劉 超， 王永茂， 顏 玲， 吳琳琳， 王怡菲

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及其推廣模型[1-2]均描述的是單一險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程.但在實(shí)際中,由于保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)種類的日益多元化,經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能很好地描述現(xiàn)實(shí)過(guò)程.因此,討論多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型更具實(shí)際意義.

文獻(xiàn)[3]將保單到達(dá)過(guò)程進(jìn)行了推廣，討論了廣義復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的生存概率；文獻(xiàn)[4-5]討論了雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)[6]則在其基礎(chǔ)上討論了帶干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.為了更好描述保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)種類的多元化，本文研究了多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型.

1 模型建立

設(shè)

(1)

其中,U(t)為盈余過(guò)程，u≥0為初始資金，τ≥0為投資利率，ξ≥0為通貨膨脹率，{S(t),t≥0}表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈利部分，稱為盈利過(guò)程.這里所用到的隨機(jī)變量都定義在完備概率空間(Ω,F,P),t≥0上.

1){Mi(t),t≥0}，i=1,…，n,表示第i個(gè)險(xiǎn)種在時(shí)間(0,t)內(nèi)收取的保費(fèi)次數(shù)，它是以pi，i=1,…,n為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)序列，Mi(0)=0，i=1,…,n，并且相互獨(dú)立.

2){Nj(t),t≥0},j=1,…,n表示第j個(gè)險(xiǎn)種在時(shí)間(0,t)內(nèi)索賠的次數(shù)，它是以μj，j=1,…,n為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)序列，Nj(0)=0，j=1,…,n，并且相互獨(dú)立.

T=min{t|t≥0,U(t)<0}，表示破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻，最終破產(chǎn)概率有Ψ(u)=p{T<∞|U(0)=u}.

模型(1)包括了一些學(xué)者討論的情形.

當(dāng)n=1時(shí)，模型(1)為帶干擾的單險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，即

當(dāng)n=2時(shí)，模型(1)為帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，即

2 盈利過(guò)程{S(t),t≥0}的性質(zhì)

性質(zhì)1{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立的增量.

S(ti)-S(ti-1)=[A1(ti)-A1(ti-1)]-[A2(ti)-A2(ti-1)]+a[W(ti)-W(ti-1)],

由于A1(ti)-A1(ti-1),A2(ti)-A2(ti-1),W(ti)-W(ti-1)，i=1,…,n,是相互獨(dú)立的，所以盈利過(guò)程{S(t),t≥0}具有獨(dú)立的增量.又因?yàn)?/p>

S(t+j)-S(t)=[A1(t+j)-A1(t)]-[A2(t+j)-A2(t)]+a[W(t+j)-W(t)]

對(duì)一切t≥0,A1(t+j)-A1(t),A2(t+j)-A2(t),W(t+j)-W(t)分別具有相同的分布，所以對(duì)一切t≥0,S(t+j)-S(t)也具有相同的分布.即{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)的增量.因此盈余過(guò)程{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立的增量.

性質(zhì)2

又因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程{Mi(t),t≥0},i=1,…,n,{Nj(t),t≥0},j=1,…,n，{W(t),t≥0}相互獨(dú)立,

其中qi=1-pi,μj=1-σj,i,j=1,…,n.

3 破產(chǎn)概率

定理1存在函數(shù)g(r)使得E[e-rS(t)]=etg(r).

其中MYi(-r)=E[e-rYi]為險(xiǎn)種i保費(fèi)收入的矩母函數(shù)，MXj(r)=E[erXj]為險(xiǎn)種j理賠額的矩母函數(shù).

定理2方程g(r)存在唯一正根r=R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明因?yàn)楸ＹM(fèi)和理賠額相互獨(dú)立，且二階矩存在.所以

有

故曲線g(r)是下凸的.方程至多有兩個(gè)解，顯然g(0)=0,r=0是平凡解，又因?yàn)間′(0)<0，且當(dāng)r→∞時(shí)，g(r)→+∞，因此存在唯一R∈(0,+∞)，使g(R)=0，即方程g(r)=0在r>0時(shí)有唯一正根R.

定理3在由(1)式建立的風(fēng)險(xiǎn)模型{U(t);t≥0}下，最終破產(chǎn)概率為

證明對(duì)于任意的t>0,r>0有

E[e-rU(t)]=E[e-rU(t)|T≤t]p{T≤t}+E[e-rU(t)|T>t]p{T>t}

,

(2)

由于E[e-rU(t)]=E[e-ru(1+τ-ξ)]E[e-rS(t)]=e-ru(1+τ-ξ)etg(r),當(dāng)r=R時(shí)，g(R)=0,所以E[e-RU(t)]=e-Ru(1+τ-ξ),代入(2)得

e-Ru(1+τ-ξ)=E[e-RU(t)|T≤t]p{T≤t}+E[e-RU(t)|T>t]p{T>t}.

當(dāng)T≤t時(shí)，令

因此

事實(shí)上，

令

因ω>0，在t充分大時(shí)，Q(t)>0.

因此

E{ exp[-RU(T)]|T>t}p{T>t}

=E{exp[-RU(T)]|T>t,0≤U(t)≤Q(t)}p{T>t,0≤U(t)≤Q(t)}+
E{exp[-RU(T)]|T>t,U(t)>Q(t)}p{T>t,U(t)>Q(t)}

≤p{0≤U(t)≤Q(t)}+exp(-RQ(t)),

由契比雪夫不等式得

推論在(1)式風(fēng)險(xiǎn)模型{U(t),t≥0}下，最終破產(chǎn)概率Ψ(u)滿足Lundberg不等式

Ψ(u)≤e-Ru(1+τ-ξ),

此式給出了最終破產(chǎn)概率的上界.

[1] 謝志剛，韓天雄.風(fēng)險(xiǎn)理論與壽險(xiǎn)精算[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社,2000:101-189.

[2] Gerber H U.An Introduction to Mathematical Risk Theory[M].Philadelphia:Homewood,1979.

[3] 龔日朝，劉永清．廣義復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的生存概率[J]．湘潭大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001,23(2)：15-19.

[4] 蔣志明，王漢興.一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，14(1): 52-62.

[5] 劉東海，劉再明.雙險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22(5)：162-166.

[6] 張相虎，趙明清.帶干擾的雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2005，22(4)：351-355.