劉宏洋

(黑龍江科技學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院,哈爾濱 150027)

變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法的諧波檢測(cè)

劉宏洋

(黑龍江科技學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院,哈爾濱 150027)

為提高自適應(yīng)濾波算法的收斂速度,并降低其穩(wěn)態(tài)誤差,建立了LMS算法理論最優(yōu)步長(zhǎng)值與誤差信號(hào)和輸入信號(hào)之間的關(guān)系,提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)諧波檢測(cè)算法。該算法的優(yōu)點(diǎn)是:根據(jù)誤差信號(hào)的平方時(shí)間均值估計(jì)來調(diào)節(jié)步長(zhǎng)因子,克服了以往算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段步長(zhǎng)調(diào)整過程中的不足。即使待檢測(cè)信號(hào)的信噪比較低,檢測(cè)過程也具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和保持較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。計(jì)算機(jī)仿真表明,該算法具有更好的收斂精度。

自適應(yīng)濾波;LMS算法;變步長(zhǎng);最優(yōu)步長(zhǎng)

0 引 言

近年來,大量非線性元件的應(yīng)用使得電網(wǎng)諧波污染問題日趨突出,嚴(yán)重威脅著電網(wǎng)的電能質(zhì)量和用戶設(shè)備的安全運(yùn)行,因此有必要對(duì)諧波進(jìn)行消除與抑制,從而提高電能質(zhì)量。

為了消除與抑制諧波,首先對(duì)諧波進(jìn)行檢測(cè)。傳統(tǒng)的固定步長(zhǎng)LMS算法的缺點(diǎn)是收斂速度慢,它克服不了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的固有矛盾。為了解決這一問題,人們提出了各種各樣的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法[1-5]。這些算法的指導(dǎo)思想是:在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),步長(zhǎng)應(yīng)比較大,這使得算法有較快的收斂速度或?qū)r(shí)變系統(tǒng)的跟蹤速度,然后隨著收斂的加深而逐漸減小步長(zhǎng)來減小穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[6]認(rèn)為收斂速度、穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲、計(jì)算復(fù)雜度以及抗噪性能是衡量一種LMS算法優(yōu)劣的四個(gè)重要因素。一種好的 LMS算法應(yīng)該具有好的抗噪性能,即在算法收斂以后,不管主輸入端的干擾噪聲v(n)有多大都應(yīng)保持很小的調(diào)整步長(zhǎng)以達(dá)到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。文獻(xiàn)[4]嘗試將文獻(xiàn)[7-9]提出的算法應(yīng)用到有源濾波器 (APF)中,發(fā)現(xiàn)這些算法沒有改善諧波檢測(cè)的性能,穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲較大。其原因是直接將自適應(yīng)過程提供的某種回饋量作為標(biāo)準(zhǔn)來調(diào)節(jié)步長(zhǎng),即步長(zhǎng)更新標(biāo)準(zhǔn)直接來自受噪聲v(n)污染的瞬時(shí)誤差,而不是實(shí)際跟蹤誤差信號(hào)。

在隨機(jī)信號(hào)處理中常利用某種回饋量的相干平均來進(jìn)行強(qiáng)噪聲背景下弱信號(hào)的提取。根據(jù)該原理,筆者提出的變步長(zhǎng)LMS算法以誤差信號(hào)的平方時(shí)間相干平均估計(jì)和輸入信號(hào)來調(diào)節(jié)步長(zhǎng),這樣就會(huì)使得在噪聲較大和諧波快速變化的情況下,諧波檢測(cè)過程具有較高的收斂精度和較快的響應(yīng)速度。

1 基于LMS算法的諧波檢測(cè)

自適應(yīng)濾波器的原理如圖 1所示,由圖 1得到其迭代公式為:

其中,X(n)和W(n)分別表示時(shí)刻n的輸入信號(hào)矢量和自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù),d(n)為期望響應(yīng), e(n)是誤差信號(hào),μ是控制穩(wěn)定性與收斂速度的步長(zhǎng)因子。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理Fig.1 Sketch of adaptive filter

2 最優(yōu)步長(zhǎng)分析

2.1 最優(yōu)步長(zhǎng)

在進(jìn)行LMS濾波器統(tǒng)計(jì)分析時(shí),使用抽頭權(quán)值誤差向量比抽頭權(quán)值本身更加方便。抽頭權(quán)值定義為

其中,W0表示抽頭權(quán)向量的最優(yōu)維納解。

誤差信號(hào)可以寫成

其中,θ(n)表示額外誤差,θ(n)=UT(n)ε(n); v(n)是主輸入端的附加噪聲。

為了便于分析做以下假設(shè):

(1)獨(dú)立性假設(shè),即輸入信號(hào)U(n)與抽頭權(quán)值W(n)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,滿足

(2)參考輸入信號(hào)為零均值的高斯白噪聲。

(3)主輸入端的附加噪聲v(n)是零均值的高斯白噪聲,且滿足于:

下面求額外均方誤差Jex(n)。由式(3)可知

其中,R=E[U(n)UT(n)],為輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣。

為了獲得理論最優(yōu)值,就需要使Jex(n)最小,式(4)對(duì)μ(n)求偏微分:

2.2 理論分析

在假設(shè)(2)和(3)的前提下,可得表達(dá)式:

式(11)是最優(yōu)步長(zhǎng)的理論值。下面對(duì)這一最優(yōu)值進(jìn)行分析。

(2)在算法收斂以后,在附加噪聲一定的前提下,式(11)的值只是隨著額外誤差的變化而變化,變化幅度很小。這樣就能保持較小的調(diào)整步長(zhǎng),從而有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

(3)在主輸入端,不可避免的會(huì)存在附加噪聲v(n)。由于這一噪聲的存在,就會(huì)引起失調(diào),且噪聲越大,失調(diào)越大。為了減少失調(diào),必須減小步長(zhǎng),式(11)滿足這一條件。

2.3 變步長(zhǎng)算法

根據(jù)式(11)可構(gòu)造一個(gè)新的變步長(zhǎng)算法。令

其中,0<α<1,0<β<1是遺忘因子,用來控制過去信號(hào)對(duì)現(xiàn)在狀態(tài)的影響。

下面分析由式(12～14)組成的步長(zhǎng)更新算法是最優(yōu)的。

其中,e0(n-1)為最優(yōu)維納濾波器產(chǎn)生的估計(jì)誤差,可認(rèn)為它近似等于零。

將式(16)和(17)代入式(14)就可以得到式(11),故認(rèn)為由式(12～14)構(gòu)成的變步長(zhǎng)算法是近似最優(yōu)的。

3 仿真研究

對(duì)畸變情況下的輸入電壓跟蹤效果進(jìn)行分析。所有待分析信號(hào)均采用歸一化處理。

3.1 輸入信號(hào)

設(shè)輸入信號(hào)是周期為0.02 s的方波電壓,采樣頻率為 5 000 Hz。圖 2顯示了文中算法和固定步長(zhǎng)LMS算法在輸入為方波時(shí)對(duì)基波的提取能力。從圖2中可以看出,在初始時(shí)刻,文中算法的收斂速度明顯快于固定步長(zhǎng)LMS算法,當(dāng)算法收斂以后,文中算法的誤差絕對(duì)值明顯小于固定步長(zhǎng)LMS算法。

圖 3是步長(zhǎng)變化曲線,在初始時(shí)刻,為了迅速跟蹤輸入信號(hào),步長(zhǎng)較大。隨著迭代次數(shù)的增加,誤差減小,步長(zhǎng)也減小。這樣就能獲得較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

3.2 幅值和相角突變信號(hào)

在基波檢測(cè)時(shí)信號(hào)的采樣率為fs=5 000 Hz,在諧波跟蹤時(shí)信號(hào)的采樣率為fs=20 000 Hz?；l率為f0=50 Hz,ω0=2πf0,t1=(1:1 000)/fs,t2=(1 001:2 000)/fs。

圖 4是文中算法與固定步長(zhǎng)算法對(duì)于幅值與相角發(fā)生突變的信號(hào)的基波跟蹤效果。從圖 4中可以看出,文中算法在初始時(shí)刻跟蹤速度上明顯快于固定步長(zhǎng)LMS算法。在算法收斂以后,誤差的絕對(duì)值比定步長(zhǎng)算法小一個(gè)數(shù)量級(jí)。在系統(tǒng)受到外界干擾時(shí),能迅速跟蹤信號(hào),具有較好的魯棒性。

圖4 采用LM S算法的基波跟蹤效果Fig.4 Fundamental track performance of LM S

對(duì)比圖 4a和 b可知,固定步長(zhǎng)算法在初始時(shí)刻和信號(hào)發(fā)生突變時(shí)跟蹤過程較長(zhǎng),主要原因是定步長(zhǎng)LMS算法收斂速度較慢。在算法收斂之后,誤差明顯大于文中算法。這是因?yàn)榇怂惴ㄔ谑諗恳院?步長(zhǎng)變化較小,收斂精度較高,具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

3.3 白噪聲

自適應(yīng)濾波器在工作中,主輸入端不可避免的存在干擾噪聲v(n),以前的研究者將自適應(yīng)濾波器應(yīng)用到APF中,仿真分析時(shí)沒有考慮v(n)的影響。圖 5是考慮干擾噪聲v(n)影響時(shí),該文算法與固定步長(zhǎng)LMS算法對(duì)基波的跟蹤能力。仿真條件為:信號(hào)的采樣率為fs=5 000 Hz,基波頻率為f0=50 Hz,輸入電壓信號(hào)混有的白噪聲的方差為σx=0.01,干擾噪聲v(n)的方差為σv=0.002 5。從圖 5中可知,該文算法在初始時(shí)刻能夠迅速跟蹤基波的變化,并且算法收斂以后,基波信號(hào)的誤差絕對(duì)值小于固定步長(zhǎng)LMS算法。

圖5 采用LM S算法的基波跟蹤效果Fig.5 Fundamental track performance of LM S

4 結(jié)束語

在權(quán)值誤差方程的基礎(chǔ)上,通過對(duì)額外均方誤差方程求偏微分,得到了一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)算法。該算法根據(jù)誤差信號(hào)的平方時(shí)間均值估計(jì)和輸入信號(hào)來調(diào)節(jié)步長(zhǎng)因子。仿真結(jié)果表明:該算法在初始時(shí)刻具有較快的收斂速度,算法收斂之后具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。在待檢測(cè)信號(hào)發(fā)生突變時(shí),它能迅速跟蹤,具有較好的魯棒性和較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

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Har monic detection based on variable step size adaptive algorithm

L IU Hongyang
(College of Electric&Infor mation Engineering,Heilongjiang Institute of Science&Technology,Harbin 150027,China)

Aimed at increasing the convergent speed of adaptive filtering algorithm and reducing its steady-state error,this paper describes the development of the relation among theoretical opt imal value of step forLMS algorithm,error signal and input signal and proposes a novel variable step-size LMS algorithm for harmonic detection.This algorithm presents following advantages:performing step size adjustment using the estimation of square of the time-average of error signal makes it possible to eliminate the shortcomings due to the adjustmentof step size using conventional adaptive steady-state process;besides, the resultant detection demonstrate a faster dynamic response and less steady-state offset noise despite lower SNR of the signals to be detected.Some computer simulation shows that this algorithm has a better convergent precision.

adaptive filtering;LMS algorithm;variable step size;optimum step size

T M464

A

1671-0118(2011)02-0133-05

2011-03-04

劉宏洋(1979-),男,黑龍江省雞西人,講師,碩士,研究方向:電力電子與電力傳動(dòng),E-mail:lhy-124@yahoo.com.cn。

(編輯晁曉筠)