趙永

（河南大學環(huán)境與規(guī)劃學院，河南開封475004）

CES生產(chǎn)函數(shù)的貝葉斯估計

趙永

（河南大學環(huán)境與規(guī)劃學院，河南開封475004）

文章通過對CES生產(chǎn)函數(shù)及其幾種參數(shù)估計方法的介紹，借助WinBUGS軟件，用貝葉斯方法對中國農(nóng)業(yè)部門CES生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)進行了估計，并進行了蒙特卡羅統(tǒng)計模擬檢驗。結果說明，參數(shù)估計結果合理；參數(shù)估計過程說明WinBUGS軟件易操作、靈活，而且統(tǒng)計模擬結果的顯示圖文并茂，說明了WinBUGS在應用貝葉斯方法進行計量經(jīng)濟學估計時是一款優(yōu)秀的軟件。

CES生產(chǎn)函數(shù)；貝葉斯；WinBUGS

0 引言

自Arrow等（1961）[1]提出CES（Constant Elasticity Substitution）生產(chǎn)函數(shù)后，鑒于其更一般意義上的表達形式，在經(jīng)濟理論和實踐中得到了迅速而廣泛的研究和應用。由于CES生產(chǎn)函數(shù)強烈的非線性性質，其求解方法也就成為重要的研究內容之一。

對于CES生產(chǎn)函數(shù)，其參數(shù)主要有兩類估計方法：第一類是利用邊際生產(chǎn)力條件，第二類是直接計算方法。由于邊際生產(chǎn)力條件與實際情況有較大距離，這種估計方法并不實用[12]，故一般采用直接計算方法。直接估計CES生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)的方法有很多種，可以大概歸為以下四類：Marquardt[8]提出的非線性最小二乘法，Kmenta[5]提出的Taylor級數(shù)線性化方法，Corbo[4]提出的兩階段方法（Thursby，1980）[10]，以及Chetty[2]、Tsurumi[11]等的貝葉斯方法。其中，Kmenta方法被廣泛應用[4]，而當時受計算條件的限制，CES生產(chǎn)函數(shù)的貝葉斯估計方法沒有被廣泛應用。

本文主要介紹在小樣本條件下借助WinBUGS軟件，方便地運用貝葉斯方法對CES生產(chǎn)函數(shù)進行參數(shù)估計。

1 CES生產(chǎn)函數(shù)的貝葉斯估計方法

貝葉斯方法是基于貝葉斯定理發(fā)展起來的統(tǒng)計分析方法。經(jīng)典統(tǒng)計學方法只利用樣本信息，而貝葉斯分析的基本方法是將關于未知參數(shù)的先驗信息與樣本信息綜合；再根據(jù)貝葉斯定理，得出后驗信息；然后根據(jù)后驗信息去推斷未知參數(shù)[14]。貝葉斯定理可以描述如下：

式中，∝表示成比例。該后驗概率密度集中了總體、樣本和先驗等三種信息中有關參數(shù)的一切信息，而有排除一切與參數(shù)無關的信息之后所得到的結果。先驗信息通過先驗密度進入后驗密度，而所有的樣本信息通過似然函數(shù)進入[13]。

對于規(guī)模報酬不變的兩要素CES生產(chǎn)函數(shù)：

式中，Q是產(chǎn)出；K是資本；L是勞動；γ（>0）是效率參數(shù)；δ(0<δ<1)是份額參數(shù)，它容許資本與勞動的相對重要地位在生產(chǎn)過程中發(fā)生變化；δ和1-δ分別是資本和勞動的生產(chǎn)彈性；ρ(>-1)是替代參數(shù)，替代彈性σ=1/(1+ρ)。

對式（2）兩邊取對數(shù)，引入誤差項ε，并假設K、L是外生變量且獨立于ε，得到[7]：

其中，q=lnQ，k=lnK，l=lnL，α=lnγ。假設ε服從均值為零，方差為τ的正態(tài)分布，記參數(shù)向量θ=(α,δ，β，τ)。則似然函數(shù)為：

其中，μi=α-(1-ρ)ln[δ+(1-δ)e-ρ(ki-li)]。

對于未知參數(shù)的先驗信息p(θ)=p(α，δ，β，τ)，假設α和τ分別服從正態(tài)先驗分布和Gamma先驗分布[7]；對于δ，由于其取值范圍為（0，1），故把該區(qū)間上的均勻分布作為其先驗分布；對于ρ，根據(jù)鄭玉歆等（1999）[16]，中國不同部門的生產(chǎn)彈性值，σ=1/（1+ρ），其范圍大致在0.1和2之間，故?。ǎ?.5，9）區(qū)間上的均勻分布作為ρ的先驗分布。

所以，給定觀測數(shù)據(jù)Q、K、L后，根據(jù)式（1），參數(shù)向量的聯(lián)合后驗概率密度為：

基于式（5），運用積分方法，就可以得到感興趣參數(shù)的后驗密度。比如，如果對參數(shù)α、δ、β感興趣，可以在式（5）中對τ進行積分，得到α、δ、β的聯(lián)合后驗密度。如果僅對δ、β感興趣，可以繼續(xù)對α做積分。如此，可以得到單個參數(shù)的邊緣后驗密度。

由于涉及到后驗分布的多元積分，貝葉斯分析是復雜的[9]，而WinBUGS軟件的應用使復雜的數(shù)值計算問題簡單化，使參數(shù)后驗分布的模擬、初始值的設定等變得非常方便。模型的任何改動，包括先驗和樣本誤差分布的變化，只需改動較少的代碼就可輕易實現(xiàn)。WinBUGS的出色之處就是其靈活性[9]。

2 WinBUGS軟件及CES生產(chǎn)函數(shù)的貝葉斯估計

WinBUGS（Windows版本的BUGS：Bayesian Analysis Using Gibbs Sampling）是一種進行貝葉斯分析的界面友好、操作方便、運用靈活的專用軟件。WinBUGS以馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法為基礎，將所有未知參數(shù)都看作隨機變量；然后對此種類型的概率模型進行求解。它所使用的編程語言非常容易理解，允許使用者直接對研究的概率模型做出說明[15]。其他的貝葉斯分析軟件，如基于Matlab或R等軟件的BACC（Bayesian Analysis,Computation and Communications），BMA（Bayesian Model Averaging）等，對于模型的變動需要進行一些編程，不如Win-BUGS簡單、靈活?！冬F(xiàn)代貝葉斯計量經(jīng)濟學引論》[7]、《應用貝葉斯模型》[3]等書中的分析工具就是WinBUGS。

對于式（3）的CES生產(chǎn)函數(shù)，在WinBUGS中可以用Doodle圖（圖1）或程序兩種方法進行表達。WinBUGS程序如下：

在程序中，a對應于式（3）中的lnγ，sig對應δ，rho對應ρ，yl對應q-l，kl對應k-l，tau對應τ。sig和rho的先驗分布是均勻分布（dunif），a和tau的先驗分布分別是正態(tài)分布（dnorm）和Gamma分布（dgamma）。程序以關鍵字“Model”開始，“～”的意思是服從某種分布，對應于Doodle圖中的實心箭頭，“<-”的意思是被替代，對應于Doodle圖中的空心箭頭。在“～”左邊的量是隨機的，在“<-”左邊的量是確定的。

模型所用數(shù)據(jù)見表1。模型先進行1000次預迭代，以確保參數(shù)的收斂性，再進行10000次迭代。從第1001次開始到10000次迭代的運行結果見表2。從表2中可以看出，a的均值是0.819，95%的置信區(qū)間是（-0.408，1.328），rho的均值是4.549，95%的置信區(qū)間是（0.244，8.748），sig的均值是0.491，95%的置信區(qū)間是（0.024，0.961），tau的均值是3.419，95%的置信區(qū)間是（1.391，6.376）。圖2是對參數(shù)a、rho、sig和tau的后驗概率分布密度的估計。

表1 模型運用數(shù)據(jù)

表2 模型運行結果

對于任何以MCMC為基礎進行的概率模型分析，MCMC模擬的收斂性的判斷是非常重要的一步。在模型針對兩組初始值進行的1000次迭代中，收斂性診斷圖（圖3）中各參數(shù)趨于收斂。

3 討論

基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法的WinBUGS軟件，使復雜的數(shù)值積分簡單化，使參數(shù)先驗分布的設定、初始值的選擇變得方便，使貝葉斯分析模式化。而且，參數(shù)的估計結果和統(tǒng)計模擬檢驗的顯示圖文并茂，對于計量經(jīng)濟學以及其他學科中較復雜函數(shù)的參數(shù)進行貝葉斯估計提供了極大方便。

另一方面，與經(jīng)典統(tǒng)計方法相比，貝葉斯方法是基于先驗信息的，若不加思考地利用貝葉斯方法則不可取。如果存在很強的先驗信息，這時可以應用貝葉斯方法；如果有大量的數(shù)據(jù)和相對較弱的先驗信息，則不可過分強調使用貝葉斯方法。

[1]Arrow K.J.,H.B.Chenery,B.S.Minhas,R.M.Solow.Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency[J].Review of Economics and Statistics,1961,43(5).

[2]Chetty V.K.,U.Sankar.Bayesian Estimation of the CES Production Function[J].The Review of Economic Studies,1969,36(3).

[3]Congdon P.Applied Bayesian Modelling[M].Chichester:John Wiley&Sons,Ltd,2003.

[4]Corbo V.A Search Procedure for Least Squares CES Estimates:A Monte-Carlo Study[J].Southern Economic Journal,1977,43(4).

[5]Kmenta J.On the Estimation of the CES Production Function[J].International Economic Review,1967,8(2).

[6]Koop G.Bayesian Econometrics[M].Chichester:John Wiley&Sons Ltd,2003.

[7]Lancaster T.An Introduction to Modern Bayesian Econometrics[M].Massachusetts:Blackwell Publishing Ltd.,2004.

[8]Marquardt D.W.An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters[J].Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics,1963,11(2).

[9]Meyer R.,Yu J.BUGS for a Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models[J].Econometrics Journal,2000,3(2).

[10]Thursby J.Alternative CES Estimation Techniques[J].The Review of Economics and Statistics,1980,6(2).

[11]Tsurumi H.T.Y.A Bayesian Estimation of Macro and Micro CES Production Functions[J].Journal of Econometrics,1976,4(1).

[12]李子奈.計量經(jīng)濟學——方法和應用[M].北京:清華大學出版社,1992.

[13]阿諾德·澤爾納Arnold Z,著.計量經(jīng)濟學貝葉斯推斷引論[M].上海:上海財經(jīng)大學出版社,2005.

[14]劉樂平，袁衛(wèi).現(xiàn)代貝葉斯分析與現(xiàn)代統(tǒng)計推斷[J].經(jīng)濟理論與經(jīng)濟管理,2004，(6).

[15]吳方衛(wèi).我國農(nóng)業(yè)資本存量的估計[J].農(nóng)業(yè)技術經(jīng)濟,1999，(6).

[16]鄭玉歆，樊明太.中國CGE模型及政策分析[M].北京:社會科學文獻出版社,1999.

C81；O212

A

1002－6487（2011）07－0042-02

國家自然科學基金資助項目（40901284）

趙永（1974-），男，河南上蔡人，副教授，研究方向：可計算一般均衡（CGE）模型和地理信息系統(tǒng)（GIS）。

（責任編輯/易永生）