周擁軍，朱建軍，鄧才華

1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240；2.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙410083

1 引 言

經典測量平差方法是假設觀測誤差服從正態(tài)分布，以觀測值的加權最小二乘條件為目標函數(shù)，以觀測值與參數(shù)之間的函數(shù)模型線性化為約束條件，并根據(jù)約束條件的不同形式得到各種平差模型。文獻［1］于20世紀80年代提出了統(tǒng)一的平差模型——附限制條件的條件平差法，經典攝影測量平差理論均以此模型為基礎。由于附限制條件的條件平差問題解算較復雜，目前諸多測量平差軟件和理論大多以間接平差模型為基礎，現(xiàn)代測量平差與數(shù)據(jù)處理理論仍然是以高斯－馬爾可夫模型為核心，通過該模型在不同層面上的擴充、發(fā)展形成的若干新理論、新方法［2－3］。近年來雖然出現(xiàn)了一些擴展模型，但應用上仍相對較少［4－6］。近年來，國內外許多學者采用總體最小二乘（total least squares，TLS）估計方法解算諸如曲線擬合、坐標變換等問題［7－10］。TLS法是文獻［11］于1980年提出的對線性變量含誤差（errors－invariables，EIV）模型的參數(shù)估計方法，該方法考慮了系數(shù)矩陣的誤差，是一種不同于經典測量平差原理的新方法。文獻［12］從理論上證明：對于Y≈Dθ（Y、D分別表示含誤差的系數(shù)矩陣，θ表示待估計參數(shù)）的線性EIV模型，當增廣系數(shù)矩陣［D Y］的所有元素均服從獨立等精度分布時，TLS方法與經典最小二乘的估計結果一致。但這種假設在實際應用中往往不成立，因此需要采用加權總體最小二乘方法（weighted total least squares，WTLS）。由于實際問題中系數(shù)矩陣元素間的方差關系極為繁雜且難以準確求定，文獻［13］根據(jù)系數(shù)矩陣權的結構將加權總體最小二乘問題簡化為：廣義TLS方法、按元素獨立（element－wise）的WTLS方法、按列獨立（columnwise）的WTLS方法、按行獨立（row－wise）的WTLS方法等，在已有的應用中往往采用簡化權結構或等價權［14－16］方法解決具體問題。而許多包含不等精度觀測值的EIV模型如曲線擬合、坐標變換、直接線性變換等可近似假定條件方程間獨立或分塊獨立，從而簡化為RWTLS問題。本文以按行獨立的EIV函數(shù)模型為背景，給出了利用RWTLS方法和附參數(shù)的條件平差方法在解決該問題的原理和解算方法，證明二者的平差結果是一致的，最后以兩個典型實例驗證。

2 附未知參數(shù)的條件平差模型及其解法

對于經典測量平差問題，設觀測值的總個數(shù)為m，必要觀測數(shù)為t，此時多余觀測數(shù)r＝m－t，若引入u個獨立的參數(shù)，可以列出c＝r＋u個條件方程式，用表示觀測值真值表示參數(shù)，函數(shù)模型可表示為

由于觀測值有誤差，從而導致參數(shù)也含有誤差，因而也稱為EIV模型［11］。設觀測值Δ（L表示觀測值，Δ表示誤差），測量平差的目的就是找到最佳估計值經典測量平差理論以Δ服從數(shù)學期望為零的正態(tài)分布為前提，以C［L］∈Rm×m表示觀測值的協(xié)方差陣，L的概率密度函數(shù)為

式中

綜合式（3）、式（4）得到附參數(shù)的條件平差模型

式（5）是一個求條件極值問題，按拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的原理

式中，K∈Rc×1表示聯(lián)系數(shù)，將上式分別求V、δθ、K偏導并令其等于0，得到［1］

根據(jù)誤差傳播定律得到參數(shù)的協(xié)方差陣為

用df表示自由度，在經典測量平差問題中等于多余觀測數(shù)，即df＝r＝c－u，單位權中誤差為

3 按行獨立的加權總體最小二乘方法

簡單總體最小二乘問題通常可表示為求解一個Y≈Dθ形式的超定方程，若在函數(shù)模型中引入全部參數(shù)，此時u＝t，條件方程個數(shù)c＝r＋u＝m，即條件方程的個數(shù)等于觀測值的個數(shù)，若只考慮參數(shù)的誤差，將式（1）在參數(shù)初值處線性化，式（4）可寫成

此時，B∈Rm×n；δθ∈Rn×1；f∈Rm×1。由于m≥n，因此求解δθ的問題是一個求解超定方程解的問題。僅考慮f的誤差，在ΔfTΔf→min準則下的估計稱為簡單最小二乘估計，同時考慮B和f的誤差在tr（ΔBTΔB）＋ΔfTΔf→min準則下的參數(shù)估計稱為簡單TLS估計，得到的參數(shù)分別為［11］

文獻［11］將WTLS的解算分成兩個計算步驟，簡化為求解一個無約束條件的極值問題，用數(shù)值迭代計算來實現(xiàn)。其核心思想是不直接求系數(shù)矩陣每個元素的改正值，而是先假定參數(shù)固定，僅考慮系數(shù)矩陣的方差，經誤差的線性傳播得到殘差的方差，用殘差的加權最小二乘代替系數(shù)矩陣元素的加權最小二乘，得到參數(shù)的估值，然后進一步求出系數(shù)矩陣元素的改正值，經迭代直至收斂。令表示殘差，若不考慮參數(shù)的誤差，殘差的協(xié)因數(shù)陣為

此時Q［ri］不再是奇異矩陣，原問題等價于以下子問題

然后得到參數(shù)和系數(shù)矩陣的改正數(shù)

若要進一步求觀測值的改正數(shù)，顧及式（5）、式（10）得到

根據(jù)式（19）無法得到V的唯一解，根據(jù)最小二乘準則VTPV＝min（P＝Q－1表示觀測值的權陣），相當于經典條件平差問題，得到觀測值的改正數(shù)［1］

4 一致性證明及分析

由式（5）和式（10）得到以下關系

根據(jù)誤差傳播定律，得到殘差協(xié)因數(shù)陣的表達式應為

在總體最小二乘方法中，由于不求Ai，此時殘差的誤差不宜采用式（22）計算，若用上標“～”表示真值，則殘差與系數(shù)矩陣和觀測值之間的關系表示為

忽略高次項，得到真誤差之間的關系

在數(shù)值計算過程中，通常先考慮其中的一項誤差，即固定參數(shù)或固定系數(shù)矩陣，通過迭代方法實現(xiàn)。在經典間接平差模型中，是不考慮系數(shù)矩陣的誤差，先求出參數(shù)的改正值后再更新系數(shù)矩陣然后進行下一次迭代。而在總體最小二乘迭代算法中固定參數(shù)值，得到殘差的近似協(xié)因數(shù)陣后再求參數(shù)，然后迭代。若采用式（22）計算殘差的方差并假設各行獨立，得到殘差向量的協(xié)因數(shù)陣為Q［r］＝AQAT，顧及P［r］＝Q［r］－1，代入式（18）得到

式（26）與式（7）的解析表達式相同，從而證明RWTLS與附參數(shù)的條件平差法的結果一致。若不采用式（22）計算殘差的方差而按式（16）計算，由于滿足式（21）的線性關系，兩種計算方法得到的殘差的協(xié)因數(shù)陣相等。無論是殘差的方差還是系數(shù)矩陣元素的方差都是由觀測值的誤差傳播得到，均滿足誤差傳播律，因而RWTLS的結果與附參數(shù)的條件平差結果一致。下面針對幾種特殊情況來說明：

（1）A＝I的情況（I為單位矩陣），此時的問題為經典間接平差問題，根據(jù)誤差傳播原理，此時殘差的權即為觀測值的權，代入兩種計算方法的參數(shù)表達式，得到的結果一致。

此時即為簡單總體最小二乘問題，將Q［r］＝I代入式（18）中，得到兩種方法的計算結果一致，這符合文獻［12］的結論，即當系數(shù)矩陣的所有元素均服從獨立等精度分布時，TLS方法與經典最小二乘方法的估計結果一致。

（3）精度評定問題，按上述計算原理，RWTLS的單位權中誤差的計算式應為

5 算 例

5.1 經典測量平差算例

如圖1水準網(wǎng)，其觀測值和已知數(shù)據(jù)見表1，為保證系數(shù)矩陣各行之間不相關，先按經典間接平差方法列出誤差方程，觀測值的權取路線長度的倒數(shù)。然后按下面的計算過程進行加權總體最小二乘解算，計算結果取小數(shù)點后5位有效數(shù)字，兩種方法得到的參數(shù)和及其中誤差見表2，數(shù)據(jù)表明二者的結果是完全一致。

圖1 水準控制網(wǎng)形Fig.1 The configuration of a level control network

表1 觀測數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)Tab.1 Measurements and known data

表2 兩種方法得到的參數(shù)及其中誤差Tab.2 Estimated value and covariance with two methods m

（1）先取參數(shù)的初值HE＝29.980、HF＝30.877、HD＝30.121。按傳統(tǒng)間接平差原理得到誤差方程，此時殘差等于觀測值的改正數(shù)：r＝Bδθ－f，其中

（2）按簡單TLS方法得到參數(shù)初值。

（3）為了得到殘差的協(xié)因數(shù)陣，先計算f的協(xié)因數(shù)陣

（4）得到殘差的協(xié)因數(shù)陣

式中

（5）求出參數(shù)，本算例由于殘差的誤差不受參數(shù)影響，不需要迭代。

5.2 最小二乘擬合算例

式中

將各點分別線性化

式中

將上面的方程作為約束條件并考慮觀測值的權后得到附參數(shù)的條件平差的解算結果，由于Ai的系數(shù)與參數(shù)有關，因此也需要迭代計算。而在進行加權總體最小二乘計算時，需要得到的協(xié)方差陣，而的協(xié)方差陣是觀測值傳播得到的，其計算式為

根據(jù)上述計算步驟，取簡單TLS的結果為初值，以‖δθ‖＜10－8作為迭代結束標志，本算例一般經3～4次迭代即可收斂，模擬1000次，兩種方法得到參數(shù)及其誤差的差值都在10－9數(shù)量級以下，說明主要是數(shù)值計算誤差。表3是隨機選取的一組觀測數(shù)據(jù)，解算結果見表4（取小數(shù)點后6位有效數(shù)字），表明估計結果完全一致。

表3 模擬觀測數(shù)據(jù)Tab.3 The simulated measurements 像素

表4 不同方法的估計結果Tab.4 The results estimated by different methods

5.3 算例分析

以上選用了兩個比較典型的算例，算例1選用經典間接平差問題并且采用實測數(shù)據(jù)，由于水準測量的條件方程本身就是線性的，可以避免線性化對估計結果可能造成的影響，計算過程中不需要迭代。第2個算例選擇曲線擬合問題，采用不等精度的模擬數(shù)據(jù)，并采用迭代方法來求解，兩個算例得到的參數(shù)值及其方差完全一致。結合前面的理論分析可知：加權總體最小二乘與經典附參數(shù)的條件平差是同一模型的兩種不同解法。附參數(shù)的條件平差法以一個等式條件為約束，以原始觀測值的加權最小二乘條件為目標函數(shù)，加權總體最小二乘是以加權增廣系數(shù)矩陣的最小二乘條件為目標函數(shù)，以一個齊次線性方程為約束條件，而在計算中，將每行元素的改正數(shù)和對應的方差轉換為等價的殘差和對應的權，而這些誤差均是由觀測值的誤差傳播得來的，因而估計結果是一致的。但有些研究成果表明二者的結果并不完全一致，這可能是以下原因造成的：① 若增廣系數(shù)矩陣各元素服從獨立等精度分布，則簡單TLS估計和LS估計結果應一致，但實際應用中由于矩陣元素有很多常數(shù)，導致每個元素并非服從獨立等精度分布，從而引起差異；② 假設元素之間按行或按列獨立，殘差等精度等，而未考慮元素之間準確的相關關系；③ 未進行迭代計算；④ 單位權中誤差的計算方法不一致。

6 結 論

（1）對于EIV問題，加權總體最小二乘與經典附參數(shù)的條件平差問題估計結果一致，二者是同一測量平差問題的兩種不同解法。

（2）在進行加權總體最小二乘時，關鍵在權陣的選取，必須分清觀測值、參數(shù)、系數(shù)矩陣元素、殘差之間的誤差傳播關系，特別是矩陣元素的方差，否則將會導致總體最小二乘方法與經典平差結果不一致。

（3）由于RWTLS估計方法中，殘差與參數(shù)初值有關，因此需要迭代計算，而且需要注意參數(shù)初值可能導致的迭代發(fā)散問題。

（4）兩種估計方法雖然在理論上是一致的，但計算的復雜程度不相同，建議根據(jù)不同的函數(shù)模型選用平差方法。對于經典大地測量問題，由于線性化后系數(shù)矩陣元素的誤差關系復雜，建議選用原有經典平差方法。而對于數(shù)字攝影測量、三維激光掃描數(shù)據(jù)等中的數(shù)據(jù)擬合、坐標變換、核線估計等問題，系數(shù)矩陣大多只包含觀測值且按行分塊獨立，則選用RWTLS方法更為方便。

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