錢曉惠，程東旭，趙慧杰，鄭玉暉

（中原工學(xué)院，鄭州450007）

軍費(fèi)開支作為消費(fèi)品的經(jīng)濟(jì)增長模型研究

錢曉惠，程東旭，趙慧杰，鄭玉暉

（中原工學(xué)院，鄭州450007）

在一個(gè)典型的隨機(jī)環(huán)境中，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，考慮到產(chǎn)品產(chǎn)量和資本積累，建立了HJB方程，方程的顯式解表明軍費(fèi)開支會影響長期資本積累和經(jīng)濟(jì)增長率.該模型為減少軍費(fèi)開支對經(jīng)濟(jì)增長的負(fù)效應(yīng)、增強(qiáng)其正效應(yīng)提供了理論依據(jù).

軍費(fèi)開支；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；效用函數(shù)；HJB方程

軍備競賽與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系是國防經(jīng)濟(jì)理論研究的熱點(diǎn)問題.1960年，Richardson提出了一個(gè)經(jīng)典的軍備競賽模型.此后，人們對國防經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的興趣日益濃厚，大量文獻(xiàn)相繼問世.1973年，Benoit著作的出版引發(fā)了軍費(fèi)開支究竟是促進(jìn)還是阻礙經(jīng)濟(jì)發(fā)展的爭論，這一爭論一直延續(xù)到今天；2009年，盧周來指出，在金融危機(jī)背景下，要警惕某些國家通過增加軍費(fèi)開支發(fā)動(dòng)戰(zhàn)爭來轉(zhuǎn)嫁危機(jī)，同時(shí)要繼續(xù)適度提高軍費(fèi)開支、擴(kuò)大內(nèi)需，以此夯實(shí)未來經(jīng)濟(jì)增長的基礎(chǔ)［1］；2011年，王萬珺、陳曉和指出，國防支出與經(jīng)濟(jì)增長之間存在門檻效應(yīng)，國防支出占GDP比例的最優(yōu)規(guī)模由次級門檻值決定［2］.

雖然動(dòng)態(tài)最優(yōu)化是軍備競賽理論的一部分，但它很難考慮到產(chǎn)品產(chǎn)量和資本積累，因而前人把焦點(diǎn)放在了消費(fèi)和軍費(fèi)開支的最優(yōu)分配上.本文采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法證明了在一個(gè)典型的隨機(jī)環(huán)境中軍費(fèi)開支會影響長期資本積累和經(jīng)濟(jì)增長率，并分析了影響的復(fù)雜性，最后給出了乙、丙兩國軍費(fèi)開支對甲國經(jīng)濟(jì)增長影響的動(dòng)態(tài)比較結(jié)果.

1 以軍費(fèi)開支作為消費(fèi)品的經(jīng)濟(jì)增長模型

本文把軍費(fèi)開支看作一種消費(fèi)品，設(shè)甲國的效用函數(shù)U（c（t），m（t），m＊（t），m＊＊（t））是二次可微的凹函數(shù)，其中m（t）、m＊（t）、m＊＊（t）分別為甲、乙、丙三個(gè)國家的軍費(fèi)開支，c（t）為甲國的消費(fèi).假設(shè)甲國從本國的消費(fèi)和軍費(fèi)開支得到的效用都是遞增的，但邊際效用遞減，即U1＞0，U2＞0，U11＜0，U22＜0；甲國從乙國和丙國軍費(fèi)開支得到的效用和邊際效用都是遞減的，即U3＜0，U4＜0，U33＜0，U44＜0；并假設(shè)：

甲國的產(chǎn)出dY由國內(nèi)實(shí)物資本k通過隨機(jī)收益不變的AK型技術(shù)生產(chǎn)，它的隨機(jī)項(xiàng)以dy表示［3］：

dY ＝F（k）dt＋H（k）dy，且F′（k）＞0，F(xiàn)″（k）＜0

其中dy服從均值為0、方差為σ2ydt的獨(dú)立正態(tài)分布，即E（dy）＝0，V（dt）＝σ2ydt.

由于將軍費(fèi)開支作為消費(fèi)品，甲國的預(yù)算約束方程可表示為：

設(shè)乙國軍費(fèi)開支滿足如下隨機(jī)過程：

丙國軍費(fèi)開支滿足隨機(jī)過程：

其中αm＊dt、βm＊＊dt分別是乙、丙兩國軍費(fèi)開支的平均水平；σm＊dz、εm＊＊ds是隨機(jī)項(xiàng)，且E（dz）＝0，V（dz）＝σ2dt，E（ds）＝0，V（ds）＝ε2dt.

假設(shè)隨機(jī)項(xiàng)的協(xié)方差為：

在滿足上述條件的前提下，建立如下最優(yōu)化模型：甲國如何選擇消費(fèi)c（t）、資本積累k（t）、軍費(fèi)開支m（t），使U（c，m，m＊m＊＊）最大，即

其中初始資本存量k（0）給定.

2 模型求解

為了求出模型的顯式解，我們引入值函數(shù)V（k，m＊，m＊＊，t）.若給定指數(shù)貼現(xiàn)－ρt，則可假設(shè)值函數(shù)為：X（k，m＊，m＊＊）e－ρt＝V（k，m＊，m＊＊，t），并定義它的微分算子為：L（X（k，m＊，m＊＊）e－ρt）［4］，從而問題等價(jià)于甲國選擇消費(fèi)和軍費(fèi)開支，使得下式取得最大值：

通過式（3）右邊分別對c、m求偏導(dǎo)數(shù)，得到最優(yōu)性條件為：

式（4）說明甲國由消費(fèi)和軍費(fèi)開支得到的效用在最優(yōu)性條件下是相等的.另外，值函數(shù)必滿足HJB方程［5］：

此外，效用函數(shù)也可以寫成：

猜測值函數(shù)的解可以用下面的形式表示：

式中：δ為待定參數(shù).

定義總消費(fèi)為C＝c＋m，則c＝θC，m＝（1－θ）C.因此可得：

由以上討論，可得資本存量的動(dòng)態(tài)方程為：

dk＝（Ak－C）dt＋Akdy

所以，甲國消費(fèi)的期望增長率和資本存量的期望增長率均為：

由于初始資本存量k（0）已知，則k的解為：

解式（1）、式（2），可得：

3 動(dòng)態(tài)比較

現(xiàn)在我們討論乙、丙兩國軍費(fèi)開支的平均增長率和不穩(wěn)定性對甲國經(jīng)濟(jì)增長的影響.

乙國軍費(fèi)開支的平均增長率對甲國經(jīng)濟(jì)增長的影響為：

這說明如果甲國消費(fèi)的跨時(shí)替代彈性較?。ù螅┑脑?，乙國較高（低）的軍費(fèi)開支的增長會導(dǎo)致甲國經(jīng)濟(jì)增長較快（慢）.

乙國軍費(fèi)開支的不穩(wěn)定性對甲國經(jīng)濟(jì)增長的影響為：

這說明當(dāng)乙國的軍費(fèi)開支不穩(wěn)定性增強(qiáng)時(shí)，甲國消費(fèi)的更大的跨時(shí)替代彈性會導(dǎo)致更快的經(jīng)濟(jì)增長.

丙國軍費(fèi)開支的平均增長率和不穩(wěn)定性對甲國經(jīng)濟(jì)增長的影響同乙國對甲國的影響類似，這里不再重復(fù)討論.

此外，甲國本身產(chǎn)出的不穩(wěn)定性也對經(jīng)濟(jì)增長有一定影響：

4 結(jié) 語

本文在動(dòng)態(tài)規(guī)劃的理論基礎(chǔ)上，將軍費(fèi)開支作為國家的一種消費(fèi)品，建立了經(jīng)濟(jì)增長模型，求出了模型的顯式解.通過對乙、丙兩國軍費(fèi)開支對甲國經(jīng)濟(jì)增長的影響進(jìn)行動(dòng)態(tài)比較，可以把握軍費(fèi)開支和國民經(jīng)濟(jì)的相關(guān)性，為減少軍費(fèi)開支對經(jīng)濟(jì)發(fā)展的負(fù)效應(yīng)、增強(qiáng)其正效應(yīng)提供理論依據(jù)，這對國防政策的制定和國防支出的統(tǒng)籌規(guī)劃具有重要意義.由于將軍費(fèi)開支作為消費(fèi)品有其片面性，在接下來的工作中，我們將討論將軍費(fèi)開支作為投資物品時(shí)對經(jīng)濟(jì)增長的影響.

［1］ 盧周來.從國際比較看軍費(fèi)開支與經(jīng)濟(jì)增長關(guān)系［J］.經(jīng)濟(jì)學(xué)動(dòng)態(tài)，2009（10）：132－137.

［2］ 王萬珺，陳曉和.國防支出與經(jīng)濟(jì)增長均衡關(guān)系的理論和實(shí)證研究［J］.財(cái)經(jīng)研究，2011，37（1）：16－26.

［3］ Eaton J.Fiscal Policy，Inflation and the Accumulation of Risk Capital［J］.Review of Economic Studies，1981，48：435－445.

［4］ 澤夫·司曲斯.隨機(jī)微分方程理論及其應(yīng)用［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1986.

［5］ 龔六堂.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化方法［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2000：185－199.

［6］ 張堯庭，陳慧玉.效用函數(shù)及優(yōu)化［M］.北京：科學(xué)出版社，2000：38－42.

［7］ 劉先忠，胡適耕，劉金山.消費(fèi)的跨時(shí)替代彈性與經(jīng)濟(jì)增長［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，29（3）：107－109.

［8］ 劉成剛，于春明，張令石.論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定投資理論中的應(yīng)用［J］.山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（2）：145－147.

［9］ GONG Liu－tang，ZOU Heng－fu.Military Spending and Stochastic Growth［J］.Journal of Economic Dynamics ＆ Control，2003，28：153－170.

Study on an Economic Growth Model Based on Military Spending as a Consumer

QIAN Xiao－h(huán)ui，CHENG Dong－xu，ZHAO Hui－jie，ZHENG Yu－h(huán)ui
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Suppose that each country’s military spending meet the stochastic process，consider the product output and capital accumulation，using the dynamic programming the HJB equation is established.Through the explicit solution of the equation，military spending will affect the long－term capital accumulation and the economic growth rate.It provides a theoretical basis for reducing the negative effects and enhancing positive effects of the economic development in military spending.

military spending；dynamic programming；utility function；HJB equation

O221.3

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2011.05.010

1671－6906（2011）05－0038－03

2011－08－19

河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目（082100210041）

錢曉惠（1981－），女，河南孟州人，講師，碩士.