徐志軍，鄭俊杰，邊曉亞

(1. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074；2. 河南工業(yè)大學(xué) 土木建筑學(xué)院， 河南 鄭州 450052)

在巖土工程中，傳統(tǒng)的“容許應(yīng)力設(shè)計(jì)法”將巖土參數(shù)看作“定值”。但是由于各種不確定因素的存在，這種“定值”設(shè)計(jì)法是不科學(xué)合理的。可靠性設(shè)計(jì)充分考慮了參數(shù)的不確定性，克服了傳統(tǒng)“容許應(yīng)力設(shè)計(jì)法”的不足[1]?？煽慷壤碚搶⑹Ш瘮?shù)描述結(jié)構(gòu)響應(yīng)的“失效狀態(tài)”和“可靠狀態(tài)”[2]。但在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)的破壞并不是“一蹴而就”的。例如，在路基工程中，路基的失效和破壞之間有個(gè)“過(guò)渡過(guò)程”，在這個(gè)“過(guò)渡過(guò)程”中，路基既不是處在“可靠狀態(tài)”，也不是處在“失效狀態(tài)”，而是處在“模糊狀態(tài)”。模糊可靠度理論很好的解決了這一問(wèn)題[3]。

巖土工程可靠性分析中需要各類巖土參數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息，而作為巖土工程研究對(duì)象的巖土體，由于其形成、存在條件的復(fù)雜性，受到各類復(fù)雜因素的影響，導(dǎo)致其力學(xué)性質(zhì)的不確定性、隨機(jī)性、模糊性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于人造材料。這就給應(yīng)用概率分布對(duì)這些不確定性進(jìn)行推斷帶來(lái)了很多困難。而確定合適合理的巖土參數(shù)概率分布模型對(duì)巖土工程可靠性分析的準(zhǔn)確性又有著十分重要的意義。但在實(shí)際工程中，巖土參數(shù)的概率分布問(wèn)題經(jīng)常是在試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少的條件下進(jìn)行的。常用的概率分布擬合方法是先假設(shè)參數(shù)服從某幾類經(jīng)典分布(如正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布等)，并利用精度較高的K-S 檢驗(yàn)法進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

信息擴(kuò)散理論在工程中的參數(shù)概率分布擬合中得到了廣泛的應(yīng)用[4～7]。另外，在分析模糊可靠度時(shí)，常用的隸屬函數(shù)存在著不同的缺陷[8, 9]。因此，本文基于正態(tài)信息擴(kuò)散理論和路基沉降的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)路基沉降的概率分布進(jìn)行了擬合。并利用擬合精度較高的Beta函數(shù)作為路基沉降模糊事件的隸屬函數(shù)，給出了路基沉降模糊可靠度的分析方法，并通過(guò)工程實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 模糊可靠度的分析模式

在路基沉降的可靠度研究中，傳統(tǒng)的方法將路基沉降分為“失效”和“可靠”兩個(gè)涇渭分明的狀態(tài)，在這兩個(gè)狀態(tài)中間有個(gè)明顯的分界面，稱為臨界面，見(jiàn)圖1，路基沉降的極限狀態(tài)方程為[2]

Z=Δ-S=0

(1)

式中，Z為極限狀態(tài)方程；Δ為路基的容許沉降量；S為路基實(shí)際沉降。

圖1 極限狀態(tài)

但在工程實(shí)際中，路基破壞并不是在瞬間完成的。在路基的“可靠狀態(tài)”和“失效狀態(tài)”之間存在一個(gè)“過(guò)渡狀態(tài)”。在這個(gè)“過(guò)渡狀態(tài)”中，路基既不是處在“完全可靠”狀態(tài)，也不是處在“完全失效”狀態(tài)，實(shí)際情況見(jiàn)圖2，這時(shí)路基沉降的極限狀態(tài)方程為[3]

(2)

圖2 模糊極限狀態(tài)

傳統(tǒng)的沉降可靠度研究雖然很好地解決了路基沉降參數(shù)的隨機(jī)性，但是忽略了路基失效過(guò)程的模糊性。模糊可靠度不僅充分考慮了路基沉降失效的模糊性，同時(shí)充分考慮了隨機(jī)變量的模糊性，因此研究結(jié)果更加科學(xué)合理，模糊可靠度失效概率的計(jì)算公式為[3]：

(3)

式中，fz(z)為路基沉降的概率密度函數(shù)，μA(z)為路基沉降過(guò)程的隸屬函數(shù)。

2 模糊區(qū)間和隸屬函數(shù)的確定

由式(1)可知，路基沉降的功能函數(shù)是

Z=Δ-S=0

在路基沉降功能函數(shù)的“0”點(diǎn)附近選取一個(gè)閉區(qū)間，把這個(gè)區(qū)間看作“路基可靠”到“路基失效”的過(guò)度階段。由路基沉降的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可計(jì)算出沉降的最大值a和最小值b。為了計(jì)算準(zhǔn)確，選取平均加權(quán)值模糊臨界區(qū)間點(diǎn)，即將[-(a+b)/2,(a+b)/2]確定為路基沉降的模糊臨界區(qū)間。設(shè)路基的破壞過(guò)程為事件A，其隸屬函數(shù)為μA(g)，μA(g)刻畫(huà)了路基從完好狀態(tài)到破壞狀態(tài)模糊性。路基處在“完好狀態(tài)”的隸屬度為“1”， 路基處在“完全破壞狀態(tài)”的隸屬度為“0”，μA(g)為一個(gè)從“1”到“0”的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)分布函數(shù)的特點(diǎn)，定義隸屬函數(shù)為[9]：

(4)

式(18)有如下的性質(zhì)

(5)

這樣，由Beta分布確定模糊函數(shù)不僅在整個(gè)定義域里連續(xù)光滑，而且其一次導(dǎo)數(shù)在整個(gè)定義域里也是連續(xù)光滑。

由圖3可看出，μA(g)的圖形“經(jīng)歷”了平穩(wěn)過(guò)渡-緩-急-緩-平穩(wěn)過(guò)渡，并且關(guān)于點(diǎn)(0, 0.5)為中心對(duì)稱，這樣既保留了傳統(tǒng)隸屬函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)μA(g)的定義域是[0, 1]，截去傳統(tǒng)隸屬函數(shù)的“尾部”，從而克服了傳統(tǒng)隸屬函數(shù)不光滑的不足。

3 密度函數(shù)的信息擴(kuò)散推斷

3.1 擴(kuò)散估計(jì)

設(shè)O為一隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(v)。則根據(jù)信息擴(kuò)散理論，f(v)的一個(gè)總體估計(jì)為[4]：

(6)

式中，μ為定義在(-∞,+∞)的一個(gè)可測(cè)擴(kuò)散函數(shù)，Δn為常數(shù)，且Δn>0，nΔn為窗寬；n為樣本容量。

3.2 信息擴(kuò)散原理

宮鳳強(qiáng)等[4]給出了信息擴(kuò)散原理，其定義如下：

設(shè)W=(w1,w2,…,wn)為來(lái)自母體O的知識(shí)樣本；V是知識(shí)樣本的基礎(chǔ)論域。設(shè)Wi的觀測(cè)值為vi；x=φ(v-vi)。則當(dāng)知識(shí)樣本W(wǎng)為非完備時(shí)，存在一函數(shù)μ(x)，使得觀測(cè)值vi點(diǎn)獲得的信息量可按μ(x)的量值擴(kuò)散到v去，這時(shí)信息值為1。所得的原始信息分布能更好地反映總體的規(guī)律，可描述為：

(7)

令

φ(v-vi)=(v-vi)/Δn

(8)

3.3 擴(kuò)散函數(shù)的確定

記x點(diǎn)在t時(shí)刻的信息狀態(tài)為μ(x,t)，由分子擴(kuò)散理論可知，μ(x,t)的偏微分方程求解的表達(dá)式為：

(9)

(10)

若信息擴(kuò)散過(guò)程在t0時(shí)刻完成，記σ=σ(t0)，則此時(shí)所獲擴(kuò)散的信息可由如下函數(shù)求出。

(11)

(12)

式中，h為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)擴(kuò)散μ(x)時(shí)的窗寬，且nh=σΔn。

設(shè)wi的觀測(cè)值的最大值為vmax，最小值為vmin。利用正態(tài)信息擴(kuò)散的擇近原則可求解：

h=γ(vmax-vmin)/(n-1)

(13)

n取不同值時(shí)的γ值如表1所示[4]。

表1 γ的計(jì)算結(jié)果

4 實(shí)例分析

文獻(xiàn)[11]收集了某國(guó)道上28個(gè)竣工2a后路基沉降觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，見(jiàn)表2。由表2可知，沉降的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差分別為15.36和8.51。取Δ=30[11]，則功能函數(shù)的均值和方差分別為14.64和8.51。因此由經(jīng)典的概率理論可知，路基沉降的概率分布為[11]

p(z)=0.469e0.0069(2-14.64)2

(14)

(15)

取顯著性水平α=0.05，對(duì)表3中的路基沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布的假設(shè)，并用K-S法檢驗(yàn)。K-S檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4，表4中的接受水平為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn和檢驗(yàn)臨界值Dn,α的比值[12]。接受水平越小即越趨近0，擬合的效果就越好。

利用表2中的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為隨機(jī)變量母體的各項(xiàng)觀測(cè)值vi見(jiàn)表3。

表2 路基沉降現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)值

表3 母體觀測(cè)值的計(jì)算結(jié)果

表4 K-S 檢驗(yàn)法結(jié)果

由表4可知，由正態(tài)信息擴(kuò)散法得到的路基沉降概率密度函數(shù)的擬合效果優(yōu)于經(jīng)典的概率法，能夠真實(shí)反映路基沉降的概率分布情況。

由表3可知，隸屬函數(shù)中的a和b值分別為-6.8和28，因此，隸屬函數(shù)的表達(dá)式為：

(16)

因此，利用Matlab程序計(jì)算路基沉降的模糊失效概率為：

=0.054

(17)

算例分析表明：本文的方法不僅充分考慮了地基沉降的模糊性，而且計(jì)算精度較高，具有重要的工程意義。

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