王玉學(xué)， 魏淑慧， 宋洪才， 郭林濤

( 東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

在對(duì)油田注水管網(wǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算及運(yùn)行優(yōu)化時(shí)，其數(shù)學(xué)模型所涉及的各管道摩阻因數(shù)主要采用管網(wǎng)設(shè)計(jì)時(shí)的原始數(shù)據(jù)[1-2].由于油田注水管網(wǎng)是高壓管道系統(tǒng)，管道直徑相對(duì)較小，運(yùn)輸介質(zhì)是經(jīng)過(guò)處理的含油污水，管道腐蝕較其他系統(tǒng)嚴(yán)重，并且管道鋪設(shè)年代較長(zhǎng)，因此管道摩阻因數(shù)發(fā)生變化.若采用管道鋪設(shè)時(shí)的原始摩阻因數(shù)對(duì)注水管網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行水力計(jì)算，壓力計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果不一致.因此，需要對(duì)油田注水管網(wǎng)的管道摩阻因數(shù)進(jìn)行反演研究.

管道摩阻因數(shù)的反演已取得一些成果[3-7]，主要利用多工況數(shù)據(jù)建立摩阻因數(shù)反演的優(yōu)化模型，利用優(yōu)化算法對(duì)模型求解.無(wú)論是傳統(tǒng)優(yōu)化算法還是智能優(yōu)化算法，都不能保證求得優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解，因此優(yōu)化模型的計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確.在油田生產(chǎn)中，由于多工況數(shù)據(jù)不易獲得，因此多工況優(yōu)化模型計(jì)算結(jié)果還不令人滿意.筆者建立單工況管道摩阻因數(shù)反演的數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型的理論解存在并且唯一，給出求解數(shù)學(xué)模型的高效數(shù)值算法.

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)油田注水管網(wǎng)共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，已知壓力分別為H1,H2,…,Hn；管網(wǎng)共有m根管道，各管道摩阻分別為C1,C2,…,Cm，并設(shè)C=(C1,C2,…,Cm)T；qij為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)流向第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的管道流量；Qi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)流量，Qi已知.

由于連續(xù)性方程組

∑qij+Qi=0,i=1,2,…,n

(1)

中至少有1個(gè)多余的方程可用其余方程線性表示，應(yīng)該將其去掉.為不失一般性，去掉最后1個(gè)方程，則新的連續(xù)性方程為

∑qij+Qi=0,i=1,2,…,n-1.

(2)

根據(jù)編號(hào)順序，若第k根管道的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)為i和j，且i

為了說(shuō)明方便，將方程組寫成矩陣向量形式：

記：q=(q1,q2,…,qm)T，Q=(-Q1,-Q2,…,-Qn-1)T，系數(shù)矩陣為A，顯然A的階數(shù)為(n-1)×m，其中A的元素由計(jì)算機(jī)編程確定.

方程(2)的矩陣向量形式為

Aq=Q.

(3)

記管道鋪設(shè)時(shí)的摩阻為經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ鐲0，利用已知節(jié)點(diǎn)壓力、壓降方程和經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ鐲0可以求出管道經(jīng)驗(yàn)流量q0[8].

尋找能夠滿足方程(2)，又能使‖q-q0‖2達(dá)到最小的q，求出q后，利用已知壓力和壓降方程可以得到管道摩阻因數(shù).以此摩阻因數(shù)計(jì)算節(jié)點(diǎn)壓力與已知壓力相等，且能使得計(jì)算摩阻與經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ柙谀撤N意義下最為接近.因此，該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

(4)

(5)

為了方便利用虧秩最小二乘法求解，需對(duì)所求變量進(jìn)行變形.令q′=q-q0，Q′=Q-Aq0，則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型變成求q′，使得

(6)

若能求出模型(6)的解q′，則可得q=q′+q0，利用已知點(diǎn)壓力和壓降方程可以求出管道摩阻因數(shù)C.

2 模型求解

數(shù)學(xué)模型(6)屬于標(biāo)準(zhǔn)的求最小二乘最小范數(shù)解的問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]證明這類最小二乘最小范數(shù)解是存在并且唯一的.

(7)

(8)

利用奇異值分解求最小二乘最小范數(shù)解的方法，不僅能夠處理秩虧損的最小二乘問(wèn)題，而且對(duì)于方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)、方程的個(gè)數(shù)大于未知量的個(gè)數(shù)、方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)(包括系數(shù)矩陣可逆和不可逆的情況)等能夠求其最小二乘最小范數(shù)解.

利用單工況數(shù)據(jù)反演管道摩阻因數(shù)步驟：

(1)利用已知數(shù)據(jù)確定系數(shù)矩陣A.

(2)利用已知壓力和經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ枰驍?shù)確定各管道經(jīng)驗(yàn)流量q0.

圖1 簡(jiǎn)化理想注水管網(wǎng)

(3)求滿足方程(6)的解q′；此處利用虧秩最小二乘法求解.

(4)令q=q′+q0.

(5)由sij=|Hi-Hj|/|qij|1.852求得sij.

3 實(shí)例計(jì)算

某一理想注水管網(wǎng)由2座注水站、16個(gè)節(jié)點(diǎn)、24條管道、9個(gè)環(huán)構(gòu)成，節(jié)點(diǎn)編號(hào)2和15為泵站所在位置，見(jiàn)圖1.

首先利用實(shí)際摩阻因數(shù)得到各節(jié)點(diǎn)壓力，并將各節(jié)點(diǎn)壓力作為已知數(shù)據(jù)；在實(shí)際摩阻因數(shù)附近人為取定經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ枰驍?shù)，并將經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ枰驍?shù)作為已知數(shù)據(jù).利用文中方法反演得到計(jì)算摩阻因數(shù)(見(jiàn)表1).

表1 理想注水管網(wǎng)摩阻因數(shù)反演結(jié)果

由表1可以看出，計(jì)算摩阻因數(shù)反演結(jié)果優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ枰驍?shù).管道計(jì)算摩阻因數(shù)與實(shí)際摩阻因數(shù)平均相對(duì)誤差為1.96%，管道經(jīng)驗(yàn)?zāi)ψ枰驍?shù)與實(shí)際摩阻因數(shù)平均相對(duì)誤差為5.54%，能夠滿足工程要求.

4 結(jié)束語(yǔ)

建立油田注水管網(wǎng)管道摩阻因數(shù)反演的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的解存在并且唯一，利用奇異值分解和虧秩最小二乘法求解.與優(yōu)化方法相比，此方法只需解1個(gè)方程組，就可以得到計(jì)算摩阻，并且能保證計(jì)算壓力和實(shí)際壓力已知，從而提高計(jì)算速度和反演效果.通過(guò)對(duì)理想管網(wǎng)摩阻反演，說(shuō)明模型的合理性和計(jì)算方法的有效性.