許文坤，陳云霞，杜 倩，張衛(wèi)國

（華南理工大學 工商管理學院，廣州 510640）

基于擬蒙特卡羅方法的可轉債VaR和ES風險度量

許文坤，陳云霞，杜 倩，張衛(wèi)國

（華南理工大學 工商管理學院，廣州 510640）

文章通過使用隨機Faure序列和方差減小技術并結合Moro算法，提出了基于Faure序列和Moro算法的擬蒙特卡羅（FMQMC）方法?；谠摲椒ǎo出了中國可轉債的風險值VaR和ES的度量模型。最后，選取了燕京可轉債進行了實證分析，從可轉債的VaR和ES估計值、方差以及計算效率幾個方面將該方法與普通蒙特卡羅方法(PMC)進行了比較，結果顯示FMQMC方法在計算燕京可轉債的風險值VaR和ES時不僅方差更小，計算效率更高，而且其估計值也更加接近實際損失。

可轉債風險度量；VaR；ES；擬蒙特卡羅；Faure序列；Moro算法

0 引言

可轉換債券是一種兼具債權性和期權性的混合型金融產品，由于具有籌資和避險的雙重功能，已經成為我國資本市場中一種重要的衍生金融工具。目前國內對可轉債的風險度量方面的研究還很少，從而對它的風險的準確度量具有很強的學術價值和重要現實意義。近年來應用比較廣泛的風險度量方法是VaR和ES，本文綜合考慮了這兩種方法，并將其應用于可轉債風險度量中。

本文使用隨機化的Faure序列并結合Moro算法，對可轉債價格的波動進行模擬，并在此基礎上給出可轉債的風險值VaR和ES計算模型，接著提出了求解風險度量模型的算法步驟，最后結合實證研究，就可轉債的風險值VaR和ES估計值、方差以及計算效率幾個方面與普通蒙特卡羅（PMC）方法進行了比較研究。

1 可轉債的價值構成及其市場風險分析

可轉債融合了股票、債券和期權的特點，因此可轉債價值可以看作普通債券價值B和隱含期權價值C的總和，表示為CB。

設可轉債到期日期為T，可轉債價格變動單位日期為一天，初始時刻為t=0，純債券部分的年利息為I，年限為n，面值為P，無風險利率為r，市場利率為i，標的股票價格為S，T-t為到期期限，σ為股票價格的波動率，X為規(guī)定的執(zhí)行價格。

則普通債券價值為：

期權部分的價值一般根據Black-Scholes公式計算，表示為：

其中

根據公式(1)可以知道可轉債純債券部分價值主要受市場利率、發(fā)行面值、年利息以及發(fā)行年限的影響，由于在可轉債發(fā)行后，除市場利率外，其余參數都是確定的，加上中國的利率市場還沒有完全放開，故短期內純債券部分的價值將可以看作是保持不變的，因此可轉債的市場風險主要表現在隱含期權的部分。期權部分的價值受諸多因素的影響，但在極短時期內，其價值波動主要受可轉債標的股票S的影響。因此可以通過考慮標的股票S的未來價格波動，達到計算可轉債市場風險的目的。

根據期權的價格變動與股票變動的關系，以及對可轉債市場風險的假設，我們得到可轉債價值變動與其標的股票變動的關系，如下公式：

其中，

則

代入δ，Γ值就可以得到相應的△CB=dCB。

2 可轉債的風險值VaR和ES

2.1 可轉債價格波動過程

這里，我們假設可轉債的標的股票S的價格服從幾何布朗運動，也就是滿足：

那么可以得到股票價格為

結合公式(3)，我們可以得到可轉債的價格波動△CB表示為：

其中，d1，Γ的定義如第一節(jié)所述。

2.2 擬蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法作為一種非常有效的數值方法，被廣泛地應用于高維積分等領域，然而該方法產生的是偽隨機數，具有聚集性的特點，而且收斂速度慢。因此本文在計算可轉債風險值VaR和ES的估計值時，考慮使用隨機化的低差異Faure序列來代替?zhèn)坞S機序列，相應的方法稱為擬蒙特卡羅方法。由公式(7)和(8)，模擬可轉債價格波動路徑△CB就如同模擬隨機變量ε，通過使用FMQMC方法來構造隨機變量ε，進而得到模擬的可轉債價格波動路徑。

FMQMC方法中的Faure序列描述如下：

設s為自然數，b是一個素數，令集合Zb={0,1,…,b-1}，則一個s-維Faure序列Fk={x1,x2,…,xs}可通過以下原理構造。

記 k*=(k0,k1,…,km-2,km-1)'，設 C1,C2,…,Cs是 m×k 階矩陣，其中C1為m階單位矩陣，

矩陣C3在Faure序列的構造過程中起到非常重要的作用，黃仿倫證明了C3是m階Pascal矩陣的Cholesky分解，本文利用該結論對Faure序列進行了快速的構造。

在估計可轉債風險值VaR和ES時，需要用到公式(7)中提到的標準正態(tài)分布隨機數ε，而Faure序列構造的是[0,1)均勻分布，因此使用Faure序列在產生隨機數之前必須對其進行轉換，使其滿足標準正態(tài)分布。

本文運用Moro逆變換算法，把[0,1)均勻分布轉換為累積標準正態(tài)分布。該算法將累積標準正態(tài)分布的Y軸分為兩部分進行處理，一為中央部分，即0.08≤u≤0.92，采用Beasley&Springer法；另一為尾端部分，即u<0.08和u>0.92，使用Chebyschev序列。

對中央部分，采用下式進行估計，其中y=u-0.5，且把an，bn的值列于表1。

對尾端部分，則以截斷的Chebyschev數列來計算，其中z=k1[2ln(-ln[0.5-|y|])-k2]，而 cn,k1,k2的值列于表 1。

對于截斷的切比雪夫數列，通過下面的Clenshaw遞推公式可以得到一個有效的估計。令，則C(z)可由下面遞推公式獲得：

表1 Moro算法的系數表

表2 燕京可轉債關鍵參數

Moro算法中只涉及幾個常數，在Matlab中只需要幾行代碼就能完成，實現起來非常簡單。

由于對于給定的k和基底b，得到的Faure序列是固定的，因此必須對其進行隨機化處理，從而構造出低差異隨機序列。首先使用對偶變數法達到減小模擬方差的目的，即對Faure 序列 F1取負，得到新的序列 F2=[F1，-F1]。

再對F2使用Cranley-Patterson變換：

再取Fij3的小數部分，就得到了服從標準正態(tài)分布的隨機 Faure 序列 F={fij}∈(-1,1)s。

因為針對不同部分，Moro算法使用了不同的算法，故該算法對從均勻分布到累積標準正態(tài)分布函數的變換方面具有相當高的準確度。由于尾端分布對可轉債風險值的度量具有相當大的影響，因此運用Moro算法進行可轉債的風險度量更加合適。

2.3 可轉債的VaR和ES定義

VaR(Value-at-Risk)是在一個風險范疇中的一個機構的頭寸在一個給定持有期間內，由于一般的市場運動而降低，帶來損失的統(tǒng)一估計。從金融機構的角度，VaR可以定義為金融頭寸在一個給定時間段上，以一個給定的概率發(fā)生的最大損失。

ES(Expected Shortfall)模型是VaR基礎上的改進模型，它是廣義的一致性風險度量模型。在給定置信水平為α的情況下，對于具有離散型損益分布的可轉債，其ES模型有如下形式：

設 n 為樣本容量，w=int(n(1-α))，{L1,L2,…,Lw}是將可轉債損益序列從小到大的順序排序得出的序列中最小的w個損益。則ES的數學表達式為：

可轉債的VaR和ES可以通過以下方式進行計算。首先，結合公式(3)、公式(7)以及公式(8)，使用FMQMC方法模擬出該轉債的價格波動路徑，得到波動序列 {△CB1,△CB2,…,△CBn}；然后，對該轉債價格的波動序列進行排序；最后，在給定置信水平a的的情況下，第(1-a)n個波動值即為VaR的估計值，而前(1-a)n個波動值的期望水平即為ES的估計值。

3 算法設計

設當前時刻為t=0，考慮可轉換債券下一交易日的風險，使用FMQMC方法，對可轉債標的股價路徑進行模擬，進而求出可轉債在下一交易日的VaR和ES估計值，算法步驟如下：

步驟1 首先使用隨機化的Faure序列產生[0，1)均勻分布的隨機數，再通過Moro算法產生標準正態(tài)分布隨機數ε。

步驟2 重復執(zhí)行K次步驟1，得到隨機數序列εK，其中εK=(ε1,ε2,…,εK)。

步驟3 從當前可轉債標的股票價格S0出發(fā)，利用步驟2中產生的隨機數及公式(6)，模擬出K條股票價格的路徑，用Si表示第i條路徑在下一交易日的股票價格，則可以得到下一交易日的K個價格{S1,S2,…,SK}，通過公式(7)可以得到下一交易日的 K 個價格波動值{△S1,△S2,…,△SK}。

步驟4 根據步驟3生成的價格波動序列及公式(8)，模擬出期權價格的波動序列{△C1,△C2,…,△CK}，也即得到可轉債在下一交易日的價格波動序列{△CB1,△CB2,…,△CBK}，從而得到該轉債價格波動的分布，在給定置信水平α的情況下計算出VaR和ES值。

4 實證應用和結果分析

4.1 數據選擇

本文選取了2002年10月16日發(fā)行的五年期燕京可轉換債券為例，該次發(fā)行的可轉換債券初始轉股價格為X=10.59，面值為P=100，票面年利率為I=1.2%，得到其連續(xù)日利率為 I’=0.0033%.

燕京股票為該轉債的標的股票，其于1997年上市，我們選取1997年7月16日至2006年3月6日的2071個交易日的該股票的收盤價作為歷史樣本。然后用FMQMC方法模擬可轉換債券的價格未來可能發(fā)生的情況來估計2006年3月6日后一天的可轉換債券的風險值VaR和ES。2006年3月6日燕京股票收盤價格為S0=7.520元。

4.2 收益率、波動率以及到期期限

根據所選燕京可轉債的參數，選取無風險年利率為ry=2.65%，得到無風險日利率為r=0.0073%.

圖1 使用FMQMC擬合的股票價格路徑

圖2 使用PMC擬合的股票價格路徑

圖3 使用FMQMC擬合的期權價格波動路徑

圖4 使用PMC擬合的期權價格波動路徑

可轉債標的股價模擬模型中波動率是根據股票的波動率而來的，我們的模型中采用了歷史波動率。選取2006年3月6日前的2071個交易日燕京股票的收盤價作為數據樣本來計算其日收益率標準差，得到其日波動率σ=0.023062，以245個交易日為一年的年收益標準差為 σy=σ 姨2 45=36%。燕京可轉債的到期日為2006年4月19日，則可算得到期期限T-t=0.0734年。

表3 基于PMC方法和FMQMC方法的VaR和ES對比

表4 方差對比

表5 兩種方法的時效分析

4.3 結果分析

運用第二節(jié)介紹的FMQMC方法，按照第三節(jié)提出的算法來計算燕京可轉債的VaR和ES，并將其與運用PMC方法的結果進行比較分析。

首先，使用Matlab編程，分別使用FMQMC方法和PMC方法擬合m=1000條股票路徑進行實證分析。

已經假定在較短的時間內可轉債價格的波動可以由其期權價值的波動近似，我們將上述兩種方法模擬得到的未來1000個△V，分別按照從小到大的順序排列，則在選定置信度為95%下，未來一個交易日的損失風險如表3所示。

2006年3月7日燕京股票的收盤價為7.330元，則實際△S=-0.190，那么實際損失為△V=-0.0650。我們看到實際損失均包含在兩種方法計算得到的ES和VaR估計值內，表明PMC方法和FMQMC方法應用于可轉債市場風險度量中均是有效的。另外，基于FMQMC方法的VaR和ES估計值明顯比PMC方法更接近實際損失，這表明前者比后者更有效。

為了方便對比，分別使用FMQMC方法和PMC方法對燕京可轉債進行500次價格波動模擬，計算出選定置信水平為95%下，相應的VaR和ES值，得到的結果如圖4至圖7所示。

圖4 使用FMQMC計算的VaR

圖5 使用PMC計算的VaR

圖6 使用FMQMC計算的ES

圖7 使用PMC計算的ES

從圖4至圖7，明顯的看出使用FMQMC方法計算得到的VaR和ES估計值的方差更小，且更接近于實際損失值。兩種方法計算出來的VaR和ES的方差如表4所示。

由表4可知，基于FMQMC方法的VaR和ES估計值的方差均小于傳統(tǒng)的PMC方法，該結果顯示，由于使用了低差異的Faure序列，使得擬蒙特卡羅方法的結果相對普通的蒙特卡羅方法方差明顯降低了，減少的方差約為77%?？梢?，FMQMC方法不僅能夠得到比PMC方法更好的估計效果，而且得到的VaR和ES估計值更加貼近實際損失。

同時，對這兩種風險度量方法的計算時間和效率也進行了一個比較，如表5所示。

計算次數為5萬次，由表5可得，由于使用了低差異隨即序列代替了偽隨機序列，使得FMQMC方法在計算速度上要大大地快于PMC方法(本處速度比接近2.27比1)。本次計算使用的計算機平臺的主要參數為Intel公司生產的主頻率為2600 M的 DualCore處理器，內存為2G。

綜合比較兩種算法的計算效率，考慮算法效率的計算公式：效率=1/(計算誤差×計算時間)，這里我們用標準差表示計算誤差，那么在5萬次模擬中，FMQMC的計算效率是PMC的5.25倍。

5 結論

本文使用FMQMC方法，對可轉債的市場風險度量算法進行研究。由于使用了Faure序列和方差減小技術，從而降低了本模型估計結果的方差，同時也提高了算法的計算精度；另外，對Faure序列的隨機化處理避免了Faure序列周期性的問題；再者，基于Faure序列的隨機數生成器運行效率遠高于偽隨機數生成器，使得FMQMC方法比PMC方法更節(jié)省時間；其次，Moro逆變換算法的引入，使得可轉債中風險值VaR和ES度量更加合理；進一步，根據模型的假設以及中國可轉債價值構成的特點，選用了燕京可轉債進行了實證分析，并將FMQMC方法與PMC方法進行了比較，發(fā)現該方法在計算VaR和ES時不僅方差更小，計算效率更高，而且其估計值也更加接近實際損失。

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F830.9

A

1002－6487（2011）04－0124-04

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目(07JA630048)；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-06-0749)

許文坤(1986-)，男，廣東惠州人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

陳云霞(1986-)，女，廣東吳川人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

杜 倩(1985-)，男，黑龍江雙鴨山人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

張衛(wèi)國(1963-)，男，陜西安康人，教授，博士生導師，研究方向：金融工程與決策理論。

（責任編輯/易永生）