蔡赟姝， 盧志明

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072)

中國的證券市場，以1990年12月上海證券交易所和1991年4月深圳證券交易所開始營業(yè)為標(biāo)志，已走過了20多年的發(fā)展歷程.作為一個新興的發(fā)展中市場，其市場結(jié)構(gòu)、市場規(guī)則等方面還不夠成熟、規(guī)范.證券市場的穩(wěn)定對于金融市場乃至整個國民經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)運(yùn)行都具有非常重要的意義，因此，研究股票指數(shù)的變化規(guī)律及波動特性，無論是對政府部門還是對投資者都具有重要意義.股票指數(shù)是非線性、非平穩(wěn)的時間序列.我國股市數(shù)據(jù)具有時間序列短、隨機(jī)因素多、價格波動變化劇烈等特點(diǎn)［1］.這些特點(diǎn)對金融時間序列的分析提出了較高的要求，在其實(shí)證研究中需要一種更為有效的方法或工具.

近年來，金融領(lǐng)域的跨學(xué)科研究受到了廣泛關(guān)注，許多學(xué)者將數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工程等領(lǐng)域的理論、方法、技術(shù)等運(yùn)用于金融時間序列的研究，并取得了豐碩的成果［2-3］.信號分析技術(shù)作為其中的一種有力工具，已被運(yùn)用于金融時間序列的分析中.經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)方法是Huang等［4］于1998年首次提出的一種新的信號處理方法.1999年，Huang等［5］又對該方法進(jìn)行了改進(jìn).與以往的信號分析方法不同，EMD方法并不預(yù)設(shè)基函數(shù)，而是預(yù)先選擇好判據(jù)，基于信號本身所包含的特征尺度進(jìn)行分解，得到有限階內(nèi)模函數(shù)(intrinsic mode functions，IMFs).EMD方法對數(shù)據(jù)沒有平穩(wěn)性和線性的要求，具有自適應(yīng)性的特點(diǎn)，能更好地保留原有信號的特征.該方法是對傳統(tǒng)信號分析方法的發(fā)展和突破，已在自然科學(xué)、工程等領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注［5-7］，并在非線性、非平穩(wěn)數(shù)據(jù)處理中得到了更符合物理實(shí)際的解釋和說明.2003年，Huang等［8］首次將該方法引入金融時序的分析.此后，國內(nèi)外一些學(xué)者也陸續(xù)嘗試將該方法用于石油價格預(yù)測［9］、經(jīng)濟(jì)增長波動［10］、股指日收益率［11］等金融領(lǐng)域的研究，取得了較好的效果.本研究主要將該方法用于上證綜合指數(shù)(Shanghai composite index，SCI)時間序列的分析.對于上證綜合指數(shù)已有較多的研究，如自回歸(autoregressive，AR)模型，自回歸滑動平均(autoregressive moving average，ARMA)模型、單位根在內(nèi)的差分模型以及自回歸條件異方差(autoregressive conditional heteroskedasticity，ARCH)模型、廣義自回歸條件異方差(generalised autoregressive conditional heteroskedasticity，GARCH)模型等［12-13］，也獲得了較好的波動特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)結(jié)果，但這些分析方法往往是在單一尺度上進(jìn)行的，而基于EMD方法的多尺度分析更能捕捉到上證綜合指數(shù)不同尺度的波動特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)特性.

1 EMD方法簡介

內(nèi)模函數(shù)描述性定義［4-5］由以下 2點(diǎn)給出：①極值點(diǎn)的個數(shù)和過零點(diǎn)的數(shù)目相等，或者最多相差為1;②在任意一點(diǎn)，由極大值和極小值構(gòu)成的包絡(luò)的平均值為0.為了從原始信號中分解出內(nèi)模函數(shù)，Huang等［4］給出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，過程如下：①找到信號x(t)所有的極值點(diǎn);②用3次樣條曲線擬合出上下極值點(diǎn)的包絡(luò)線emax(t)和emin(t)，并求出上下包絡(luò)線的平均值，即m(t)=(emax(t)+ emin(t))/2，并在x(t)中減去它，即h(t)=x(t)-m(t);③根據(jù)預(yù)設(shè)判據(jù)，判斷h(t)是否為IMFs，如果不是，則以h(t)代替x(t)，重復(fù)步驟①和步驟②，直到h(t)滿足判據(jù)，則h(t)即為需要提取的內(nèi)模函數(shù)Ck(t);④每得到一階IMFs，就從原信號中將其扣除，重復(fù)以步驟①～步驟③，直到信號最后剩余部分rn(t)為單調(diào)序列或者常值序列.

經(jīng)過EMD方法分解，將原始信號x(t)分解成了一系列IMFs以及剩余部分的線性疊加，即

式中，Ci(t)為第i階IMF.Huang等［4］將這樣的處理過程形象地比喻為“篩”過程(sifting process).最后，原始數(shù)據(jù)序列可用這些IMFs分量以及一個均值或趨勢來表示.由于每一個IMFs分量代表一組特征尺度的數(shù)據(jù)序列，“篩”過程實(shí)際上是將原始數(shù)據(jù)序列分解為各種不同特征波形的疊加，每一個IMFs分量既可以是線性的也可以是非線性的.圖1為IMFs例子.

圖1 IMFs例子Fig.1 Example of IMFs

2 股票指數(shù)時序的EMD分解與分析

股票指數(shù)是典型的非線性、非平穩(wěn)的金融時間序列，尤其是處于成長期的我國股市數(shù)據(jù)，更具有時間序列短、隨機(jī)因素多、價格波動變化劇烈等特點(diǎn).股票指數(shù)時間序列分析方法應(yīng)與普通的信號處理方法有所不同.因此，本研究嘗試將EMD方法用于上證綜合指數(shù)日收盤價數(shù)據(jù)的處理和分析.

2.1 上證綜合日指數(shù)的EMD分解

本研究數(shù)據(jù)主要采用上證綜合指數(shù)(000001).該指數(shù)從總體上反映了上海證券交易所上市股票的價格變動情況.數(shù)據(jù)來源于新浪財(cái)經(jīng)，主要針對1994年之后上證綜合指數(shù)日收盤價數(shù)據(jù)、典型的上漲和下跌時間段的日收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解及分析.

對1994年1月3日—2010年9月30日上證綜合指數(shù)，共4 074個交易日的日收盤價格數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，共得到了9階內(nèi)模函數(shù)和剩余項(xiàng)，如圖2所示.可以發(fā)現(xiàn)，IMFs按頻率由高到低排列，分解得到的剩余部分是單調(diào)的趨勢項(xiàng).因此，用EMD方法對金融時間序列進(jìn)行處理，可以將原時間序列分解為不同尺度的分量，進(jìn)而通過對分量的研究達(dá)到研究原序列的目的.

圖2 上證綜合指數(shù)4 074個交易日收盤價格數(shù)據(jù)的EMD分解結(jié)果Fig.2 EMD results of closing price data of SCI(4 074 trading days)

IMF1的高頻振蕩能很好地刻畫上證綜合指數(shù)的波動細(xì)節(jié).直觀上可以看出，原序列的波動都能從IMF1中找到.可見，IMF1反映的是上證綜合指數(shù)日線的波動細(xì)節(jié).IMF2，IMF3能刻畫上證綜合指數(shù)日線頻率較高的波動.IMF4，IMF5能刻畫上證綜合指數(shù)日線中的高頻波動，但與IMF1～I(xiàn)MF4相比，其反映的波動細(xì)節(jié)要少.同時發(fā)現(xiàn)，在2006年下半年附近的波動幅度比之前的波動要明顯.IMF6～I(xiàn)MF9各模態(tài)的波動頻率低于IMF1～I(xiàn)MF5，其波動尺度也較大，在2007年底2008年初附近有較大幅度的波動.觀察剩余項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)其并不反映上證綜合指數(shù)日線的波動，而是一條反映大體上升趨勢的曲線.

1994年1月3日—2010年9月30日上證綜合指數(shù)日收盤價數(shù)據(jù)，經(jīng)EMD分解重構(gòu)后的波動和波動率如圖3所示.可見，在1994—1996年，波動幅度比較大，其原因主要是當(dāng)時我國股市正處于起步階段，市場較不穩(wěn)定，加之我國證券市場現(xiàn)行的漲跌停板制度是從1996年12月26日才開始實(shí)施的.這在先前僅僅通過模態(tài)重構(gòu)的絕對波動圖中是無法發(fā)現(xiàn)的.在2006—2009年期間，波動幅度也比較大.在這期間，中國股市經(jīng)歷了從未有過的大漲和大跌，2007年10月中旬一度達(dá)到6 000多點(diǎn)的高位.這一過程無論在波動率的圖中還是在各階模態(tài)中都有所體現(xiàn)，在此期間，股市具有較大的能量.

2.2 上證綜合指數(shù)及其IMF的統(tǒng)計(jì)分析

對上證綜合指數(shù)1994年1月3日—2010年9月30日的日收盤價格數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，并對分解后的各階IMFs進(jìn)行白噪聲顯著性檢驗(yàn)［14］，以判斷是否存在只包含噪聲而無其他信息的模態(tài)，結(jié)果如圖4所示，其中虛線為白噪聲理論線，實(shí)線為95%置信水平線，9個點(diǎn)分別代表實(shí)證數(shù)據(jù)IMF1～I(xiàn)MF9的檢驗(yàn)值.可見，這些值均在實(shí)線上方，表明在95%置信水平下，各階IMFs與白噪聲相比是顯著的，上證綜合日指數(shù)經(jīng)EMD分解后得到的各階IMFs都不是白噪聲，包含有一定的實(shí)際物理(經(jīng)濟(jì)學(xué))信息.

圖3 上證綜合指數(shù)日收盤價格數(shù)據(jù)經(jīng)EMD分解重構(gòu)后的IMF1～I(xiàn)MF2的波動和波動率Fig.3 Volatility and variability of closing price data of SCI based on the IMF1～I(xiàn)MF2

圖4 各階IMFs的白噪聲顯著性檢驗(yàn)Fig.4 Significance test of IMFs of white noise

對各階IMFs進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)樣本偏斜度基本對稱，峰度絕大部分均大于3.與正態(tài)分布相比，各階模態(tài)呈現(xiàn)“尖峰厚尾”的現(xiàn)象.這一結(jié)果的意義在于，大致確定了上證綜合指數(shù)各不同頻率數(shù)據(jù)的分布形狀.

由于t分布的概率密度函數(shù)比正態(tài)分布具有更厚的尾部，因此，嘗試用t分布來描述各階IMFs的厚尾特性.自由度為n的t分布的概率密度函數(shù)為

繪制Quantiles-Quantiles(Q-Q)圖對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，實(shí)證數(shù)據(jù)根據(jù)理論分布繪制出的點(diǎn)應(yīng)近似為一條直線，任何偏離這條直線的點(diǎn)都是偏離了該規(guī)定的分布.圖5為用正態(tài)分布繪制的IMF1和IMF2的Q-Q圖，可見明顯不在一條直線上.圖6為自由度n=3的t分布(記為t(3))的Q-Q圖，可見，除了端部，幾乎都在一條直線上.其他各階IMFs也有類似結(jié)果.通過對比Q-Q圖可以發(fā)現(xiàn)，用t(3)分布擬合好于用正態(tài)分布擬合.

圖5 基于正態(tài)分布的上證綜合日指數(shù)IMF1和IMF2的Q-Q圖Fig.5 Q-Q plot of IMF1 and IMF2 of SCI based on normal distribution

2.3 上證綜合指數(shù)及其IMFs的周期性分析

通過觀察上證綜合指數(shù)的EMD分解結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，上證綜合指數(shù)及其IMFs的變動有一定的周期性，并且不同的IMFs反映了不同時間尺度上的波動信息.例如，對上證綜合日指數(shù)收盤價數(shù)據(jù)經(jīng)EMD分解后的各階IMFs進(jìn)行重構(gòu)，通過IMF3+IMF4+ IMF5+IMF6+IMF7+IMF8+IMF9+RES所得的曲線(見圖7(a))與計(jì)算得到的周平均指數(shù)曲線(見圖7(b))相似;通過 IMF5+IMF6+IMF7+IMF8+ IMF9+RES所得的曲線與計(jì)算所得的月平均指數(shù)曲線類似.這表明，EMD方法能夠提取金融時序中不同波動周期的分量.研究股市波動的各個周期，了解上證綜合指數(shù)的各種周期特征，無論是對于投資者還是政府部門都具有非常大的現(xiàn)實(shí)意義.

圖6 基于t(3)分布的上證綜合日指數(shù)IMF1和IMF2的Q-Q圖Fig.6 Q-Q plot of IMF1 and IMF2 of SCI based on t(3)distribution

圖7 重構(gòu)的IMF3～RES所得曲線和周平均指數(shù)曲線Fig.7 Curves of reconstruction of the data from the sum of IMF3～RES and weekly averaged index

本研究運(yùn)用平均周期法來計(jì)算上證綜合指數(shù)經(jīng)EMD分解后的各階IMFs的周期.平均周期法是根據(jù)波峰和波谷的數(shù)目給出上證綜合指數(shù)的震蕩周期，即

式中，N1為時間序列中的數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)，N2為極大值點(diǎn)個數(shù)或極小值點(diǎn)個數(shù).

通過計(jì)算1994年1月3日—2010年9月30日上證綜合日指數(shù)經(jīng)EMD分解后的各階IMFs的周期(見表1)，發(fā)現(xiàn)各時間尺度依次遞增，其中IMF2，IMF4和IMF6的平均周期分別為6.870，33.950和162.960 d，表明這3個模態(tài)大致反映了周、月和半年尺度上的波動.

表1 上證綜合指數(shù)各階IMFs的周期Table 1 Periods of the IMFs of SCI

此外，通過對上證綜合指數(shù)上漲階段(2005年12月12日—2007年10月15日)和下跌階段(2007年10月24日—2008年10月16日)的日收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行周期性分析，發(fā)現(xiàn)在上漲和下跌過程中，各階IMFs具有較好的周期性特征，具體結(jié)果如表2所示.為進(jìn)一步觀察典型的上漲和下跌過程的波動特點(diǎn)，繪制了這兩個階段的波動率圖(見圖8).可以看到，上漲初期的波動幅度比較小，隨著上漲過程的推進(jìn)，幅度逐漸增大;下跌過程則表現(xiàn)出更為明顯的震蕩，且幅度大于上漲過程.結(jié)合各階IMFs的周期、標(biāo)準(zhǔn)差(見表3)及波動率等結(jié)果，從整體指數(shù)走勢來看，指數(shù)下跌過程快于上漲過程，且下跌時間段各階IMFs的周期、波幅均大于上漲時間段，其差值也隨著IMFs階數(shù)的增大逐漸增大.

表2 上證綜合指數(shù)典型上漲和下跌階段各階IMFs的周期Table 2 Periods of the IMFs on typical rising and dropping processes of SCI

表3 上證綜合指數(shù)典型上漲和下跌階段各階IMFs的標(biāo)準(zhǔn)差Table 3 Standard deviations of the IMFs on typical rising and dropping processes of SCI

圖8 上證綜合指數(shù)典型上漲和下跌階段的指數(shù)和波動率Fig.8 Index and variability on typical rising and dropping processes of SCI

3 結(jié)束語

EMD方法基于信號本身所包含的尺度進(jìn)行分解，具有良好的自適應(yīng)性，對數(shù)據(jù)沒有線性和平穩(wěn)性的要求.本研究將EMD方法用于非線性、非平穩(wěn)特性的金融時間序列分析，將上證綜合日收盤價指數(shù)分解為多個不同尺度的IMFs和剩余項(xiàng).研究結(jié)果表明，通過對分解后各階IMFs進(jìn)行白噪聲顯著性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)并不存在白噪聲的模態(tài)，各模態(tài)包含著一定的實(shí)際物理(經(jīng)濟(jì)學(xué))信息.隨后，對各模態(tài)進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)分析和分布擬合，發(fā)現(xiàn)其“尖峰厚尾”的特點(diǎn)基本服從自由度為3的t分布.通過對各階IMFs進(jìn)行周期性分析，運(yùn)用平均周期法計(jì)算各階IMFs的周期，揭示了各階模態(tài)間不同的波動信息，并得到了周、月、半年等相關(guān)時間尺度的波動特點(diǎn)，這表明EMD方法可以有效地提取金融時序中不同波動周期的分量.此外，對典型上漲和下跌階段的周期性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)不同尺度的模態(tài)在這兩個階段都具有較好的周期性特點(diǎn)，上漲初期的波動幅度比較小，隨著上漲過程的推進(jìn)，幅度逐漸增大.從整體指數(shù)走勢來看，指數(shù)下跌過程快于上漲過程，且下跌時間段各階IMFs的周期、波幅均大于上漲時間段.

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