任紅飛，魏子卿，翟振和，吳富梅

1.信息工程大學測繪學院，河南鄭州450052；2.西安測繪研究所，陜西西安710054

1 引 言

觀測方程是處理脈沖星觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)，用脈沖星自主導航時，觀測方程的精度決定脈沖星導航的精度，也影響脈沖星星表參數(shù)的精化。反過來，高精度的脈沖星歷表參數(shù)又有利于提高觀測方程的精度，進而提高導航性能。高精度的觀測與參數(shù)精化是一個經(jīng)長期觀測，相互促進的過程。

廣義相對論是現(xiàn)今最精確的引力理論。對于高精度的脈沖星導航而言，廣義相對論效應是必須考慮的因素，在相對論框架下給出觀測方程的高精度表達式是實現(xiàn)脈沖星精確導航的前提。文獻［1—2］分別推導了1階后牛頓（1PN）度規(guī)形式下的脈沖星計時表達式。比較而言，文獻［1］的推導更為嚴格，考慮了太陽引力場對信號傳播的彎曲效應，但推導過程與結(jié)論不夠準確。2005年，文獻［3］重新給出1PN度規(guī)形式下脈沖到達時間（TOA）的正確表達式，但沒有進行詳細推導。當前，脈沖星計時精度約為1μs，脈沖星導航也處于試驗驗證階段。受脈沖星觀測精度的限制，一些影響相對較弱的誤差源還未被考慮。隨著觀測技術(shù)的改進，將需要分析更多誤差源對觀測的影響。筆者通過分析以上文獻的研究結(jié)論，并參考其他相關(guān)文獻［4－17］，完整推導1PN度規(guī)形式下脈沖星導航的觀測方程，以此為基礎(chǔ)，對影響導航性能的主要因素進行分析。

2 X射線脈沖星導航的觀測方程

用X射線脈沖星為飛行器導航時，通常的處理方式是：將空間飛行器觀測的TOA轉(zhuǎn)化至某個基點，與基點處的TOA模型組成差分方程。在當前的研究中，一般以太陽系質(zhì)心（SSB）為基點，將飛行器處的TOA轉(zhuǎn)換至SSB。

為推導1階后牛頓（1PN）度規(guī)形式下脈沖星導航觀測方程，在此只考慮太陽系以內(nèi)天體的相對論效應，而將太陽系以外天體的相對論效應視作常量［1－2］。

脈沖星的脈沖是由一個周期內(nèi)的光子累積而成的，每個光子在空間沿自己的世界線傳播。根據(jù)相對論理論，電磁信號在時空中傳播的世界線為零測地線，即時空間隔為零。其有表達式為

式中，ds2為線元的平方；dxμ、dxv為坐標增量；gμv為時空度規(guī)，是觀測者處時空位置的函數(shù)，由愛因斯坦場方程求解得到。由于愛因斯坦場方程的高階非線性和星體質(zhì)能分布的復雜性，一般不可能得到gμv的嚴格解。實際應用中所采用的時空度規(guī)都是在某種近似條件下得到的結(jié)果。

對于太陽系這樣的弱場、低速時空，IAU在第24屆決議中推薦使用后牛頓度規(guī)，該度規(guī)滿足線性疊加原理。時空間隔在1PN形式下的表達式為［3，11］

式中，c為真空光速；U為太陽系所有天體引力勢的線性疊加。由式（2）可得

將式（3）按級數(shù)展開至O （1／c）2項，得

式（4）即為1PN度規(guī)形式下，時間間隔、空間間隔與天體引力勢的關(guān)系式。對此關(guān)系式沿傳播路徑積分，即可得到脈沖由脈沖星至飛行器的傳播時間。為此建立如圖1所示的坐標系，以太陽質(zhì)心、脈沖星和飛行器3點所確定的平面為xy平面，取x軸平行于光線傳播方向，y、z軸按右手定則確定。其中d為太陽質(zhì)心至信號傳播路徑的距離；di為太陽系內(nèi)天體Mi至信號傳播路徑的距離，一般不在xy平面內(nèi)；D、p分別為太陽質(zhì)心至脈沖星與飛行器的矢量；＾nS、＾nSC分別為太陽質(zhì)心與飛行器到脈沖星方向的單位矢量；脈沖發(fā)射時刻為tT，到達空間飛行器的時刻為tSC。在此假定光線在太陽系內(nèi)傳播時，各個天體處于tSC時刻的位置，并考慮太陽引力場的彎曲效應。

圖1 信號由脈沖星到達太陽質(zhì)心與飛行器的示意圖Fig.1 The path of a signal from the pulsar to the spacecraft

在太陽引力場中，類光測地線滿足下式［1］

式中，GM為太陽引力常數(shù)。根據(jù)初始條件dy／dx＝0，x＝Dx，y＝d，可求得空間軌跡解為

式中，D為矢量D的長度。對式（6）兩邊關(guān)于x求倒數(shù)，得

為計算信號的傳播時間，需沿信號傳播路徑積分。由于信號傳播軌跡在xy平面內(nèi)，故有z＝ 0，將式（4）的空間間隔部分按級數(shù)展開，忽略O(shè) （dy2／dx2）可得

將式（7）代入到式（8），則等式右端只有唯一變量x，容易對等式兩端積分，得到信號沿路徑的傳播時間為

式中，PBSS為太陽系天體總數(shù)；D為脈沖到達時，脈沖星相對于太陽質(zhì)心的位置；p表示飛行器接收到第N個脈沖時相對于太陽質(zhì)心的位置；pi、Di為飛行器接收到脈沖時，飛行器和脈沖星相對于第i個行星的位置。式（9）即為在太陽質(zhì)心坐標系中，脈沖到達飛行器的TOA表達式。若假想飛行器運動到SSB，則可用與式（9）相同的原理，得到在太陽坐標系中，脈沖到達SSB處的表達式。假定SSB在太陽質(zhì)心坐標系中的位置為b，相對于第i個行星的位置為bi，SSB至脈沖星的單位矢量為，在式（9）中，以b代p、以bi代pi、以代，即可得到SSB處的TOA表達式。在推導出飛行器的TOA與太陽系質(zhì)心的TOA方程之后，將兩式求差即可得到導航觀測方程。具體形式為

式中，dSSB為信號到達SSB時，太陽質(zhì)心至信號傳播路徑的距離；dSC為信號到達飛行器時，太陽質(zhì)心至信號傳播路徑的距離。以下將利用數(shù)值計算方法，對觀測方程精度進行分析。

3 觀測方程的精度分析

為分析脈沖星導航觀測方程的精度，給定以下計算條件：① 模擬繞地飛行器的軌道根數(shù)見表1；②3顆脈沖星的參數(shù)信息見表2；③太陽系內(nèi)各個天體的位置由JPL行星星歷給出；④計算的起始歷元為2010－01－01（55 197.0MJD），時間跨度1000d。

表1 飛行器軌道根數(shù)Tab.1 Orbit elements of the spacecraft

表2 X射線源的參數(shù)值［3，6－7］Tab.2 Parameters of X－ray sources［3，6－7］

3.1 相對論影響分析

在表達式（10）中，脈沖星導航的相對論效應由兩部分組成：一是太陽系天體的引力時延（第3、4項）；二是太陽引力彎曲時延（第5、6項）。這兩部分時延對脈沖星觀測時間的影響分別如圖2、圖3所示。

圖2 太陽系天體的引力時延Fig.2 Time delay of the gravity by bodies of the solar system

從圖2中可看出，由于脈沖星位置不同，脈沖信號所受引力時延的影響不同。但均呈現(xiàn)周年變化，這是由地球公轉(zhuǎn)所致。考慮到太陽繞SSB的公轉(zhuǎn)，引力時延還應有一個約為12a的變化周期。圖3是太陽引力彎曲導致的時間延遲，其量級小于1ns，在目前脈沖星觀測精度下可忽略。

圖3 太陽引力彎曲Fig.3 Time delay of the path bending by the Sun

3.2 脈沖星星表誤差的影響

脈沖星歷表是脈沖星導航的基礎(chǔ)，其誤差對脈沖星導航性能具有重要影響。為推導脈沖星星表參數(shù)誤差與觀測時間之間的關(guān)系式，忽略式（10）中的引力彎曲效應，將真空光行時部分按級數(shù)展開至二階。由于脈沖星距離遙遠，可近似認為脈沖星相對于SSB和飛行器的方向相同，即有，由此可得表達式

由式（11）可求觀測時間對脈沖星位置（赤經(jīng)、赤緯）與距離的偏微分，得到以下表達式

式中

假定脈沖星距離的系統(tǒng)偏差為距離值的10%，位置的系統(tǒng)偏差為0.001″，可得到在不同時刻，它們對觀測時間的影響，如圖4、圖5所示。

圖4 脈沖星距離偏差對觀測時間的影響Fig.4 Timing error due to the distance deviation of pulsar

圖5 脈沖星位置偏差對觀測時間的影響Fig.5 Timing error due to the direction derivation of pulsar

由圖5、圖6可以看出，不同脈沖星距離和位置的偏差引起的測量誤差均呈現(xiàn)相同的周期性，周期為半年，但幅值不同。距離偏差對觀測時間的影響相對較小，且與脈沖星的距離成反比；而位置系統(tǒng)偏差對觀測時間的影響較大，0.001″的偏差對觀測精度的影響可達數(shù)微秒，且與脈沖星位置有關(guān)。

假定脈沖星距離的隨機誤差均值為0，均方差為距離值的5%，位置的隨機誤差均值為0，均方差為0.000 5″，對于不同的脈沖星，參數(shù)的隨機誤差對觀測時間的影響如圖6、圖7所示。

圖6 脈沖星距離的隨機誤差對觀測時間的影響Fig.6 Timing error due to the random error of pulsar distance

圖7 脈沖星位置的隨機誤差對觀測時間的影響Fig.7 Timing error due to the random error of pulsar position

圖6中脈沖星距離的隨機誤差引起的測量誤差在±30ns之間；圖7中脈沖星位置隨機誤差引起的測量誤差在±3μs之間。當前脈沖星歷表的位置參數(shù)精度大多低于0.001″，可見脈沖星位置參數(shù)的精化是提高時間測量精度的關(guān)鍵。

3.3 行星星歷誤差的影響

JPL行星星歷在天文精密觀測的分析與歸算、引力定律檢驗、行星探測計劃、衛(wèi)星導航以及深空導航中得到廣泛應用。其不同版本根據(jù)不同需求而制定，在精度有差異。為分析不同行星歷表之間的差異，以下選擇DE200、DE403、DE405以及DE423進行比較，對于地球在太陽系質(zhì)心坐標系中的三維位置而言，不同星歷在相同歷元的差值如圖8所示。

圖8 地球的太陽系質(zhì)心位置之差Fig.8 Difference in position of the geocenter in the barycentric system

由圖8可見，DE200與DE405的坐標差異最大，可達數(shù)十千米，且有一定的系統(tǒng)性。DE403與DE405之間的差異主要表現(xiàn)在x、y方向，z方向的互差較小，且呈周年變化；而DE423與DE405之間的差異更小，最大差值約1km，也呈現(xiàn)周年變化，這說明DE系列的后續(xù)歷表逐步精化。為分析歷表差異對時間測量的影響，以表3中的3顆脈沖星為例，分析不同行星星歷在相同歷元，對飛行器觀測時間的差值如圖9所示。

由圖9可見，DE200與DE405的差值可達毫秒量級；DE423與DE405的差值較小，對于Crab和B1821－24脈沖星，變化范圍為±2μs；對于B1937＋21脈沖星，變化范圍為±4μs。可見行星星歷的精化對觀測精度的提高具有重要意義。

圖9 不同行星星歷引起的時間差Fig.9 Timing difference due to the different planet ephemeris

3.4 星體扁率的影響

在脈沖星導航觀測方程中，通常將星體作為質(zhì)點或均質(zhì)球體近似處理。對于有些星體，如木星，其質(zhì)量大、自轉(zhuǎn)快，實際形狀更接近于兩極略扁的球體，因此，有必要討論其非球形的引力攝動對觀測時間的影響。由引力理論可知，顧及扁率的星體外部點的引力位為可表為［18］

式中，m＝4π2a3（1－f ）／T2GM；f為扁率，e＝為橢球第一偏心率。由星體扁率引起的引力位的改正位可表為

該改正位對觀測時間的延遲影響為

式中，x1＝cosθ1；x2＝cosθ2；θ1、θ2為外部點到星體自轉(zhuǎn)軸之間的極距。由于星體自轉(zhuǎn)平面與公轉(zhuǎn)平面一般不同，除地球外，其他星體的公轉(zhuǎn)平面對自轉(zhuǎn)平面的升交點位置未知，故外部點相對于星體自轉(zhuǎn)軸的極距難以得到。如只對改正位的時延量級作分析，可由以下方法進行評估。

可得由星體扁率引起的時延δt滿足

根據(jù)式（19）即可對改正位的時延作量級分析。若考慮太陽系天體的基本參數(shù)如表3所示，根據(jù)式（15）可計算得到各星體的帶諧項系數(shù)。

表3 各星體的基本參數(shù)［19－20］Tab.3 Parameter of each celestial body［19－20］

在式（19）中，取n＝3，可得在不同時刻，星體的扁率對觀測時間的影響，見圖10。由圖10可見，太陽扁率對繞地飛行器觀測時間的影響最大，但其最大量級也只有10－12s，導航中可忽略。

圖10 顧及各星體扁率對信號傳播路徑的時延修正Fig.10 Time correction of transmitting path by the flattening of bodies

4 結(jié) 論

本文綜合相關(guān)研究成果，完整推導了1PN形式下脈沖到達時間轉(zhuǎn)換方程。分析了脈沖星觀測方程中的相對論效應；獨立推導了觀測時間誤差與脈沖星歷表誤差之間的解析關(guān)系式和顧及星體扁率的觀測時間延遲表達式；分析了脈沖星距離誤差、位置誤差對觀測時間的影響；比較了不同行星星歷之間的差異，分析了這些差異對脈沖星觀測的影響；分析了星體扁率對觀測時間的延遲量級。主要結(jié)論有：

（1）太陽系天體對信號傳播路徑的引力時延可達幾十微秒，在精確的觀測方程中需要考慮；太陽對信號傳播路徑的彎曲所引起的時延較?。ǎ?ns），在當前的測量精度下可不考慮。

（2）脈沖星位置誤差對時間方程的影響較大，距離誤差影響相對較小，在當前情況下，通過長期觀測，逐步精化脈沖星歷表，尤其是位置參數(shù)，是提高觀測精度的有效途徑之一。

（3）行星星歷誤差可引起數(shù)微秒的觀測時間誤差，且對不同脈沖星影響不同。

（4）星體扁率對觀測時間的延遲很小，在近地飛行器自主導航中可忽略。

［1］ HELLING R W.Relativistic Effects in Astronomical Timing Measurement［J］.The Astronomical Journal，1986，91（3）：650－659.

［2］ BACKER D C，HELLING R W.Pulsar Timing and General Relativity［J］.Annual Review of Astronomy and Astrophysics，1986，24：537－575.

［3］ SHEIHK S I.The Use of Variable Celestial X－Ray Sources for Spacecraft Navigation［D］.Baltimore：University of Maryland，2005.

［4］ SHEIHK S I，HELLINGS R W，MATZNER R A.Highorder Pulsar Timing For Navigation［C］∥Proceedings of the 63rd Annual Meeting of the Institute of Navigation，Cambridge：ION，2007：432－443.

［5］ GRAVEN P H，COLLINS J T，SHEIKH S I，et al.Spacecraft Navigation Using X－ray Pulsar［R］.County Kerry：7th International ESA Conference on Guidance，Navigation ＆Control Systems，2008.

［6］ SHEIHK S I，PINES D J，RAY P S，et al.Spacecraft Navigation Using X－ray Pulsar［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics.2006，29（1）：49－63.

［7］ RAY P S，SHEIHK S I，GRAVEN P H，et al.Deep Space Navigation Using Celestial X－Ray Sources［C］∥Proceedings of the 2008National Technical Meeting of the Institute of Navigation.San Diego：ION，2008：101－109.

［8］ BACKER D C：Millisecond Pulsars［J］.J Astrophys Astr，1984（5）：187－207.

［9］ KASPI V M，TAYLOR J H，RYBA M F.High－precision Timing of Millisecond Pulsar.III.Long－term Monitoring of PSRs B1885＋09and B1937＋21［J］.The Astrophysical Journal，1994，428（2）：713－728.

［10］ HUANG Zhen，LI Ming，SHUAI Ping.On Time Transfer in X－Ray Pulsar Navigation［J］.Science in China：Series E，Technological Sciences，2009，52（5）：1413－1419.

［11］ MCCARTHY D D，PETIT G.IERS Technical Note：No.32［M］.Frankfurt：IERS，2004：14－86.

［12］ SALE J，URRUELA A，VILLARES X，et al.Feasibility Study for a Spacecraft Navigaiton System Relying on Pulsar Timing Information［R］.［s.L.］：ESA，2004.

［13］ LORIMER D R，KRAMER M.Handbook of Pulsar Astronomy［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2005.

［14］ ZHAO Ming，HUANG Tianyi.An Astrometry Parsing to the Data of Pulsar Timing［J］.Science in China：Series G，2009，39（11）：1671－1677.（趙敏，黃天衣.脈沖星計時數(shù)據(jù)的天體測量解析［J］.中國科學：G輯，2009，39（11）：1671－1677.）

［15］ FEI Baojun.Application of Relativity in Modern Navigation［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2007.（費?？?相對論在現(xiàn)代導航中的應用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007.）

［16］ MAO Yue.Research on X－Ray Pulsar Navigation Algorithms［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2009.（毛悅.X射線脈沖星導航算法研究［D］.鄭州：信息工程大學，2009.）

［17］ FEI Baojun，PAN Gaotian，YAO Guozheng，et al.Arithmetic of Frequency Drift and Time Delay between Pulse Profiles in XNAV［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（Sup）：126－132.（費保俊，潘高田，姚國政，等.X射線脈沖星導航中脈沖輪廓的頻偏和時延算法［J］.測繪學報，2011，40（增刊）：126－132.）

［18］ LU Zhonglian.Theory and Method of Earth’s Gravity Field［M］.Beijing：Liberation Army Press，1996.（陸仲連.地球重力場理論與方法［M］.北京：解放軍出版社，1996.）

［19］ LIU Xuefu.Fundamental Astronomy［M］.Beijing：Higher Eduation Press，2004.（劉學富.基礎(chǔ)天文學［M］.北京：高等教育出版社，2004.）

［20］ OHANIAN H C，RUFFINI R.Gravity and Spacetime［M］.Beijing：Science Press，2006.（OHANIAN H C，RUFFINI R.引力與時空［M］.北京：科學出版社，2006.）