年到2000年內(nèi)700個預報值作的精度統(tǒng)計［4］，并且只給出了極移綜合預報精度，為使實驗對比更加客觀，我們利用本文提出的方法與其進行對比時，精度統(tǒng)計也為相同周期內(nèi)的同樣個數(shù)的預報值。兩種方法1－5天短期預報精度統(tǒng)計結(jié)果見表3。

表3 在1999—2000時間段內(nèi)1～5天預報精度統(tǒng)計(單位: mas)Tab.3Comparison of prediction accuracies from 1 to 5 days in the future between this approach and Schuh’approach during 1999—2000(unit:mas)

從表3可以看出，本文提出的方法相對于Schuh提出的模型在極移1～5天的短期預報精度上也有一定的改善，只有跨度為4天的預報值綜合精度與Schuh的一樣，而其他跨度均高于Schuh的預報精度。

4 總結(jié)與展望

利用最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型對極移進行短期預報，其中對極移的確定性部分，采用最小二乘外推模型進行預報，而對極移隨機性部分的預報方法利用ARIMA(p，1，0)對極移隨機性部分進行預報。實驗分析可以發(fā)現(xiàn)，本文的這一嘗試在極移短期預報中具有有效性和優(yōu)越性。

在實驗中發(fā)現(xiàn)隨著預報跨度的增加，本文的預報方法相對于另外兩種方法對預報精度的改善強度在逐漸減弱，甚至在10～30天的短期預報中，其預報精度并不如另外兩種方法，這說明了本文的預報方法只適合于極移短期預報。

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APPLICATION OF COMBINATIONAL MODEL OF LEAST SQUARES EXTRAPOLATION AND ARIMA(P，1，0)IN SHORT-TERM PREDICTION OF POLAR MOTION

Zhang Hao，Wang Qijie，Zhu Jianjun and Zhang Xiaohong
(Department of Geomatics Engineering，Central South University，Changsha410083)

P207

A

1671-5942(2011)03-0106-04

2011-02-12

國家自然科學基金委員會與中國科學院天文聯(lián)合基金(10878026);中南大學研究生學位論文創(chuàng)新基金

張昊，男，1987年生，碩士研究生，主要研究方向為GPS變形監(jiān)測及現(xiàn)代測量數(shù)據(jù)處理.E－mail:zhanghao198706@gmail.com