數(shù)的運算是人們在日常生活中應(yīng)用最多的數(shù)學(xué)知識。因此，它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容。培養(yǎng)小學(xué)生的運算能力一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一，有一定的運算能力也是每個公民具備的基本素養(yǎng)。
　　《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“課程標準”）在“課程目標”里明確指出：“了解四則運算的意義，掌握必要的運算（包括估算）技能?！痹凇皟?nèi)容標準”之“數(shù)與代數(shù)”中，明確把“數(shù)的運算”作為第一、二學(xué)段的主要內(nèi)容，并具體提出了“應(yīng)重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’”。
　　《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（修改稿）》具體提出了“運算能力”的概念，即“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力還有助于學(xué)生理解算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題”。
　　一、運算教學(xué)的具體目標是什么
　　《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》提出了關(guān)于運算教學(xué)的具體目標。
　　第一學(xué)段：
　　（1）結(jié)合具體情境，體會四則運算的意義。
　　（2）能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，會口算百以內(nèi)的加減法。
　?。?）能計算三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。
　?。?）會計算同分母分數(shù)（分母小于10）的加減運算以及一位小數(shù)的加減運算。
　?。?）能結(jié)合具體情境進行估算，并解釋估算的過程。
　　（6）經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程。
　?。?）能靈活運用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的合理性進行判斷。
　　第二學(xué)段：
　?。?）會口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)。
　?。?）能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。
　　（3）能結(jié)合現(xiàn)實素材理解運算順序，并進行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
　　（4）探索和理解運算律，能應(yīng)用運算律進行一些簡便運算。
　?。?）在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系。
　?。?）會分別進行簡單的小數(shù)、分數(shù)（不含帶分數(shù)）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
　　（7）會解決有關(guān)小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的簡單實際問題。
　?。?）在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣。
　　（9）能借助計算器進行較復(fù)雜的運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律。
　　二、如何建立四則運算概念
　　首先，應(yīng)注重在具體情境中體會運算的意義。四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識，在小學(xué)階段，對加法的定義是：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。”減法的定義是：“已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算?！背朔ǖ亩x是：“求相同加數(shù)的和的簡便運算。”除法的定義是：“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算?！边@些運算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀，但對于低年級的小學(xué)生來說，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明，當一個數(shù)的運算與代表情境中的物體相聯(lián)系時，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。因此，“結(jié)合具體情境”的要求，是符合學(xué)生的心理特點和認知規(guī)律的。
　　案例1 《加法》的教學(xué)（一年級）
　　教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經(jīng)折了1只紅色的紙鳥，2只藍色的紙鳥。
　　教學(xué)時，可以組織學(xué)生觀察，并說：紅色紙鳥的只數(shù)可以用“1”表示，藍色紙鳥可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數(shù)可以用“3”表示。要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數(shù)學(xué)上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2＝3”。然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說一說“1”“2”“3”和“＋”各表示什么含義。最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動手擺學(xué)具等活動，逐步形成對加法意義的認識。
　　這樣的教學(xué)過程，學(xué)生對加法含義的理解，建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上，在頭腦中形成鮮明的動態(tài)表象，從而獲得關(guān)于加法運算意義的準確理解。
　　其次，應(yīng)淡化概念形式，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)。
　　案例2 《乘法》的教學(xué)（二年級）
　　教材通過情境圖，首先讓學(xué)生在具體活動中感知“幾個幾”：兔有3個2，雞有4個3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的連加進行計算：2＋2＋2＝6，3＋3＋3＋3＝12。
　　接著通過操作學(xué)具和觀察花片等活動，使學(xué)生進一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5＝15，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3＝15。
　　然后通過計算桌子上電腦的臺數(shù)：2＋2＋2＋2＝8，讓學(xué)生懂得“4個2相加，可以寫成2×4＝8或4×2＝8”。同時結(jié)合教學(xué)乘號、乘數(shù)、積等名稱和乘法算式的讀法。
　　這樣的編排和教學(xué)，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中強調(diào)“相同加數(shù)”“相同加數(shù)的個數(shù)”“每份數(shù)”“份數(shù)”“被乘數(shù)”“乘數(shù)”等形式化的概念，以及設(shè)置所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能調(diào)換位置的人為障礙，強化了乘法的本質(zhì)——同數(shù)相加。學(xué)生認識乘法的過程，成為了快樂的學(xué)習(xí)體驗過程，成了理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的過程。
　　三、如何重視口算教學(xué)
　　口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計算方式?？谒慊趥€人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運算的理解，口算不僅是筆算的基礎(chǔ)，而且是運算中獨立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價值。因此，口算不僅有實踐意義，而且是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分，口算可以發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維以及培養(yǎng)解決實際問題的能力。
　　在教學(xué)中具體落實“重視口算”的目標，應(yīng)注重如下兩點：
　　1.在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理
　　數(shù)的運算，其實質(zhì)是對現(xiàn)實生活中物體的個數(shù)進行運算，可以說小學(xué)階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學(xué)生理解口算的算理時，除了要與實際情境相結(jié)合，還要逐步過渡到數(shù)學(xué)的語言符號。
　　案例 《整百數(shù)加、減整百數(shù)》的教學(xué)（二年級）
　　首先創(chuàng)設(shè)“買電器”的情境：洗衣機500元，電冰箱1200元，電視機800元，電風(fēng)扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機和一臺電視機共要多少錢？”列式：500＋800。
　　接著通過呈現(xiàn)具體的人民幣（都是面值百元），引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13，500＋800＝1300。
　　然后又通過計數(shù)器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。
　　最后讓學(xué)生敘說自己的思考和計算過程。
　　這樣的編排和教學(xué)，由具體實物（百元人民幣形象地表示計數(shù)單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數(shù)器（百位上算珠操作）演示，再通過學(xué)生在頭腦中的表象運演，使學(xué)生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百，就是1300）。這樣的教學(xué)符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律：直觀動作思維→具體形象思維→抽象邏輯思維。
　　2.科學(xué)合理訓(xùn)練，強化基本口算
　　在小學(xué)階段的口算內(nèi)容中，兩個一位數(shù)相加與其相對應(yīng)的減法和表內(nèi)乘法與其相對應(yīng)的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”。這“四表”是一切計算的基礎(chǔ)，務(wù)必使學(xué)生達到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理。
　　首先，應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué)。小學(xué)生口算的方法一般存在三個層次：逐一重新計數(shù)→借數(shù)加算或減算→按數(shù)群運算。在教學(xué)基本口算時，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運算的方法。所謂數(shù)群，是指學(xué)生在計數(shù)時能將最后說出的數(shù)作為所數(shù)過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數(shù)，就是計數(shù)時不以某個物體為單位，而是以數(shù)群為單位，如兩個兩個數(shù)、五個五個數(shù)等等。同時，我們還應(yīng)該注意，在教學(xué)初期為了達到算法指導(dǎo)下的正確計算，可不作計算速度的要求。
　　
　　其次，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)除法的思路教學(xué)。小學(xué)生正處于“具體運算階段”，思維的可逆性剛剛出現(xiàn)，只能進行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法口算在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維。因此，教學(xué)口算方法時，要特別強化退位減法和表內(nèi)除法的基本計算思路（算減想加、算除想乘）的教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握基本方法，同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。
　　再次，應(yīng)注意口算訓(xùn)練科學(xué)化。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時機，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強課堂練習(xí)，采用講練結(jié)合的方式及時鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對性，抓住難點反復(fù)練習(xí)，不能平均用力，甚至出現(xiàn)易題多練、難題少練的現(xiàn)象；三要注意練習(xí)形式的多樣化，提高學(xué)生口算的積極性，避免簡單的機械重復(fù)。
　　四、如何加強估算意識
　　估算具有重要的應(yīng)用價值，是學(xué)生應(yīng)該具有的重要的計算技能。隨著計算技術(shù)的進一步發(fā)展，大量的計算并不要求進行精確的計算，一個人在日?；顒又羞M行估算的次數(shù)，遠比精確計算的次數(shù)多得多。在小學(xué)階段的計算教學(xué)中，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進行驗算等等。要體現(xiàn)《標準》中“加強估算”的要求，可以著力于以下兩方面：
　　1.培養(yǎng)數(shù)感
　　數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺。在估算中數(shù)感主要表現(xiàn)在能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?，能對結(jié)果的合理性作出解釋。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認識，并對數(shù)感的培養(yǎng)具有重要的意義，同時，良好的數(shù)感又是學(xué)生進行估算的必要基礎(chǔ)。除了在教學(xué)《數(shù)的認識》時要加強數(shù)感的培養(yǎng)，在數(shù)的運算過程中更應(yīng)結(jié)合具體計算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。
　　2.掌握估算方法，養(yǎng)成估算習(xí)慣
　　有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉(zhuǎn)換和補償。所謂“簡約”，是學(xué)生在估算時先把數(shù)簡化成比較簡單的形式。例如，估算“495＋310”，把495看做500，把310看做300，這樣估算時即想比較簡單的形式“500＋300”即可。所謂“轉(zhuǎn)換”，是學(xué)生在估算時把一種問題轉(zhuǎn)換成另一種問題來思考。例如，估算“602＋597＋589”時，把加法問題轉(zhuǎn)換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右?！倍^“補償”，則是學(xué)生在進行簡約或轉(zhuǎn)換時，進行一些調(diào)整，以補償前面運算中的不足，使估算比較準確。例如，“估算‘602＋597＋589’”這一問題，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時可能會進一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因為我在將每一個數(shù)都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些?！?br/>　　此外，還要培養(yǎng)學(xué)生的估算習(xí)慣。我們在教學(xué)中也常常發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在計算時會出現(xiàn)一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時估算檢查的習(xí)慣，每做完一道題目，可以先估計一下答案，然后與實際計算所得的答案比較，及時察覺出錯誤并加以更正。
　　五、如何體現(xiàn)算法多樣化
　　《課程標準》在第一學(xué)段的“教學(xué)建議”中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”要體現(xiàn)“算法多樣化”的思想，應(yīng)注重以下三方面：
　　1.理解算法多樣化的內(nèi)涵
　　所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問題的程序與方法，具體包括運算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，運算方法與解題策略有共性，但兩者也有區(qū)別。前者更偏重于技能，可以通過練習(xí)獲得，并進而成為技巧，而后者雖然也可進行訓(xùn)練，但由于問題的信息復(fù)雜要有更多的思維。兩者無本質(zhì)區(qū)別，只有層次之差。
　　2.找準算法多樣化的前提
　　現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎(chǔ)上，否則多樣化就會導(dǎo)致泛化。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化，只是優(yōu)化的過程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制規(guī)定和主觀臆斷的過程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法。
　　3.把握算法優(yōu)化的標準
　　過去我們僅僅用成人認為唯一合理的方法作為基本算法教給學(xué)生。現(xiàn)在我們認為的基本算法是什么呢？其實，基本算法并不是唯一算法，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群。以此為基礎(chǔ)，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學(xué)維度看，多數(shù)學(xué)生喜歡的方法；二是從教育學(xué)維度看，教師易教，學(xué)生易學(xué)的方法；三是從學(xué)科維度看，對掌握后續(xù)知識有價值的方法。理想的基本算法是三位一體的，在小學(xué)階段，隨著年級的升高對學(xué)科維度要求會逐漸增強。
　　從某種意義上說，算法多樣化應(yīng)是一種態(tài)度，是一個過程，算法多樣化不是教學(xué)的最終目的，不能片面追求形式化。老師不必煞費苦心“索要”算法的多樣化，也不必為了體現(xiàn)多樣化，刻意引導(dǎo)學(xué)生尋求“低思維層次算法”。即使有時是教材編排的算法，但在實際教學(xué)中學(xué)生中沒有出現(xiàn)，即學(xué)生已經(jīng)超越了的“低思維層次算法”，教師可以不再出示，沒有必要走回頭路。
　　總之，運算是一種智力操作技能，而知識轉(zhuǎn)化為技能是需要過程的，運算技能的形成具有自身獨特的規(guī)律。學(xué)生運算技能的形成一般要經(jīng)歷四個階段，即：認知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。認知階段主要是讓學(xué)生理解算理、明確算法，這比較容易做到，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來，復(fù)雜的計算技能總是可以分解為單一技能，對分解的單一技能進行訓(xùn)練并逐漸組合，才能形成復(fù)合技能，再通過綜合訓(xùn)練就可以達到自動化階段。在進行運算教學(xué)時，應(yīng)該從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的角度出發(fā)，在大膽創(chuàng)新的同時，吸取傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢，促進運算教學(xué)的深入改革，為切實提高學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)打下基礎(chǔ)。