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一類帶移民的二次加權(quán)分枝模型

2011-09-26 09:10:10張紅霞李俊平
統(tǒng)計與決策 2011年17期
關(guān)鍵詞:易知馬爾可夫分枝

張紅霞,李俊平

1 模型建立

馬爾可夫過程是一類極為重要的隨機過程,是解決存儲問題、排隊問題、人口問題、風(fēng)險問題等等的有效的數(shù)學(xué)工具。而馬爾可夫分枝過程又是馬爾可夫過程的重要分支,在排隊論、生物學(xué)、物理學(xué)等等中具有非常廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典馬爾可夫分枝過程已得到廣泛研究,它的最基本的性質(zhì)就是分枝性,直觀的說,分枝性就是系統(tǒng)中不同粒子之間是相互獨立、互不干擾的。然而,在大多數(shù)現(xiàn)實情況中,不同粒子之間往往不是相互獨立的,而是密切相關(guān)的,因此很多學(xué)者對經(jīng)典馬爾可夫分枝模型進(jìn)行了多種形式的推廣。如Pakes和Tavare[1]、Li.J.P和Chen.A.Y.[2,3]等等.本文是在前人工作的基礎(chǔ)上推廣了模型,同樣具有相當(dāng)重要的研究意義。

針對于移民狀態(tài)下,建立以下分枝模型:

定義 1.1 一個 q-矩陣 Q={qij;??i,j?∈ Z+}被稱為 QWBI-q-矩陣,如果

在本文中,Z+={ }0,?1,?2… ,QWBI-q-矩陣:帶移民的二次加權(quán)q-矩陣;QWMBPI:帶移民的二次加權(quán)馬爾可夫分枝過程

定義1.2一個QWMBPI就是一個Z+-值的連續(xù)時間參數(shù)的馬爾可夫鏈,其轉(zhuǎn)移函數(shù)P(t)={pij()t;??i,j∈ Z+} 滿 足Kolmogorov向前方程:P'(t)=P(t)Q且Q形如(1.1).

分別表示平均出生率,移入率,死亡率。

2 吸收概率

設(shè) ??{X(t);?t≥ 0} 是給定的 WBI-q-矩陣 Q 的(唯一的)WMBPI,顯然0為吸收狀態(tài).

為 ??{X(t);?t≥ 0}的吸收時刻,對 ?i≥ 1,有pi(τ0<∞)表示粒子從狀態(tài)i出發(fā),而被吸收的概率,即到達(dá)狀態(tài)0的概率。由[4]及式(1)易知狀態(tài)集{1,2,…}構(gòu)成一個連通類,所以對?i≥1,要么ai0=1,要么ai0<1.

由文獻(xiàn)[1,5]易知下面的引理2.1成立.

x*i=qi0=0(0 ≤ xj≤ 1?,?i?≥ 1)的最小解.

下面的定理2.2.利用引理2.1得到了吸收概率ai0=1(?i≥1)的充分必要條件以及在三種情況下的表達(dá)式。

定理2.1記s0為方程 B(s)+s?A(s)=0在[0,1]內(nèi)的最小根,q為方程B(s)=0在[0,1]內(nèi)的最小根,若定義

對?i≥1,ai0=1當(dāng)且僅當(dāng)mb≤b0,J=+∞

而且

①若mb≤b0,J=+∞,則對?i≥1,有

②若mb≤b0,J<+∞,則對?i≥1,有

③若b0≤mb≤+∞,則對?i≥1,有

證明對?i≥1,令

由[6](4)知:F(s)<∞,由[7]和[6]知,對 ?s∈[ )0?,1 ,有

當(dāng)mb≤b0,J=+∞時,對?s∈[ )0?,1,?i≥ 1,解(6)得:

當(dāng) J=+∞時,必有ai0=1,否則若ai0<1,則在(7)兩端令s↑1,右端趨于-∞,而左端非負(fù),因此矛盾。

當(dāng)mb≤b0,J<+∞時,由 J的定義知,當(dāng) J<+∞時有,對 ?s∈i≥ 1,由(7)知

在(8)中令 s↑1,得,

則對 ?i≥1,有,

因此由引理 2.1 知:ai0≤ xi(i≥ 1).

當(dāng)b0<mb≤+∞時,易知,

(mb-b0)+ma>0,0<s0<q<1.由[7]知:

在(10)中令 s=q,則

因 此 ai0≤qi<1,且 ai0=qi當(dāng) 且 僅 當(dāng) a0=0.對?s∈(q,1)有

所以ai0≤qi.對?s∈[ )0?,s0

所以ai0≥si0.因此 si0≤ai0≤qi<1.

綜上所述,對 ??i≥1,ai0=1當(dāng)且僅當(dāng) mb?≤b0,J=+∞ .

本文討論的這類分枝模型.得到了馬爾可夫分枝過程在狀態(tài)0的吸收概率的表達(dá)式,對研究一些現(xiàn)象如生物繁殖、細(xì)胞癌變、原子分裂等等有重要的意義。

[1]Pakes A.G.Expiosive Markov Branching Processes[J]:Entrance Laws and Limiting Behavior[J].Adv.Appl.Prob.,1993,25.

[2]Chen A.Y.,Li J.P.,Remesh N.I.Uniqueness and Hitting Time of Weighted Markov bran-ching Processes[J].Methodology and Compu-tingin Applied Probability,2005,7.

[3]Li J.P.Markov Branching Processwith I-mmigration and Resurrection[J].Markov Pro-cessesand Related Fields,2006,12.

[4]Anderson W.J.Continuous-Time Markov Chains[M].Berlin:Springer,1990.

[5]Pakes A.G.Absorbing Markov Branching Processes with a State-dependent Immigration[J].Adv.Proc.Appl.,1993,(48).

[6]張紅霞,李樹君,一類帶移民的加權(quán)分枝過程的有關(guān)結(jié)論[J].黑龍江科技信息,2010,(37).

[7]張紅霞,李樹君,一類帶移民的二次加權(quán)馬爾可夫分枝過程[J].科技經(jīng)濟(jì)市場,2010,(3).

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