歐陽(yáng)洪波， 全惠敏 ， 唐 淵 ， 曾業(yè)戰(zhàn)

（1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；3.湖南理工學(xué)院 物理與電子學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414000）

眾所周知，在圖像的成像過(guò)程中總是不可避免地受各種噪聲的影響。因此，圖像去噪是計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖像處理領(lǐng)域中最根本和廣泛的研究方向。而去噪的關(guān)鍵任務(wù)就是去除噪聲的同時(shí)盡可能地保留原圖像的邊緣和細(xì)節(jié)。在變換域去噪過(guò)程中，合理地選取閾值非常重要，其直接影響到去噪效果。1992年，Donoho和Johnstone提出了小波閾值消噪法[1]，利用該方法進(jìn)行圖像去噪簡(jiǎn)單又有效。但Donoho給出的閾值有“過(guò)扼殺”小波系數(shù)的傾向，導(dǎo)致圖像重構(gòu)誤差較大，而且小波變換往往對(duì)點(diǎn)奇異性比較敏感，且對(duì)邊緣方向表達(dá)能力有限。為了克服小波變換的局限性，2002年M.N.Do和Martin Vetterli提出了一種多方向、多分辨率的圖像表示方法，即 Contourlet變換（CT）理論[2-6]。 目前，Contourlet變換在圖像去噪等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。但Contourlet變換不具有平移不變性，在進(jìn)行圖像處理時(shí)會(huì)引入Gibbs效應(yīng)。因此，A.L.Cunha、J.P.Zhou和M.N.Do等于2006年利用非下采樣塔式分解和非下采樣濾波器組構(gòu)造出了非下采樣Contourlet變換[3]（Nonsubsampled Contourlet Transform， NSCT）。

在深入研究NSCT系數(shù)特性的基礎(chǔ)上，采用了自適應(yīng)閾值對(duì)圖像分解后的NSCT系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理，該方法能自適應(yīng)地調(diào)整閾值，從而有效地去除圖像中的噪聲和Gibbs偽影，保留圖像細(xì)節(jié)，獲得了更好的視覺(jué)效果和更高的PSNR值。

1 NSCT子帶自適應(yīng)Bayes閾值圖像去噪方法

1.1 非下采樣Contourlet變換

與CT類(lèi)似，NSCT也是將尺度分解與方向分解分開(kāi)進(jìn)行。非下采樣Contourlet變換分為兩部分：非下采樣的LP（Laplacian Pyramid）分解和非下采樣的 DFB（Directional Filter Bank）分解。首先采用非下采樣塔式濾波器組（Nonsubsampled Pyramid Filter bank，NSPFB）對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解，然后再采用非下采樣方向?yàn)V波器組（Nonsubsampled Directional Filter Bank， NSDFB）對(duì)得到的各帶通子帶圖像進(jìn)行方向分解，從而得到不同尺度、方向的子帶圖像系數(shù)[7-14]。與CT不同的是，NSCT在圖像的分解和重構(gòu)中，取消了對(duì)圖像進(jìn)行上采樣和下采樣操作，使得非下采樣Contourlet變換不僅具有多尺度、多分辨率、良好的空域、頻域局部特性和多方向特性，而且具有評(píng)議不變性。NSCT變換如圖1所示。

圖1 NSCT變換Fig.1 Nonsubsampled contourlet transform

1.2 NSCT子帶自適應(yīng)Bayes閾值圖像去噪的基本思想

圖像去噪的一個(gè)重要任務(wù)就是去除噪聲的同時(shí)盡可能地保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)。在圖像去噪中，對(duì)NSCT系數(shù)（代表含噪圖像經(jīng)過(guò)NSCT后尺度為時(shí)，第方向的系數(shù)）的處理是關(guān)鍵所在，由于待去噪的圖像一般包括4類(lèi)信息，即圖像能量、明顯的邊緣信息、微弱的邊緣信息和噪聲。對(duì)NSCT后的系數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)圖像能量主要集中在低頻子帶，其他的3類(lèi)信息主要集中在高頻子帶中，圖像去噪主要處理后3類(lèi)信息。而后3類(lèi)信息經(jīng)過(guò)NSCT后，分析發(fā)現(xiàn)在NSCT變換域中，明顯的邊緣信息對(duì)應(yīng)的系數(shù)在同尺度下的所有不同方向子帶上都有較大的值；微弱的邊緣信息所對(duì)應(yīng)的系數(shù)幾在同尺度內(nèi)，某些方向子帶上的系數(shù)大，某些方向子帶上的系數(shù)??；而噪聲對(duì)應(yīng)于同一層內(nèi)的所有不同方向子帶中都有較小的值?；趯?duì)這些系數(shù)的觀察，可以根據(jù)NSCT后系數(shù)的特點(diǎn)，不同的子帶必須選擇不同的閾值。子帶系數(shù)的能量近視于系數(shù)系數(shù)的平方，能量越大說(shuō)明輪廓信息越多，采用閾值去噪時(shí)應(yīng)設(shè)置較小的閾值；能量越小說(shuō)明輪廓信息越少，應(yīng)設(shè)置較大的閾值；可以使用能量來(lái)調(diào)節(jié)閾值，同時(shí)，文中所采用的自適應(yīng)Bayes閾值，當(dāng)噪聲方差增大時(shí)，Bayes閾值自動(dòng)增大，當(dāng)噪聲方差減小時(shí)，Bayes閾值也自動(dòng)減小，達(dá)到自適應(yīng)去噪的目的。

1.3 NSCT子帶自適應(yīng)Bayes閾值

NSCT采用具有各向異性的Contourlet基來(lái)捕捉圖像的方向性信息，在將小波域的BayesShrink閾值推廣到NSCT域時(shí)，必須充分利用NSCT自身的這種多方向選擇特性。與小波變換相比，NSCT的方向選擇更加靈活，并且變換域尺度大小與原圖像相同。在相同尺度、方向的情況下，NSCT系數(shù)小于小波系數(shù)。因此，文中提出帶有尺度及方向信息的子帶Bayes自適應(yīng)閾值去噪方法。

用貝葉斯（Bayes）估計(jì)可以得到小波閾值函數(shù)的去噪方法，以下方法是將Chang在2000年提出的BayesShrink閾值估計(jì)方法[15]應(yīng)用于NSCT中。BayesShrink方法是在Bayes準(zhǔn)則下得到的，設(shè)在Bayes風(fēng)險(xiǎn)最小的條件下得到的理想閾值為：

式中：rbayes（t）為 Bayes 風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。

要求出上式中t?的解析表達(dá)式非常困難，且計(jì)算繁瑣，因此一般情況下利用數(shù)值方法求出其近似解:

當(dāng) β∈[0.5， 4]時(shí)，rBayes（與 rBayes（tBayes）相差不到 5%。 而通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)表明，自然圖像各自帶的β取值在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，大致滿(mǎn)足β∈[0.5，4]，因此tBayes的選擇是合理的。從另一方面來(lái)看，該閾值的估計(jì)也符合直觀理解，對(duì)固定的原始圖像，當(dāng)噪聲方差增大時(shí)，tBayes也增大，從而可去除更多的噪聲影響；而當(dāng)噪聲方差減小時(shí)，閾值tBayes也減小，從而保留更多的系數(shù)。

含噪圖像進(jìn)行NSCT的模型為

事實(shí)上，原始NSCT系數(shù)分解后的高能量區(qū)域主要對(duì)應(yīng)劇烈變化的圖像特征，基于這樣的思想，對(duì)BayesShrink方法進(jìn)行自適應(yīng)改進(jìn)，即將Bayes閾值公式（2）改進(jìn)為：

在NSCT中選擇 “maxflat”塔式濾波器進(jìn)行三層分解和“dmaxflat7”進(jìn)行方向?yàn)V波，方向數(shù)分別為 2、4、8時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)c為4 080時(shí)去噪效果最好。

1.4 NSCT子帶自適應(yīng)Bayes閾值算法流程圖

1）對(duì)去噪圖像進(jìn)行NSCT，得到尺度為k時(shí)，第j方向的系數(shù)。

3）按式（6）計(jì)算尺度為k時(shí)，第j方向的NSCT子帶自適應(yīng)閾值函數(shù)。

4）進(jìn)行閾值處理。文中采用硬閾值去噪得到新的非下采樣 Contourlet系數(shù)。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow chart of program algorithm

1.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證文中所提出算法的有效性，選取加有均值為零、方 差 為 15、20、25、30 的 高 斯 白 噪 聲 的 圖 像 Lena、Peppers、Barbara進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。表1給出了文中方法和Contourlet多尺度閾值去噪、Contourlet自適應(yīng)閾值去噪的PSNR值，圖3為方差為25時(shí)Lena、Peppers和Barbara圖像去噪后的局部結(jié)果。由表1可以看出，噪聲較低時(shí)本算法比Contourlet多尺度閾值去噪、Contourlet自適應(yīng)閾值去噪算法得到的PSNR值明顯要高，但噪聲增強(qiáng)后去噪效果變差；由圖3可以看到，在保留圖像細(xì)節(jié)的同時(shí)，該方法有效地去除了發(fā)絲狀的Gibbs失真，在Lena的臉部、辣椒蒂附近、桌子腳周?chē)幮Ч怀?。相?duì)其他方法，幾種圖像中的Barbara去噪效果改善稍差，這與圖像本身特征有關(guān)。

2 結(jié) 論

文中結(jié)合BayesShrink閾值去噪，在研究NSCT特性基礎(chǔ)上，提出了一種基于非下采樣Contourlet子帶自適應(yīng)Bayes圖像去噪方法。利用NSCT平移不變性、多分辨率、多方向的特點(diǎn)，能夠根據(jù)NSCT系數(shù)在各個(gè)尺度各個(gè)方向的能量，自適應(yīng)調(diào)整去噪閾值。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證明，該算法在圖像去噪上能獲得更好的視覺(jué)效果和更高的峰值信噪比。同時(shí)需要指出的是，利用非采樣Contourlet變換雖然能夠取得優(yōu)于基于Contourlet變換的融合效果，但是非采樣Contourlet變換的算法復(fù)雜度更高、計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)，因此如何提高運(yùn)算速度還需要進(jìn)一步的研究。

表1 不同去噪方法去噪PSNR值對(duì)比Tab.1 PSNR with different denosing methods

圖3 圖像 Lena、Peppers、Barbara去噪效果Fig.3 Denoising results for “Lena”image、“Peppers”image、“Barbara”image

[1]Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT，1995，41（3）:613-627.

[2]Do M N，Contourlets V M.A directional multiresolution image representation [C]//International Conference on Image Processing，2002（1）：357-360.

[3]Cunha A L，ZHOU Jian-ping，Do N M.The nonsubsampled contourlet transform:theory，design，and application[J].IEEE Trans.on Image Processing，2006，15（10）:3089-3101.

[4]Duncan D Y，Do M N.Directional multiscale statistical modeling of images using the contourlet transform[J].IEEE Trans Image Proc，2006，15（6）:1610-1620.

[5]Do M N，Vetterli M.Pyramidal directional filter banks and curvelets[C]//Proceedings of International Conference on Image Processing，2001：158-161.

[6]YANG Fan，ZHAO Rui-zhen，HU Shao-hai.Adaptive algorithm for image denoising based on corrlation properties of contourlet coefficients[J].Acta Optica Sinica，2009，29（2）:358-361.

[7]ZHANG Qiang，GUO Bao-long.Remote sensing image fusion based on the nonsubsampled contourlet transform[J].Acta Optica Sinica，2008，28（1）:74-80.

[8]Cunha A L，Zhou J，Do M N.The nonsubsampled contourlet transform:Theory，design，and applications[J].IEEE Trans Image Proc，2006，15（10）:3089-3101.

[9]郭雷，劉坤.基于非下采樣Contourlet變換的自適應(yīng)圖像融合算法[J].西北工業(yè)大學(xué)報(bào)，2009，27（2）:255-258.

GUO Lei，LIU Kun.ApplyingNSCT （Nonsubsampled Contourlet Transform）theory to achieving effective image fusion[J].Journal of Northwestern Polytechnical University，2009，27（2）:255-258.

[10]劉哲.基于非下采樣輪廓小波變換的圖像去噪[J].光電子·激光，2009，20（7）:954-958.

LIU Zhe.Image denoising via nonsubsampled wavelet-based contourlet transform[J].Journal ofOptoelectronics.Laser，2009，20（7）:954-958.

[11]何力，曲仕茹，張大奇.基于非下采樣Contourlet系數(shù)尺度相關(guān)性的圖像增強(qiáng)算法[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，28（1）:42-46.

HE Li，QU Shi-Ru，ZHANG Da-qi.Image enhancement based on inter-scale correlationsofnonsubsampled contourlet coefficients[J].JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversity，2010，28（1）:42-46.

[12]楊鵬.一種基于非下采樣Contourlet變換的子帶自適應(yīng)閾值去噪方法[J].西北大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，40（2）:251-255.

YANG Peng.Image denoising use adaptive threshold by subband in nonsubsampled Contourlet domain[J].Journal of Northwest University：Natural Science Edition，2010，40（2）:251-255.

[13]劉國(guó)金，曾孝平，劉刈.基于非下采樣Contourlet變換和圖正則化去噪[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2010，30（6）:1556-1558.

LIU Guo-jin，ZENG Xiao-ping，LIU Yi.Image denoising based on graph regularization and nonsubsampled Contourlet transform[J].Journal of Computer Applications，2010，30（6）:1556-1558.

[14]陳建軍，田逢春，邱宇，等.基于非下采樣Contourlet和擴(kuò)散的圖像去噪[J].計(jì)算機(jī)工程，2010，36（14）:185-189.

CHEN Jian-jun，TIAN Feng-Chun，QIU Yu，elat.Image denoising based on nonsubsampled contourlet and diffusion[J].Journal of Computer Engineering，2010，36（14）:185-189.

[15]Chang S G，Yu B，Vetterlim M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Trans.Image Proc，2000，9（9）:1532-1546.