王雪青 郭 倩

基于模糊二叉樹模型的高速公路投資項目價值評估

王雪青 郭 倩

高速公路項目投資價值評價是一個非常復(fù)雜的問題,而傳統(tǒng)的評價方法大多依賴于對未來變量的估計,而這種估計大多具有模糊性。針對高速公路項目投資的特點,深入分析高速公路項目評價中的不確定性因素,利用模糊數(shù)表示未來收入的上升和下降幅度,進(jìn)而建立模糊二叉樹模型。實證分析表明投資者可以通過不斷調(diào)整高速公路未來收入變化的模糊數(shù)的左右邊界等變量,逐步調(diào)整其對未來收入的變化預(yù)期,從而合理估計高速公路投資項目的價值。

模糊數(shù);二叉樹;高速公路項目

高速公路項目投資價值評價是一個非常復(fù)雜的問題,而凈現(xiàn)值法等傳統(tǒng)的評價方法又具有很多局限性,如過度依賴未來現(xiàn)金流的估計等,難以準(zhǔn)確評價項目中隱含的眾多期權(quán)。實際上,項目投資的未來收入難以達(dá)到完全精確,但是對未來收入某一變化范圍或幅度的預(yù)測是較為準(zhǔn)確的。因此,將實物期權(quán)評價方法與模糊數(shù)學(xué)的相關(guān)理論相結(jié)合,構(gòu)建模糊期權(quán)評價模型,對高速公路項目價值進(jìn)行準(zhǔn)確評估,可以改進(jìn)和豐富高速公路投資項目的評估手段和方法,進(jìn)一步提升高速公路項目價值評估的準(zhǔn)確性。

二叉樹方法最先由 Cox-Ross-Rubinstein(1979)①J.Cox,S.Ross and S.Rubinstein,“Option Pricing,a Simplified Approach”,Journal of Financial Economics,1979(7)：229-263.提出,該方法簡單易懂,不需要較多的數(shù)學(xué)知識就可以實現(xiàn),因此,二叉樹方法的應(yīng)用范圍非常廣泛,各種改進(jìn)的二叉樹模型也是層出不窮,但是這些方法仍然沒有脫離對未來估計不確定性的依賴。Zadeh(1965)②Zadeh L,“Fuzzy Sets”,Information and Control,1965(8)：338-353.首次提出了帶有隸屬函數(shù)的模糊集的概念,且隨著眾多學(xué)者對模糊數(shù)學(xué)的深入研究 (如,Kaufmann,1975③Kaufmann A,“Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets”,New York:Academic Press,1975.;Nahmias,1978④Nahmias S,“Fuzzy Variables”,Fuzzy Sets and Systems,1978(1)：97-110.;Dubois和 Prade,1988⑤Dubois D and Prade H,“Fuzzy Numbers：An Overview”,Analysis of Fuzzy Information,1988(2)：3-39.),模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)被廣泛用于金融領(lǐng)域的研究中。Lee,Tzeng和Wang(2005)⑥Lee C,Tzeng C and Wang S,“A Fuzzy Set Approach for Generalized Model：An Empirical Analysis of S&P 500 Index Options”,Review of Quantitative and Accounting,2005(25)：255-275.用模糊波動率和模糊無風(fēng)險利率來代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型中相應(yīng)的參數(shù)建立模糊二叉樹模型,研究結(jié)果表明投資者可以根據(jù)其對市場運(yùn)行的判斷調(diào)整三角形模糊數(shù)的左右邊界進(jìn)而調(diào)整其投資組合。目前,利用模糊數(shù)學(xué)方法研究期權(quán)定價的模型并不多,而且模型大多是針對金融期權(quán)的定價,實物期權(quán)的模糊定價模型非常少。

一、高速公路項目的不確定因素

高速公路項目的最大不確定性來源于交通流量的預(yù)測,而預(yù)測對高速公路項目未來收入具有決定性作用。交通流量的基本測量單位是年平均的日交通流量,指一年平均下來每日 24小時通過某一特定地點的車輛數(shù)。該基本測量單位也可轉(zhuǎn)換成其它指標(biāo)。通常規(guī)劃評估以一年為單位,因此交通流量的測量單位亦可直接使用一年觀察到的年交通流量。

雖然每條高速公路規(guī)劃時都有進(jìn)行流量預(yù)測,然而預(yù)測結(jié)果通常存在潛在的缺陷導(dǎo)致預(yù)測失真,如資料質(zhì)量及模型準(zhǔn)確度、高速公路系統(tǒng)穩(wěn)地性、土地使用、履行行為及時間價值等。另外,高速公路建設(shè)項目完成后,政治、社會及經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變動,也可能導(dǎo)致交通流量發(fā)生轉(zhuǎn)變,進(jìn)而導(dǎo)致預(yù)測失真。這些缺陷導(dǎo)致流量預(yù)測的不準(zhǔn)確,最后成為了高速公路項目評估中的不確定因子。

目前,在進(jìn)行交通流量預(yù)測時更多的采用的隨機(jī)過程的方法,假定交通流量服從某一隨機(jī)過程,如布朗運(yùn)動、伊藤過程等,然后根據(jù)歷史數(shù)據(jù)測算模型中的相關(guān)參數(shù),并利用估算的參數(shù)進(jìn)行預(yù)測。這種方法的使用需要極高的數(shù)學(xué)功底和良好的運(yùn)算能力,對這方面的人才的依賴頗為嚴(yán)重。另一方面,這種方法是建立在政治、經(jīng)濟(jì)等環(huán)境因素不變的假設(shè)前提下的,難以針對政治、經(jīng)濟(jì)等定性的環(huán)境因素的改變進(jìn)而改變預(yù)測結(jié)果。因此,利用隨機(jī)方法預(yù)測高速公路交通流量精確性值得懷疑,而且缺乏靈活性,模糊數(shù)學(xué)的方法剛好可以彌補(bǔ)隨機(jī)方法的不足,提升預(yù)測的準(zhǔn)確性和靈活性。

二、模糊數(shù)

另外,三角形模糊書還有一個重要的表示方法。如果三角形模糊數(shù)可以表示成=(f1,f2,f3),那么相應(yīng)的 α截集表示為 A(α)=[(α),(α)]=[f1+α(f2-f1),f3-α(f3-f2)]。

三、基于模糊二叉樹的期權(quán)定價

根據(jù) Cox-Ross-Rubinstein(1979)的理論可知,歐式買入期權(quán)的價格為

其中,K表示執(zhí)行價格;S(0)表示潛在資產(chǎn)的初始價格;u=d-1=exp(σ Δt),σ潛在資產(chǎn)的波動性;Δt表示二叉樹模型的每個階段的時間間隔;Pu,Pd表示風(fēng)險中性概率下,潛在資產(chǎn)價格上升和下降的概率,由下列公式結(jié)算得到,

為了進(jìn)一步計算方便 ,將公式 (3)重新表述為 A2×2x2×1=b2×1。

根據(jù)上術(shù)公式,在模糊的模架下,歐式買入期權(quán)的計算價格的計算過程如下。

在得到上述變量的模糊表達(dá)式后,將λ1和λ2看做未知變量,然后最優(yōu)化α截集的左邊界和右邊界,可得

當(dāng)α=1時,上述求解結(jié)果恰好等于公式 (2)的求解結(jié)果,這也進(jìn)一步驗證了模型的準(zhǔn)確性。

將 Pu(α)和 Pd(α)的求解結(jié)果帶入公式 (2)即可得到多期二叉樹模型的模糊定價公式。當(dāng) N=1,且假定潛在資產(chǎn)價格下降時期權(quán)價值等于 0,可得歐式買入期權(quán)的模糊二叉樹定價公式為

四、實證分析

(一 )項目介紹

為了不斷完善我國公路網(wǎng)干線骨架,促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)、平穩(wěn)發(fā)展,X市政府于 1995年提出修建某高速公路 (以下記為 JS高速公路),并對項目進(jìn)行了充分的前期調(diào)研和技術(shù)經(jīng)濟(jì)論證,上報了可行性研究報告,交通部于 1996年正式批準(zhǔn)該項目建設(shè),于 1997年正式批準(zhǔn) JS高速公路初步設(shè)計。JS高速公路工程項目預(yù)期分為兩期建設(shè)。一期工程始建于 1997年,工期三年,其中路基、橋梁按雙向六車道實施,路面結(jié)構(gòu)按雙向四車道建設(shè),預(yù)留中間兩車道為綠化帶。二期擴(kuò)建工程預(yù)計于一期完成后六年開始建設(shè),當(dāng)年即建成,把中間預(yù)留的兩車道綠化帶改建為行車道,實現(xiàn)雙向六車道。

(二)實證與分析①本實證分析中的所有數(shù)據(jù)均來自《JS高速公路工程可行性研究報告》。

1.確定期權(quán)的到期時間△t。本項目評價的運(yùn)營期取自 2000年初全線通車后至 2019年的 20年計算,因此項目全部評價期為 23年。項目的評價基年為項目開工前一年,即 1996年。而由于二期擴(kuò)建工程預(yù)期于 2006年進(jìn)行建設(shè),故其中有限期美式期權(quán)的期權(quán)執(zhí)行期間為 6年。因此,對該項目的評價的擴(kuò)展時間確定為 6年,即△t=6年。

2.確定項目的貼現(xiàn)率。一般而言,項目的收益率、或貼現(xiàn)率均通過資本資產(chǎn)定價模型 (CAPM)確定,即re=rf+βe(rm-rf),其中,re為權(quán)益成本,即投資者的期望收益率,rf為無風(fēng)險收益率,βe為風(fēng)險系數(shù),rm為市場期望收益率。

按照國外的普遍做法,無風(fēng)險收益率 rf可采用五年期的國債利率 5%為基準(zhǔn)。而市場期望收益率 rm選取 2004-2009年上證指數(shù)的平均收益率 9.7%。另外,由于高速公路項目收益穩(wěn)定,市場風(fēng)險較小,故選取上交所上市的五家高速公路上市公司 2009年的月收益率與上證指數(shù)的月收益率的協(xié)方差與上證指數(shù)的方差之比計算值,然后計算其均值并利用負(fù)債權(quán)益比計算并得到 JS高速公路項目的βe值,進(jìn)而根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型可得 re=8.29%。

3.標(biāo)的資產(chǎn)價值 S的確定。由于 JS公路一期項目已經(jīng)竣工,可以使用一期項目的的相關(guān)收入估算二期項目的相關(guān)收入,并作出相應(yīng)的預(yù)測如表 1所示。

表1 JS高速公路二期工程通行費收入統(tǒng)計表

項目收入的貼現(xiàn)值主要利用現(xiàn)金流貼現(xiàn)方法計算,即

4.投資成本或執(zhí)行價格的確定。為了確定擴(kuò)張期權(quán)的執(zhí)行價格,首先估算二期工程投資額,然后將其折現(xiàn)到 1996年,計算結(jié)果見表 2。其中建筑安裝工程費包括路基、路面、沿線設(shè)施及其它工程費用,工程建設(shè)其他費用包括施工監(jiān)理費、建設(shè)單位管理費、研究試驗費及勘查設(shè)計費等。

表2 JS高速公路項目二期擴(kuò)建工程投資估算表

另外,由于二期擴(kuò)建工程時也有眾多的現(xiàn)金流出,擴(kuò)張期權(quán)的執(zhí)行價格必然等于二期工程投資估算額加上二期擴(kuò)建項目的現(xiàn)金流出現(xiàn)值 7645.17萬元,即執(zhí)行價格 K等于 19338.16萬元。

5.無風(fēng)險收益率的確定。根據(jù)一般做法,使用五年期國債的收益率作為無風(fēng)險收益率,即 r等于 5%。

6.期權(quán)價值的計算。根據(jù) Cox-Ross-Rubinstein(1979)的模型,確定 u和 d分別等于 1.6和 0.6,其中項目投資價值的波動率采用行業(yè)的平均波動率為 30%。

利用上述計算結(jié)果,對期權(quán)價值的評價可以根據(jù)不同的值得到不同的結(jié)果。一般而言,α值可以根據(jù)工程的進(jìn)展以及項目的實際收入估計得到,當(dāng)然,這需要對工程以及項目的相關(guān)收入項目具有較為深入的了解。

根據(jù)α值的取值在 [0,1]之間時,歐式期權(quán)的α截集的左邊界和右邊界分別是 2421.92萬元和108834.47萬元。

傳統(tǒng)的實物期權(quán)定價方法有很多優(yōu)點,如方法較為成熟等,但是其缺點也同樣明顯,如實物期權(quán)模型求解所需的信息是確定的,即對未來現(xiàn)金流預(yù)測的準(zhǔn)確性過度依賴。高速公路項目本身又具有投資大、風(fēng)險高、周期長、不確定因素強(qiáng)等特點,若要將項目的未來收入表示為單一的數(shù)值,就會使得實物期權(quán)這種理論方法的適用性受到局限,從而使得管理者的決策又一次不可避免地被剛性化。因此可以考慮將高速公路未來現(xiàn)金流的變化范圍用模糊數(shù)來表示,將模糊數(shù)學(xué)理論和實物期權(quán)方法有效的結(jié)合起來,構(gòu)建模糊二叉樹模型。利用 JS高速公路項目的實際數(shù)據(jù)驗證結(jié)果表明,投資者可以通過不斷調(diào)整高速公路未來收入變化的模糊數(shù)的左右邊界等變量,逐步調(diào)整其對未來收入的變化預(yù)期,進(jìn)而合理估計高速公路投資項目的價值。

[責(zé)任編輯：邵世友 ]

Investment Evaluation of Expressway Projects Based on Fuzzy Binomial Tree Model

WANG Xue-qing GUO Qian
(School of Management,Tianjin University,Tianjin 300072,P.R.China)

It is a highly complex undertaking to evaluate the invest ment value of express way projects.Traditional evaluation methods rely mainly on the accuracy of the estimation of the future variables. In this paper,the rise and fall of future income is explained by the fuzzy number in light of investment characteristics of express way projects.The empirical analysis using the fuzzy binomial tree model shows that investors can make a reliable evaluation of the investment value of an express way project by constantly adjusting the boundary values of the fuzzy numbers for future income changes.

Fuzzy number;binomial tree;express way project

2010-11-02

山東省軟科學(xué)項目“基于模糊實物期權(quán)的高速公路投資評價方法研究”(2010RKGA1030)。

王雪青,天津大學(xué)管理學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師 (天津 300072);郭倩,天津大學(xué)管理學(xué)院博士研究生 (天津 300072)。