焦 佳，高 洋，周慶健

(大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605)

微分方程系統(tǒng)不可積性問(wèn)題研究

焦 佳，高 洋，周慶健

(大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605)

研究了周期系統(tǒng)Laurent多項(xiàng)式型首次積分和有理首次積分的不存在性問(wèn)題。利用Floquet理論，證明了如果系統(tǒng)的特征乘數(shù)是? －非共振的，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近不存在Laurent多項(xiàng)式型首次積分。進(jìn)一步，還在有理函數(shù)空間考慮了這一問(wèn)題，并得到了相應(yīng)的結(jié)果。

Floquet理論;Laurent多項(xiàng)式型首次積分;形式首次積分;有理首次積分

1 自治系統(tǒng)

在物理、力學(xué)、化學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域的各種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，往往歸結(jié)為非線性微分方程。這些方程可分為兩大類:可積的與不可積的。一般說(shuō)來(lái)，隨著時(shí)間的變化，可積系統(tǒng)總是呈現(xiàn)出有規(guī)律的可預(yù)測(cè)的行為;而在很多情況下，不可積系統(tǒng)在其相空間的某區(qū)域上的運(yùn)動(dòng)是無(wú)規(guī)律的和混沌的。長(zhǎng)期以來(lái)，由于解方程的需要，可積性問(wèn)題已變成數(shù)學(xué)和物理學(xué)家所關(guān)心的基本問(wèn)題之一，并得到了很多重要的結(jié)果。近些年來(lái)，隨著人們對(duì)混沌現(xiàn)象越來(lái)越感興趣，對(duì)不可積系統(tǒng)的研究也越來(lái)越多。

考慮如下解析系統(tǒng)

式中，x=(x1，…，xn)∈?n，f(x)=(f1(x)，…，fn(x))。

定義1 單值函數(shù)Φ(x)稱為系統(tǒng)(1)的一個(gè)首次積分，如果Φ(x)沿著系統(tǒng)(1)的任何一條解曲線都是常數(shù)。若Φ(x)是可微的，則可將其寫(xiě)為

式中，＜.，.＞表示歐式空間的內(nèi)積。

對(duì)于給定的系統(tǒng)(1)，在什么樣的條件下系統(tǒng)具有首次積分?除了某些簡(jiǎn)單的情形，這個(gè)問(wèn)題是非常困難的，并且迄今尚無(wú)一種辦法能對(duì)一給定的系統(tǒng)構(gòu)造出首次積分，因此證明系統(tǒng)的可積性是非常困難的。這樣，迫使人們不得不換一個(gè)角度來(lái)證明系統(tǒng)的不可積性，即:如果系統(tǒng)(1)(在某個(gè)函數(shù)空間)不存在任何首次積分，則稱系統(tǒng)(1)(在此函數(shù)空間上)是不可積的。

注1detA≠0，這個(gè)條件是可以去掉的。因?yàn)槭聦?shí)上，不滿足共振條件(3)已經(jīng)保證了這個(gè)條件。

定義2設(shè)K是給定的數(shù)域，αi∈K，{b1，…，bk}是復(fù)向量空間E的一個(gè)有限子集，如果α1b1+α2b2+… +αkbk=0蘊(yùn)含 α1=α2=… =αk=0，則稱b1，…，bk是K －獨(dú)立的。

近年來(lái)，眾多學(xué)者都開(kāi)始關(guān)注這方面的問(wèn)題，先后在解析函數(shù)、有理函數(shù)、多項(xiàng)式和Laurent多項(xiàng)式等函數(shù)空間，對(duì)一般非線性系統(tǒng)、擬齊次系統(tǒng)和半擬齊次系統(tǒng)給出了不存在首次積分的判別準(zhǔn)則。

1983 年，Yoshida［2］利用奇性分析法，根據(jù)Kovalevskaya指數(shù)［3］(以下簡(jiǎn)稱 K － 指數(shù))給出了一類尺度不變系統(tǒng)代數(shù)可積的必要條件。

定理2如果系統(tǒng)(1)是弱代數(shù)可積的，那么所有K－指數(shù)都是有理的。

這個(gè)結(jié)果雖然在當(dāng)時(shí)被人們廣泛地應(yīng)用，但是在1991 年，Kummercite［4］對(duì)于這個(gè)定理給出了一個(gè)反例。進(jìn)而，人們對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行了修正，得到了如下修正后的Yoshida定理［2］。

定理3如果系統(tǒng)(1)是代數(shù)可積的，那么所有K－指數(shù)都是有理的。也就是說(shuō)，如果至少有一個(gè)K－指數(shù)是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)，那么系統(tǒng)不是代數(shù)可積的。

隨后，人們?cè)诓煌暮瘮?shù)空間也考慮了這個(gè)結(jié)果［5－6］。

定理4如果存在一個(gè)平衡ξ使K－矩陣是半單的，且K－指數(shù) ρ1，…，ρn是? －獨(dú)立的(? －

那么系統(tǒng)(1)沒(méi)有任何非平凡的多項(xiàng)式首次積分。進(jìn)一步，如果系統(tǒng)(1)是正半擬齊次的，那么在x=0附近不存在任何非平凡的形式首次積分。

1996 年，Nowicki［8］利用微分代數(shù)理論，對(duì)線性系統(tǒng)

給出了存在形式首次積分和有理首次積分的必要條件。

定理6設(shè)線性系統(tǒng)(2)的矩陣A是半單的。如果特征值λ1，…，λn是? －獨(dú)立的，那么當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(2)沒(méi)有任何非平凡的形式首次積分。另外，如果特征值是獨(dú)立的，那么當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(2)沒(méi)有任何非平凡的有理首次積分。

注2這里稱矩陣A半單是指矩陣A是可對(duì)角化的。

2003年以來(lái)，史少云先后給出了一般非線性系統(tǒng)和半擬齊次系統(tǒng)不存在Laurent多項(xiàng)式首次積分和有理首次積分的判定準(zhǔn)則，見(jiàn)文獻(xiàn)［9－10］。

例1 考慮如下廣義的二維Volterra－Lotka系統(tǒng)第一種判別法:

由定理1可知，如果對(duì)任意k1，k2∈?∪{0}，k1+k2≥1，獨(dú)立的)，那么不存在有理(多項(xiàng)式)首次積分。

受到 Yoshida 工作的啟發(fā)，1996 年，F(xiàn)urta［7］研究了半擬齊次系統(tǒng)的不可積性，利用K－指數(shù)給出了半擬齊次系統(tǒng)不存在解析首次積分的判定準(zhǔn)則。

定理5設(shè)系統(tǒng)(1)是半擬齊次系統(tǒng)，如果其擬齊次截?cái)嘞到y(tǒng)的K－矩陣是對(duì)角的，且它的特征值λ1，…，λn不滿足任何共振等式

那么系統(tǒng)(4)在x=y=0附近沒(méi)有任何非平凡的解析首次積分。

第二種判別法:

系統(tǒng)(4)是負(fù)半擬齊次系統(tǒng)，在指數(shù)sx=sy=1下有二階擬齊次截?cái)啵?/p>

如果ad－bc≠0，則系統(tǒng)(5)有如下形式的特解:根據(jù)定理5，如果

那么系統(tǒng)(4)沒(méi)有非平凡的多項(xiàng)式首次積分。此不等式還可寫(xiě)為

2 非自治周期系統(tǒng)

考慮如下周期系統(tǒng)

其中(t，y)∈S1× ?n(S1= ? /? T)，且f(t+T，y)=f(t，y)。設(shè)y=0是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，即對(duì)所有的 t∈S1都有f(t，0)=0?？蓪⑾到y(tǒng)(6)重寫(xiě)為

式中，A(t+T)=A(t)，g(t，y)是關(guān)于y 的展開(kāi)式中所有高于一次的項(xiàng)的總和，且滿足g(t+T，y)=g(t，y)。

定義3 稱單值函數(shù)Φ(t，y)為周期系統(tǒng)(6)的首次積分，若Φ(t，y)關(guān)于t是T－周期函數(shù)且沿著系統(tǒng)(6)的任何一條解曲線都是常數(shù)。如果Φ(t，y)是可微的，則可將其寫(xiě)為

如果Φ(t，y)可展開(kāi)成關(guān)于y的形式冪級(jí)數(shù)(有理函數(shù))且滿足式(7)，那么稱 Φ(t，y)系統(tǒng)(6)的形式(有理)首次積分。

注3 我們還考慮了系統(tǒng)(6)的Laurent多項(xiàng)式型首次積分，這里，Laurent多項(xiàng)式是指

式中，Φk1，…，kn(t)是關(guān)于 t的函數(shù)，A 是整數(shù)集?n的一個(gè)有限子集。如果Φ(t，y)關(guān)于t是T－周期的可微函數(shù)，且滿足式(7)，那么稱函數(shù)Φ(t，y)是系統(tǒng)(6)的Laurent多項(xiàng)式型首次積分。

根據(jù)定義，常值函數(shù)顯然是系統(tǒng)(6)的首次積分，稱為平凡積分。本文中所說(shuō)積分都是指非平凡的。

那么系統(tǒng)(6)在y=0附近不存在任何非平凡的形式首次積分。

我們主要給出了這個(gè)定理的一個(gè)新的證明［13］且考慮了系統(tǒng)(6)Laurent多項(xiàng)式型首次積分的不存在性［14］，并進(jìn)一步在有理函數(shù)空間考慮了此結(jié)果［15］，得到如下定理:

定理8設(shè)y=0是系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)，若系統(tǒng)(6)的特征乘數(shù)是? －非共振的，即不滿足任何共振條件

由Floquet理論［11］知，存在周期為 T的矩陣函數(shù)B(t)，使得在線性變換

下，系統(tǒng)(6)變?yōu)?/p>

式中，~A是一個(gè)常數(shù)矩陣;h(t，z)是關(guān)于z的展開(kāi)式中所有高于一次的項(xiàng)的總和，且滿足h(t+T，z)=h(t，z)。矩陣~A的特征值λi稱為系統(tǒng)

的特征函數(shù)，矩陣eT~A的特征值μi=eλiT稱為式(8)的特征乘數(shù)。

2003年，李偉顧等人［12］研究了微分同胚和如上周期系統(tǒng)(6)形式首次積分的不存在性。

定理7設(shè)y=0是系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)，如果系統(tǒng)(8)的特征乘數(shù)不滿足任何共振條件:

那么系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)附近沒(méi)有任何非平凡的Laurent多項(xiàng)式型首次積分。

定理9設(shè)y=0是系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)，且μ1，…，μn是線性系統(tǒng)(8)的特征乘數(shù)，如果系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)y=0附近有一個(gè)非平凡有理首次積分，則存在非零整數(shù)向量k=(k1，…，kn)∈?n使得的基本解矩陣為

根據(jù)定理9，周期系統(tǒng)(9)在平衡點(diǎn)附近沒(méi)有任何非平凡的有理首次積分。

3 結(jié)語(yǔ)

介紹了解析系統(tǒng)不可積性的一些判定準(zhǔn)則。針對(duì)已有結(jié)果大多考慮的是自治系統(tǒng)，而對(duì)于非自治的周期系統(tǒng)研究的還很少，這里給出了非自治周期系統(tǒng)不存在Laurent多項(xiàng)式型首次積分和有理首次積分的充分條件。

［1］ POINCARé H. SurI ＇intégrationsdes équations fifférentielles du premier order et dupremier degré I and II Rend［J］.Circolo Mat Palermo，1891，11:193 －239.

［2］YOSHIDA H.Necessary condition for the non － existence of algebraic first integral(Ⅰ，Ⅱ) ［J］.Celestial Mech，1983，31:363－379，381－399.

［3］KOWALEVSKI S.Sur le probleme de la rotation d＇un corps solide autour d＇un point fixe ［J］.Acta Math.，1889，12:177－232.

［4］KUMMER M，CHURCHILL R C，ROD D L.On Kovalevski expoenents［J］.Can.Math.Bull.，1990，33:175－180.

［5］ GORIELY A.Integrability，partial integrability，and nonintegrability for systems of ordinary differential equations［J］.J.Math.Phys.，1996，37:1871 －1993.

［6］SADETOV S T.On resonances of the Kovalevskaya exponents［J］.Math.Notes，1993，54:1081 －1083.

［7］FURTA S D.On non－integrability of general systems of differential equations［J］.Z Angew Math Phys，1996，47:112－31.

［8］NOWICKI A.On the nonexistence of rational first integrals for systems of linear differential equations［J］.Linear Algebra Appl，1996，235:107 －120.

［9］SHI Shaoyun，LI Yong.Non－integrability for general nonlinear systems［J］.Z Angew Math Phys，2001，52:191－200.

［10］SHI Shaoyun.On the nonexistence of rational first integrals for nonlinear systems and semiquasihomogeneous systems［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，335:125－134.

［11］CHICONE C C.Ordinary Differential Equationas with Applications［M］.New York:Springer－ Verlag，1999.

［12］LI Weigu，LLIBRE J，ZHANG Xiang.Local first integrals of differential systems and diffeomorphisms［J］.Z Angew Math Phys，2003，54:235 －255.

［13］JIAO Jia，SHI Shaoyun，XU Zhiguo.Formal first integrals for periodic systems［J］.J.Math.Anal.Appl.，2010，366:128－136.

［14］焦佳，付苗苗，馬勇.周期系統(tǒng)Laurent多項(xiàng)式型首次積分的不存在性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009，47:44－47.

［15］JIAO Jia，SHI Shaoyun，ZHOU Qingjian.Rational first integrals for periodic systems［J］.Z Angew Math Phys，2011，62:233 －243.

Non－integrability of Differential Equation Systems

JIAO Jia，GAO Yang，ZHOU Qing－jian

(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

The nonexistence of the first integrals of Laurent polynomial and the rational first integrals for periodic systems are considered.Using the Floquet theory，that if the characteristic multipliers of the system are ? － dependent，then the system does not have any nontrivial integral of Laurent polynomial in a neighborhood of a constant solution is proved.Furthermore，the previous conclusion in the rational function space is also considered.

Floquet theory;Laurent polynomial first integral;formal first integral;rational first integral

O175

A

1009－315X(2011)05－0472－04

2011－05－25;最后

2011－06－16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872045);大連民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(20096209)。

焦佳(1982－)，女，河南焦作人，講師，博士，主要從事非線性常微分方程研究。

(責(zé)任編輯 鄒永紅)