嚴(yán)大虎，紀(jì)志成

(江南大學(xué)，江蘇無(wú)錫214122)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)具備優(yōu)良的低速性能，功率密度大、效率高、體積小、慣性低、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，寬調(diào)速使其適應(yīng)高性能伺服驅(qū)動(dòng)的要求，隨著永磁材料性能的不斷提高和低價(jià)格，PMSM在工業(yè)生產(chǎn)自動(dòng)化領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛［1］。

由于現(xiàn)代控制理論中，對(duì)被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的描述中過(guò)度依賴于數(shù)學(xué)方法，并且無(wú)法高效抑制系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中所遇到的內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾，使之很難推廣應(yīng)用到工業(yè)控制中。因此發(fā)展出了以穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)的H∞控制方法［2］，該方法具有良好的抗干擾能力，這就等同于系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度，但是為了獲取足夠大的穩(wěn)定裕度，就會(huì)損失系統(tǒng)的其他性能。為了解決這些困難，在H∞控制理論的基礎(chǔ)之上發(fā)展出了混合H2/H∞控制方法，該方法較好地解決了系統(tǒng)魯棒性與其他性能要求之間的矛盾［3－5］。

PMSM是一個(gè)非線性、多變量、時(shí)變被控對(duì)象，由于電機(jī)參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)等不確定因素的影響，使得電機(jī)高精度控制較難實(shí)現(xiàn)。反饋線性化控制通過(guò)非線性狀態(tài)反饋和坐標(biāo)變換，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦和全局線性化［6－7］。本文首先采用微分幾何理論，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型變換成線性模型，然后以該線性模型作為被控對(duì)象，考慮電機(jī)實(shí)際運(yùn)行中的外部干擾以及電機(jī)未建模系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，設(shè)計(jì)混合H2/H∞魯棒控制器，并采用Matlab/Simulink仿真平臺(tái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)的抗干擾能力較強(qiáng)，同時(shí)具有良好的穩(wěn)、動(dòng)態(tài)性能。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型及其反饋線性化

本文的研究對(duì)象是表面式PMSM，它是一個(gè)高階、非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，電磁關(guān)系非常復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化PMSM的數(shù)學(xué)模型，做如下假設(shè)［8］:

(1)忽略磁飽和，不考慮鐵心的渦流損耗和磁滯損耗，磁路是線性的;

(2)電機(jī)定子電樞繞組的空載電勢(shì)是正弦波;

(3)定子繞組三相對(duì)稱，各相繞組的軸線在空間上互差120°電角度;

(4)忽略磁場(chǎng)的高次諧波，定子繞組電流在氣隙中只產(chǎn)生正弦分布的磁勢(shì);

(5)永磁體的電導(dǎo)率為零;

(6)轉(zhuǎn)子上沒(méi)有阻尼繞組。

表面式PMSM在d－q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型:

式中:id、iq分別為定子繞組d、q軸電流;ω為轉(zhuǎn)子角頻率;Ls為三相永磁同步電動(dòng)機(jī)d、q軸的主電感;R1是定子電阻;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;p為轉(zhuǎn)子的磁極對(duì)數(shù);β為摩擦系數(shù);J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ψf為轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)對(duì)定子的交鏈。

由式(1)可以看出，PMSM的模型是非線性數(shù)學(xué)模型，本文采用微分幾何線性化方法對(duì)其進(jìn)行精確線性化。首先將該模型轉(zhuǎn)換成仿射非線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，仿射非線性變換的定義如下［9］:

定義1:若變換S:Rn→Rn，S(x)=T(x)+a，T是非奇異線性變換，α∈Rn，則S稱為仿射變換。

由上可得，PMSM的數(shù)學(xué)模型可以變換成如下形式:

1.1精確反饋線性化條件

針對(duì)多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可精確線性化的條件如下［10］:

引理1:給定的仿射非線性系統(tǒng)式(2)，系統(tǒng)在x0點(diǎn)精確線性化問(wèn)題可解的充要條件是滿足:

(1)Di=Span，…，m;s≤i－1}，i=1，2，…，ni為在x0點(diǎn)非奇異的對(duì)合分布;

(2)DimDn(x0)=n。

仿射非線性系統(tǒng)向量相對(duì)階的定義如下:

定義1:給定x0∈X，如果存在x0的一個(gè)鄰域V及整數(shù)向量(r1，…，rm)滿足條件:

(1)LgjLkfhi(x)=0，?x∈V，0≤j≤m，1≤i≤m

及0≤k≤ri－2;

(2)矩陣:

是非奇異的，?x∈V，則稱多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)具有向量相對(duì)階(r1，…，rm)。

由定義1，針對(duì)仿射非線性系統(tǒng)式(2)有:

所以電流環(huán)的相對(duì)階r1=1;又有:

所以速度環(huán)的相對(duì)階為r2=2。又因?yàn)榫仃?

非奇異，可得系統(tǒng)總的相對(duì)階:r=r1+r2+r3，與系統(tǒng)維數(shù)相等，因此該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)精確線性化。

1.2坐標(biāo)變換及控制率求取

引入非線性坐標(biāo)變換z=Φ(x)，其中:

在新的坐標(biāo)系下系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:取控制作用u=A－1(x)［－b(x)+v］，其中u為電機(jī)控制量，u=［u1u2］T，v為虛擬控制量，v=

在控制作用u下，系統(tǒng)可以解耦為如下相互獨(dú)立的線性子系統(tǒng):

PMSM反饋線性化系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于微分幾何反饋線性化PMSM系統(tǒng)框圖

2 H2/H∞控制器的設(shè)計(jì)

2.1 問(wèn)題描述

考慮具有多個(gè)性能指標(biāo)要求的系統(tǒng):

式中:x∈Rn是狀態(tài)向量，u∈Rm是控制輸入，w1、w2∈Rq是兩類不同的外部擾動(dòng)輸入，當(dāng)H2范數(shù)是在隨機(jī)意義下考慮時(shí)，w2是獨(dú)立零均值的白噪聲，w1是區(qū)別于w2的一般意義下的擾動(dòng)輸入，該擾動(dòng)是確定的，但是具有有限能量的。z∞，z2∈Rr分別為衡量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)和H2范數(shù)的受控輸出，A，B，B1，B2，C1，C2，D10，D11，D20，D22是描述系統(tǒng)的已知適維矩陣(注:本節(jié)中所使用的符號(hào)均只在本節(jié)有效)。

圖2 混合H2/H∞標(biāo)準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)框圖

混合H2/H∞控制問(wèn)題就是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制率:

使得對(duì)于有限能量的干擾w1、w2，閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下性能指標(biāo)［4－5］:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值都在左半開(kāi)平面中;

(2)從w1到z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tz∞w1滿足:‖Tz∞w1‖∞＜γ∞;

(3)從w2到z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tz2w2滿足:‖Tz2w2‖2＜γ2。

其中，γ∞為預(yù)先給定的閉環(huán)系統(tǒng)擾動(dòng)抑制程度，γ∞越小，表示系統(tǒng)抑制干擾能力越強(qiáng)，同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度越大，γ2應(yīng)該盡可能小，以保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)、動(dòng)態(tài)性能。則采用如式(10)所示的狀態(tài)反饋控制率的閉環(huán)系統(tǒng)可表示如下:

2.2 混合H2/H∞控制器求解

PMSM復(fù)雜的運(yùn)行工況使其不可避免地受到外部環(huán)境的干擾，主要體現(xiàn)在電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的脈動(dòng)，同時(shí)，繞組電阻也會(huì)隨著電機(jī)溫度的變化而變化，成為電機(jī)模型的一種不確定因素。

在實(shí)際應(yīng)用中，不可能實(shí)現(xiàn)將模型的不確定性和外部干擾與系統(tǒng)的輸出完全解耦，因此設(shè)計(jì)如下H∞魯棒性能指標(biāo)，使干擾對(duì)系統(tǒng)的輸出影響最小:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;

(2)?ε＞0，正定矩陣Q＞0，R＞0和?T＞0，滿足:故取性能指標(biāo)函數(shù):

引理2［3］針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)式(11)和一個(gè)給定的標(biāo)量γ∞＞0，若D22=0，且以下優(yōu)化問(wèn)題:

有一個(gè)最優(yōu)解X、W，則式(11)的狀態(tài)反饋控制問(wèn)題是可解的，且u=WX－1x是式(11)的一個(gè)狀態(tài)反饋H2/H∞控制率。

3 仿真分析

電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)

權(quán)系數(shù):

運(yùn)用LMI工具箱，可求得:

其中:δ(t)=0.2+sin(0.1π)t+2sin(0.2πt)+1.25sin(πt)+0.4sin(5πt)。

在Matlab 7.0/Simulink中搭建系統(tǒng)仿真框圖，仿真設(shè)計(jì)如下:

(1)電機(jī)帶負(fù)載起動(dòng)，附加干擾作用d(t)，d軸電流給定i*d=0，負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl=1 N·m，t=25 s時(shí)，電機(jī)速度給定由ω*=100 rad/s突變到ω*=180 rad/s。

(2)電機(jī)帶負(fù)載起動(dòng)，附加干擾作用d(t)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl=0.5 N·m，速度給定ω*=100 rad/s，d軸電流給定i*d=0，t=25 s時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩由Tl=0.5 N·m突變至Tl=1 N·m。

圖3 速度給定躍變

圖4 負(fù)載躍變

從圖3的仿真結(jié)果可以看出，基于混合H2/H∞控制器的永磁同步伺服系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)、動(dòng)態(tài)性能，可以很好地跟蹤速度給定信號(hào)，電機(jī)帶負(fù)載Tl=1 N·m不變，速度給定出現(xiàn)躍變時(shí)，電機(jī)的速度能夠很快跟蹤給定，且穩(wěn)定后沒(méi)有靜差。當(dāng)系統(tǒng)存在外部干擾時(shí)，沒(méi)有對(duì)電機(jī)速度構(gòu)成明顯的影響，說(shuō)明該系統(tǒng)在能夠保持穩(wěn)定的同時(shí)，可以達(dá)到良好的控制效果，符合H2/H∞控制器的控制特點(diǎn)。

從圖4的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)電機(jī)速度給定保持ω*=180 rad/s不變，負(fù)載躍變時(shí)，有較小的速度降落，并逐漸跟蹤到給定速度，穩(wěn)定后沒(méi)有速度靜差，轉(zhuǎn)矩響應(yīng)快速而穩(wěn)定，轉(zhuǎn)矩超調(diào)小，對(duì)機(jī)械機(jī)構(gòu)的沖擊較小，提高了其工程應(yīng)用的合理性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文首先對(duì)PMSM非線性模型進(jìn)行精確反饋線性化，通過(guò)非線性狀態(tài)變換和反饋控制率的求取，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成線性模型，方便了伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。同時(shí)考慮了電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中可能出現(xiàn)的外部擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了混合H2/H∞控制器，能夠很好地抑制系統(tǒng)的外部干擾，在保持系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)達(dá)到了良好的控制效果。仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案具有很強(qiáng)的抗干擾能力，速度響應(yīng)快，控制精度高，并且易于工程實(shí)現(xiàn)。

［1］ Hao S，Zheng W，Hao M，et al.Simulation and development environment for digital controlled PMSM servo system［C］//Proceedings the First International Conference，ICIRA 2008，5315(2):566－575.

［2］ 梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.

［3］ 吳定會(huì)，李元龍，紀(jì)志成.基于H2/H∞狀態(tài)反饋風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)雙頻環(huán)優(yōu)化控制［J］.太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，2010，31(9):1185－1190.

［4］ 王進(jìn)華.混合H2/H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2004，21(1):45－53.

［5］ 孫宜標(biāo)，金石，王成元.基于線性矩陣不等式的環(huán)形永磁力矩電機(jī)的H2/H∞靜態(tài)輸出反饋控制［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(15):8－14.

［6］ Khorrami F，Krishnamurthy P，Melkote H.Modeling and adaptive nonlinear control of electric motors［M］.New York:Springer，2003.

［7］ Wu F，Zhang X，Ju P，et al.Decentralized Nonlinear Control of Wind Turbine with Doubly Fed Induction Generator［J］.IEEE transactions on power systems，2008，23(2):613－621.

［8］ Moussa M E，Gaber Y，El Atter M，Vector Control Drive of Permanent magnet Motor without a Shaft Encoder［C］//Proc.IEEE Conf.2008:249－254.

［9］ 曾文鋒，李樹(shù)山，王江安.基于仿射變換模型的圖像配準(zhǔn)中的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放［J］.紅外與激光工程，2001，30(1):18－19.

［10］ 曹建福，韓崇昭，方洋旺.非線性系統(tǒng)理論及應(yīng)用(第二版)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2006.

［11］ 俞力.魯棒控制－線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002.