張文彬

（南京理工大學(xué) 泰州科技學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

第一類(lèi)曲面積分計(jì)算法的兩種向量注記

張文彬

（南京理工大學(xué) 泰州科技學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

本文利用微元法,從向量的角度,直觀地分析了第一類(lèi)曲面積分的幾何意義，并給出了該類(lèi)曲面積分計(jì)算公式的兩種注記.

曲面積分；第一類(lèi)；向量；微元法；注記

第一類(lèi)曲面積分計(jì)算法回顧:設(shè)積分曲面∑由函數(shù)z=z(x,y)給出,∑在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,函數(shù)z=z(x,y)在Dxy上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)f(x,y,z)在∑上連續(xù),則曲面積分存在且可轉(zhuǎn)化為二重積分

第一類(lèi)的曲面積分計(jì)算本質(zhì)上是一種以直代曲的想法,即以切平面代替曲面,這種替換是有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義的.如果我們把曲面看成原函數(shù)的話,那么切平面可以看成原函數(shù)的微分,這和我們用微分方程去描述客觀實(shí)際的想法是一致的.例如我們可以通過(guò)一條魚(yú)的鱗片分布來(lái)描述一條魚(yú)的形態(tài),是很直觀有效的.

下面我們給出上述轉(zhuǎn)化的兩種向量注記.為了方便說(shuō)明,我們做如下假設(shè):（1）點(diǎn)(x,y,z)為曲面∑上任一點(diǎn),該點(diǎn)在xOy面上的投影為點(diǎn)(x,y);（2）(△S)∑為曲面∑上包含點(diǎn)(x,y,z)的很小一塊曲面(曲面面積也記成(△S)∑),假設(shè)(△S)∑的在 xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?△S)∑(平面面積也記成(△S)∑);（3）Π為點(diǎn)(x,y,z)處的切平面,假設(shè)曲面△S的面積可有點(diǎn)(x,y,z)處的一小塊切平面(△S)Π代替(切平面面積也記成(△S)Π),即(△S)∑=(△S)Π.(圖 1)

圖1

圖2

圖3

第一種投影法的向量注記.由于曲面(△S)∑很小,(△S)xy為切平面(△S)Π在xOy面上的投影區(qū)域,所以有

其中θ為切平面Π與xOy面的夾角.

切平面Π的法向量為n1=(zx,zy,-1),xOy面n2=(0,0,1),由平面夾角的向量定義得

第二種向量注記利用切平面面積得到.根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,我們得到點(diǎn)(x,y,z)處的兩個(gè)切向量分別為 α1=(△x,0,zx△x)和 α2=(0,△y,0,zy△y),因此點(diǎn)(x,y,z)處的切平面 Π,可有切向量α1和α2張成,根據(jù)向量積的幾何意義得

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))（第六版）[M].高等教育出版社,2007：215-218.

〔2〕華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論 (第三冊(cè))[M].高等教育出版社,2009：225-248.

〔3〕戴爾.沃伯格.微積分(英文版,原書(shū)第八版)[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2004：3.

〔4〕劉秀梅.一類(lèi)問(wèn)題下曲面積分的注釋[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,5（9）：2.

〔5〕J.Marsden,A.Trombra.Vector Calculus(Fifth Edition).New York:W.H.freeman and Company,2003.

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