王亞東，袁緒龍，張宇文，劉維

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安710072)

0 引言

潛射導(dǎo)彈以其隱蔽性等優(yōu)勢為各大軍事強(qiáng)國所重視。由潛艇發(fā)射后，導(dǎo)彈需要跨越水介質(zhì)至空中再進(jìn)入預(yù)定彈道。在水下航行過程中，導(dǎo)彈會(huì)受海洋表面波浪的影響運(yùn)動(dòng)參數(shù)會(huì)產(chǎn)生擾動(dòng)，參數(shù)變化導(dǎo)致導(dǎo)彈出水后空中彈道初始條件不可預(yù)測，較差的條件甚至?xí)?dǎo)致導(dǎo)彈發(fā)射失敗。

目前對(duì)水下潛體［1－2］和水面艦船及其海洋結(jié)構(gòu)物［3－5］的波浪力研究比較充分，也獲得了一定的試驗(yàn)數(shù)據(jù)［6］。但對(duì)于潛射導(dǎo)彈等跨介質(zhì)武器的波浪擾動(dòng)效應(yīng)研究仍鮮有文章發(fā)表，特別是未針對(duì)地給出導(dǎo)彈在不同深度下波浪影響程度大小。

本文采用雙疊加模型，以Pierson－Moscowitz 譜和SWOP 方向分布函數(shù)為基礎(chǔ)建立隨機(jī)波浪數(shù)學(xué)描述，使用切片法求解導(dǎo)彈所受波浪擾動(dòng)力。仿真了波浪對(duì)導(dǎo)彈出水運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響，并就海況、海浪主浪向等參數(shù)變化時(shí)波浪對(duì)導(dǎo)彈影響的差異進(jìn)行了研究，給出了這些參數(shù)影響的變化趨勢。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)

海浪運(yùn)動(dòng)是空間和時(shí)間上均不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，且海浪受邊界條件和外界擾動(dòng)等諸多因素影響。為了研究問題方便，需要對(duì)實(shí)際海浪做以下假設(shè)［7］以利于模型建立:

1)流體是不可壓縮的、理想的;

2)流體的深度是無限的;

3)導(dǎo)彈的直徑和波長相比為小量，可做長波近似。

1.2 波浪模型

19世紀(jì)40年代開始，出現(xiàn)了用隨機(jī)過程來研究海浪的方法，即譜分析法。大量的理論分析和觀測結(jié)果證明海浪可以用窄頻帶譜的正態(tài)隨機(jī)過程來描述，在此基礎(chǔ)上人們提出了許多描述波浪的模型，其中應(yīng)用較為廣泛的為Longuet－Higgins 模型以及考慮方向譜的雙疊加模型。

Longuet－Higgins 模型認(rèn)為海上某一固定點(diǎn)(x0，z0)在t 時(shí)刻波面高度由許多個(gè)余弦波疊加而成，由下式表達(dá):

式中:An，ωn，kn，εn分別表示第n 個(gè)余弦組成波的振幅、圓頻率、波數(shù)和初始相位;γ 為浪向角;(x0，z0)為空間位置;t 為時(shí)間。其中εn取0～2π 范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

上述模型僅考慮了主風(fēng)向上的海浪，但實(shí)際的海浪是由來自多個(gè)方向的一系列波浪混合而成，考慮方向，采用如下雙疊加模型:

根據(jù)頻譜分析，可知An，m滿足以下關(guān)系:

式中S(ω，γ)稱為譜能密度，其表達(dá)方式如下:

式中S(ω)和G(ω，γ)分別為波浪頻譜和方向分布函數(shù)。

目前較常見的海浪頻譜有Bretschneider 譜、Pierson－Moscowitz(P－M)譜、JONSWAP 譜和Neumann譜。P－M 譜為經(jīng)驗(yàn)譜，其依據(jù)的資料比較充分，分析方法合理，在海洋工程和船舶工程中使用廣泛，本文使用該頻譜進(jìn)行計(jì)算，其表達(dá)式［7］為:

式中:vw為自由表面以上19.5 m 標(biāo)準(zhǔn)高度處的風(fēng)速;C1，C2為無量綱參數(shù)，最常用的值為C1=8.1 ×10－3，C2=0.74;g 為重力加速度。

方向分布函數(shù)選用波浪立體觀測計(jì)劃SWOP的公式:

式中:p，q 為中間變量，其求解方法為p = 0.5 +其中譜峰頻率ωmax由頻率譜S(ω)對(duì)頻率的偏導(dǎo)數(shù)為0 求得:

于是根據(jù)(3)式，離散化得:

采用復(fù)數(shù)來表示以上結(jié)果，可得:

式中φ'0為臨時(shí)變量。

利用上述數(shù)學(xué)模型構(gòu)建仿真所需的隨機(jī)波浪，頻率區(qū)間取30 份、浪向角區(qū)間取36 份，得4 級(jí)海況下海浪分布如圖1所示，顯示了描述隨機(jī)波浪的離散波浪幅值在頻率、浪向角上的分布。

1.3 波浪力計(jì)算模型

波浪對(duì)導(dǎo)彈的力可分為由波浪運(yùn)動(dòng)引起的附加壓力場作用于彈體表面的定常力及波浪非定常運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的慣性力兩部分。將波浪復(fù)勢利用坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)置導(dǎo)彈體坐標(biāo)系內(nèi)，可分別求解上述兩種類型力。

波浪在水下產(chǎn)生的附加壓力場為

式中:v 為導(dǎo)彈的速度;ρ 為流體密度。

該壓力場對(duì)單位長度的切片產(chǎn)生的在導(dǎo)彈體坐

圖1 波浪幅值分布Fig.1 Distribution of wave amplitude

標(biāo)系y、z 方向的力為:

式中，S(x)為導(dǎo)彈某切片的橫截面積。

波浪運(yùn)動(dòng)中，水下的流體質(zhì)點(diǎn)作非定常運(yùn)動(dòng)，這將對(duì)導(dǎo)彈產(chǎn)生附加慣性力。導(dǎo)彈單位長度切片在體坐標(biāo)系y、z 方向的附加慣性力為:

式中:v'y，v'z為切片中心處流體質(zhì)點(diǎn)由于波浪產(chǎn)生的在體坐標(biāo)系y、z 方向的擾動(dòng)速度;Sey(x)，Sez(x)為單位長度切片的附加質(zhì)量。

以上得到了導(dǎo)彈各切片在波浪作用下的壓力場力和附加質(zhì)量力。由此可得導(dǎo)彈體坐標(biāo)系中總的力和力矩為:

式中，取Y，Z，My，Mz的實(shí)部即為波浪運(yùn)動(dòng)作用在導(dǎo)彈體坐標(biāo)系下的力和力矩。

(11)式離散化后，可采用切片法求解。切片的原則為在頭部、尾部形狀變化較大處切分較細(xì);在平行中體可適當(dāng)減小切分份數(shù)。一般說來，切片總數(shù)增加可以提高計(jì)算精度，實(shí)際計(jì)算表明，切片總數(shù)達(dá)到90 左右，切片個(gè)數(shù)對(duì)波浪力計(jì)算精度的影響己可忽略不計(jì)。每一切片橫截面的擾流可局部地看作二元流動(dòng)，切片的附加質(zhì)量與幾何形狀有關(guān)，簡單的二元附加質(zhì)量系數(shù)可根據(jù)無限長圓柱附加質(zhì)量系數(shù)用保角變換求出。

1.4 水彈道方程

潛射導(dǎo)彈水彈道方程由動(dòng)力學(xué)方程組和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組組成，其中動(dòng)力學(xué)方程組根據(jù)動(dòng)量和動(dòng)量矩定理建立，如(12)式所示:

式中:Amλ為慣性矩陣;Avω為速度矩陣;AFM為力矩陣。

導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)描述為浮心平動(dòng)和彈體轉(zhuǎn)動(dòng)，平動(dòng)方程組如(13)式所示:

彈體轉(zhuǎn)動(dòng)方程如(14)式所示，描述θ，ψ，φ 三個(gè)歐拉角的變化(使用反歐拉角定義以避免垂直發(fā)射引起的角度奇異):

再加上攻角α、側(cè)滑角β 和速度v 的定義(15)式:

聯(lián)立(12)式～(15)式可得潛射導(dǎo)彈水下彈道方程組。

2 仿真結(jié)果

2.1 統(tǒng)計(jì)方法

本文主要考查波浪對(duì)水下垂直發(fā)射、無控制導(dǎo)彈彈道參數(shù)影響，研究方法為計(jì)算無波浪作用下標(biāo)準(zhǔn)彈道和存在波浪擾動(dòng)彈道，求得波浪擾動(dòng)下參數(shù)偏差來探究影響大小。

實(shí)際中充分發(fā)展的波浪是一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，在出水運(yùn)動(dòng)過程中作用在導(dǎo)彈上的波浪相位、主浪向等參數(shù)不盡相同，如圖2所示。而工程中最關(guān)心的是導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)經(jīng)過某一深度時(shí)特定參數(shù)在有無波浪條件下極限偏差大小以判定波浪影響是否可以接受，因此對(duì)于導(dǎo)彈垂直發(fā)射彈道波浪影響的個(gè)例計(jì)算意義不大。

圖2 導(dǎo)彈與波面相對(duì)位置關(guān)系Fig.2 Relative positions between missile and wave surface

為解決以上問題，本文采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法獲取波浪對(duì)導(dǎo)彈垂直發(fā)射水彈道影響，借鑒蒙特卡洛法思想，利用隨機(jī)數(shù)序列生成不同初始參數(shù)波浪進(jìn)行仿真，以構(gòu)造真實(shí)中彈體和波面的各種不同位置，進(jìn)而分析波浪對(duì)參數(shù)極限偏差的影響。此法需要對(duì)同一工況進(jìn)行大量計(jì)算，計(jì)算次數(shù)的選擇根據(jù)預(yù)試獲取，本文選用200 次計(jì)算，經(jīng)校驗(yàn):200 次計(jì)算和800 次計(jì)算結(jié)果誤差很小，保證了計(jì)算結(jié)果的代表性和經(jīng)濟(jì)性。

結(jié)果分析方法:對(duì)于多次計(jì)算結(jié)果的各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，均減去不考慮波浪影響的標(biāo)準(zhǔn)彈道相應(yīng)位置處的參數(shù)得到參數(shù)偏差，而后對(duì)于彈道中對(duì)應(yīng)的每個(gè)深度位置取200 條彈道參數(shù)偏差的最大值，繪制參數(shù)偏差量最大值隨深度變化曲線，給出海浪影響在彈道不同深度下的最大擾動(dòng)。該圖表給出了導(dǎo)彈在出水過程中經(jīng)過的各個(gè)深度下彈體運(yùn)動(dòng)參數(shù)受波浪影響的偏差極值。

波浪對(duì)導(dǎo)彈水彈道的各項(xiàng)參數(shù)均有影響，本文取某口徑導(dǎo)彈為計(jì)算對(duì)象，就垂直發(fā)射離艇至出水過程中所關(guān)心的攻角、俯仰角速度、偏航角速度等值從海況級(jí)別影響、海浪主浪向影響等方面探究波浪對(duì)導(dǎo)彈水彈道影響。

根據(jù)以上研究目的，制訂計(jì)算工況如表1所示。

表1 計(jì)算工況Tab.1 Calculating Conditions

2.2 波浪對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)影響規(guī)律

取表1中編號(hào)2 對(duì)應(yīng)工況，考究波浪作用下導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)相對(duì)無波浪標(biāo)準(zhǔn)彈道的偏差，并分析不同深度下偏差大小關(guān)系。

仿真結(jié)果表明波浪作用下導(dǎo)彈各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)均發(fā)生了改變，且參數(shù)偏差隨導(dǎo)彈深度減小顯著增大。此處列出該工況下影響較大的幾個(gè)參數(shù)偏差隨深度(定義水下深度為負(fù)值)變化曲線。

如圖3所示，在波浪作用下導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)最大偏差隨深度均滿足三次多項(xiàng)式關(guān)系，深度減小，參數(shù)偏差顯著增大，在導(dǎo)彈近水面時(shí)達(dá)到極值，該規(guī)律驗(yàn)證了波浪能量的表面性。

2.3 海浪參數(shù)影響分析

由2.2 節(jié)可知，在波浪作用下，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)在不同深度下的最大偏差呈三次多項(xiàng)式關(guān)系，在近水面處達(dá)到最大，彈道設(shè)計(jì)時(shí)最關(guān)心的是整個(gè)水下彈道參數(shù)受波浪影響的最大值，以確定彈道品質(zhì)是否符合要求。本節(jié)針對(duì)常用的波浪參數(shù)進(jìn)行了仿真，給出了各條件對(duì)應(yīng)的彈道參數(shù)偏差最大值，以供設(shè)計(jì)人員參考。

首先取導(dǎo)彈典型初始速度15 m/s，發(fā)射艇速2 kn，分別計(jì)算3、4、5 級(jí)海況下導(dǎo)彈從水下30 m 發(fā)射至頭部觸水過程，列出不同海況下參數(shù)最大偏差在導(dǎo)彈頭部觸水時(shí)刻值，如表2所示。

表2 不同海況下偏差最大值Tab.2 Max parameter deviations vs.sea level

如圖4所示，很明顯海況級(jí)別越高，對(duì)彈道參數(shù)偏差影響程度越大，且參數(shù)最大偏差值與海況呈近似線性關(guān)系。因?yàn)楹r越高，波浪引起的流體微元運(yùn)動(dòng)越劇烈，作用在導(dǎo)彈上的附加壓力場和附加慣性力也越大。該系列計(jì)算的波浪方向?yàn)橛?，故海況越高，波浪力作用越大，引起的附加攻角和俯仰角速度也就越大。

變更主浪向，以獲得不同方向入射的波浪對(duì)導(dǎo)彈水彈道參數(shù)影響。前述仿真結(jié)果海浪均為0 度主浪向(迎浪)，此處仍以15 m/s 發(fā)射速度，2 kn 發(fā)射艇速，4 級(jí)海況為基礎(chǔ)，計(jì)算主浪向角分別為0°、45°(首斜浪)、90°(橫浪)導(dǎo)彈發(fā)射至頭部觸水過程，獲得不同主浪向下參數(shù)最大偏差在導(dǎo)彈頭部觸水時(shí)刻值，如表3所示。

圖4 參數(shù)最大偏差隨海況變化Fig.4 Max parameter deviations vs.sea level

表3 不同主浪向下偏差最大值Tab.3 Max parameter deviations vs.main wave direction

從偏航運(yùn)動(dòng)參數(shù)差異判別主浪向角影響，如圖5所示，隨著夾角增大，波浪對(duì)導(dǎo)彈偏航參數(shù)影響增大，90°主浪向角入射使導(dǎo)彈水彈道參數(shù)偏離無波浪導(dǎo)彈程度最大。波浪主浪向決定波浪對(duì)彈體作用的主方向，迎浪引起的攻角偏差和俯仰角速度偏差最大，橫浪引起的側(cè)滑角偏差和側(cè)向偏距最大。彈體位置和姿態(tài)確定的情況下，彈體各向參數(shù)受波浪作用取決于波浪入射角度。

圖5 參數(shù)最大偏差隨主浪向變化Fig.5 Max parameter deviations vs.main wave direction

3 結(jié)論

波浪作為擾動(dòng)源作用在水下運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)彈上會(huì)影響彈道品質(zhì)，特別對(duì)于無控導(dǎo)彈，波浪會(huì)造成較大的出水參數(shù)偏差，有必要最大程度真實(shí)地模擬波浪作用。常規(guī)波浪力計(jì)算通常只考慮單方向入射的隨機(jī)波，計(jì)算結(jié)果偏于保守，為了使彈道滿足要求，需要較大的設(shè)計(jì)裕度，增加了成本及實(shí)施難度。

本文采用P－M 頻譜，增加了SWOP 方向譜來構(gòu)建更趨近于現(xiàn)實(shí)的波浪數(shù)學(xué)描述，采用切片法計(jì)算波浪擾動(dòng)力。利用該成熟算法結(jié)合蒙特卡洛思想用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算波浪擾動(dòng)引起的參數(shù)最大偏差，并給出了不同海況、主浪向條件下波浪擾動(dòng)引起的參數(shù)偏差極值，結(jié)論如下:

1)海浪擾動(dòng)作用在彈體上會(huì)引起可觀的參數(shù)偏差，導(dǎo)彈頭部觸水時(shí)刻4 級(jí)海況波浪引起的攻角偏差可達(dá)1.9°，俯仰角偏差達(dá)5.97°，出水位置偏距達(dá)1.1 m;

2)統(tǒng)計(jì)方法得到的彈道最大參數(shù)偏差隨深度變化滿足三次多項(xiàng)式關(guān)系，波浪作用隨水深減小顯著增大;

3)海況越高，波浪對(duì)參數(shù)偏差影響越大，受影響的主參數(shù)偏差數(shù)值隨海況增加呈近似線性增大趨勢;

4)主浪向決定了波浪能量的主作用方向，主浪向方向上的彈體運(yùn)動(dòng)參數(shù)受影響最大，影響程度隨角度呈近似線性衰減/增加趨勢。

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