王中杰，易總根

（同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海201804）

隨著通信網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，基于網(wǎng)絡(luò)的反饋控制系統(tǒng)（NCS）受到越來(lái)越多的關(guān)注［1－2］.在NCS中，從傳感器節(jié)點(diǎn)到控制節(jié)點(diǎn)和從控制節(jié)點(diǎn)到執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)傳輸與通信都必須通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行.而與此同時(shí)，由于微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）技術(shù)的發(fā)展，無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)（WSN）的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛［3］.在WSN中，傳感器節(jié)點(diǎn)感知并且收集數(shù)據(jù)然后發(fā)送給中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行處理從而實(shí)現(xiàn)對(duì)物理系統(tǒng)的感知.由于網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，對(duì)這種類型的系統(tǒng)進(jìn)行物理狀態(tài)的估計(jì)與傳統(tǒng)方法有許多不同之處.

由于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的復(fù)雜性，比如網(wǎng)絡(luò)帶寬的有限性和網(wǎng)絡(luò)的共享性，使得網(wǎng)絡(luò)通信中總會(huì)存在不可靠性和不確定性.通常這些不確定性包括隨機(jī)的延時(shí)、數(shù)據(jù)包丟失和測(cè)量失效.本文只考慮網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟包情形下的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.對(duì)于該問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］提出了一個(gè)用于間斷觀測(cè)的Kalman濾波器，對(duì)估計(jì)誤差的統(tǒng)計(jì)收斂屬性進(jìn)行了研究，并且證明了在一定觀測(cè)到達(dá)率下的存在性，而超過(guò)一定的閾值后誤差將會(huì)發(fā)散.文獻(xiàn)［5］從部分觀測(cè)損失的方面提出了一種Kalman濾波，并且導(dǎo)出了適用于該情況下的濾波更新過(guò)程.文獻(xiàn)［6］對(duì)數(shù)據(jù)包丟失進(jìn)行了較為詳細(xì)的描述與定義，并給出了一個(gè)考慮數(shù)據(jù)丟包的數(shù)學(xué)模型，基于這個(gè)模型設(shè)計(jì)了最優(yōu)Η2濾波器.文獻(xiàn)［7］將隨機(jī)丟包率轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)中的一個(gè)隨機(jī)參數(shù)，推導(dǎo)出了一種考慮隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)輸入的通用Η∞范數(shù)濾波方法.在噪聲是獨(dú)立的時(shí)不變情況下，文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了最優(yōu)的全階和降階的狀態(tài)估計(jì)器對(duì)具有數(shù)據(jù)包丟失的離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì).文獻(xiàn)［9］考慮了多數(shù)據(jù)包丟失的情況，并且在離散時(shí)間隨機(jī)線性系統(tǒng)的框架下將這種情況轉(zhuǎn)換為一個(gè)測(cè)量延時(shí)和滑動(dòng)平均測(cè)量噪聲，并且基于此設(shè)計(jì)了無(wú)偏的最優(yōu)濾波器.文獻(xiàn)［10］從概率角度考慮具有網(wǎng)絡(luò)丟包的離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.文獻(xiàn)［11］從Markov鏈的角度提出了一個(gè)模型，該模型綜合考慮了隨機(jī)延時(shí)、數(shù)據(jù)包丟失和測(cè)量失效，并且基于此設(shè)計(jì)得到最優(yōu)Kalman濾波器.文獻(xiàn)［12］通過(guò)概率權(quán)值的方法得到了一個(gè)適用于具有多數(shù)據(jù)包丟失特性的非線性系統(tǒng)的非線性濾波器.文獻(xiàn)［13］中將隨機(jī)多數(shù)據(jù)包丟失假定為服從Bernoulli分布，并且設(shè)計(jì)了一種基于零均值高斯白噪聲的Kalman濾波器.

盡管已經(jīng)提出了很多關(guān)于網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失的處理算法，但是大多數(shù)算法都不具有魯棒性或者魯棒性還不夠，比如有些必須知道丟包率大小［12］.當(dāng)然也有一些具有魯棒特性較好的算法，比如文獻(xiàn)［6］和［7］中的算法，但是這兩種算法的求解過(guò)程必須計(jì)算相對(duì)比較復(fù)雜的線性矩陣不等式（LMI）問(wèn)題，尤其是當(dāng)狀態(tài)維數(shù)較大的時(shí)候，計(jì)算量會(huì)比較大，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)受到一定的限制.即使是線性模型，當(dāng)有數(shù)據(jù)包丟失時(shí)魯棒狀態(tài)估計(jì)會(huì)使得其變成一個(gè)非線性問(wèn)題，也會(huì)造成算法的計(jì)算量上升.因此，為了在滿足一定魯棒性要求的前提下獲得更高的計(jì)算效率，可以將魯棒估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有更高求解效率的二次型規(guī)劃問(wèn)題（Quadratic Programming，QP）［14－16］.

本文給出了一種網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失情況下狀態(tài)估計(jì)的數(shù)學(xué)模型描述，目的是將該魯棒狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量?jī)?yōu)化問(wèn)題，通過(guò)標(biāo)量化方法將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次型規(guī)劃問(wèn)題.考慮到求解算法上的高效性，最后將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l1正則化最小平方問(wèn)題（l1－regularized least squares problem）求解.進(jìn)一步加入動(dòng)態(tài)更新過(guò)程就形成本文提出的基于二次型規(guī)劃的魯棒狀態(tài)估計(jì)算法（Robust State Estimation Based on Quadratic Programming，RSE＿QP）.

1 問(wèn)題描述

在狀態(tài)估計(jì)過(guò)程中，首先要假定物理過(guò)程數(shù)學(xué)模型是已知的.通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)模型，能夠獲得狀態(tài)預(yù)測(cè)值.但是在實(shí)際的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，許多噪聲信號(hào)會(huì)使真實(shí)的狀態(tài)值與理論值不同.因此就需要一個(gè)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行動(dòng)態(tài)估計(jì)的濾波器，并且必須保證對(duì)系統(tǒng)噪聲影響的魯棒性.而其中最基本的思想是通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器使得狀態(tài)預(yù)測(cè)值與估計(jì)值之間誤差最小，這樣就能得到最優(yōu)的狀態(tài)估計(jì).圖1對(duì)狀態(tài)估計(jì)原理進(jìn)行了簡(jiǎn)單描述.

圖1 狀態(tài)估計(jì)原理圖Fig.1 State estimation process

1.1 模型

式中：A∈Rn×n；C∈Rm×n；x（k）∈Rn是狀態(tài)向量；y（k）∈Rm是量測(cè)輸出；｛w（k）｝和｛v（k）｝是穩(wěn)態(tài)、零均值離散高斯白噪聲過(guò)程，w（k）～N（0，W）是輸入噪聲，v（k）～N（0，V）是量測(cè)輸出噪聲，其中W和V為對(duì)應(yīng)的方差值.

當(dāng)物理過(guò)程與濾波器之間存在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境時(shí)，數(shù)據(jù)包的丟失必然存在.上面的模型是無(wú)法描述這樣的情況的.如果要將網(wǎng)絡(luò)丟包考慮到數(shù)學(xué)模型中，必須對(duì)上面的模型進(jìn)行一定的修正，使用文獻(xiàn)［14］中類似的方法，可以得到下面的模型：

式中增加項(xiàng)u（k）∈Rm是為了描述網(wǎng)絡(luò)丟包的.在這個(gè)模型中，u（k）的值是可以調(diào)整的，這樣可以模擬網(wǎng)絡(luò)丟包現(xiàn)象.在時(shí)刻k，當(dāng)沒(méi)有丟包時(shí)，u（k）＝0；當(dāng)有丟包時(shí)，u（k）的值可以使得y（k）的某些分量的值為0，即存在丟包.由于一般情況下網(wǎng)絡(luò)丟包的概率相對(duì)比較小，所以可以假定向量u（k）是稀疏的.

1.2 問(wèn)題轉(zhuǎn)化

存在這樣一個(gè)事實(shí)，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)可觀測(cè)時(shí)，必須通過(guò)量測(cè)輸出y（k）來(lái)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).為了使?fàn)顟B(tài)估計(jì)更加準(zhǔn)確，除了要考慮狀態(tài)誤差，y（k）理論值與實(shí)測(cè)值之間的誤差應(yīng)該盡可能小.因此，當(dāng)要對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)與跟蹤時(shí)，必須考慮輸出誤差的衡量和狀態(tài)誤差的衡量.定義輸出誤差的目標(biāo)函數(shù)為J1，狀態(tài)誤差的目標(biāo)函數(shù)為J2.

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，輸出誤差的目標(biāo)函數(shù)J1可以表示為

式中：h為一個(gè)調(diào)整參數(shù).

由于v（k）＝y(tǒng)（k）－C′x′（k）

因此優(yōu)化問(wèn)題（6）可以被用來(lái)衡量輸出誤差的最優(yōu)值.

在標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波中，存在一個(gè)如下形式的狀態(tài)更新過(guò)程：

其中xk｜k－1是時(shí)刻k時(shí)的狀態(tài)預(yù)測(cè)值，而xk－1｜k－1是時(shí)刻k－1時(shí)的狀態(tài)估計(jì)值.為了得到時(shí)刻k時(shí)的狀態(tài)估計(jì)值，可以使用下面形式的目標(biāo)函數(shù)來(lái)衡量：

其中Pk｜k－1是時(shí)刻k時(shí)的狀態(tài)估計(jì)誤差的先驗(yàn)協(xié)方差矩陣.通過(guò)上面的目標(biāo)函數(shù)，狀態(tài)的估計(jì)值可以通過(guò)下面的二次型優(yōu)化問(wèn)題求解得到.

通過(guò)上面的討論，如果必須同時(shí)考慮輸出誤差與狀態(tài)誤差兩部分，即必須要獲得這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小值，這個(gè)問(wèn)題就成為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，也是一種向量?jī)?yōu)化的問(wèn)題［17］.因此，考慮網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失的魯棒估計(jì)問(wèn)題可以描述成一個(gè)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題.下面用相應(yīng)的向量?jī)?yōu)化問(wèn)題來(lái)近似描述該魯棒狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，首先定義一個(gè)向量函數(shù)J，有

然后可以得到該魯棒狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的向量?jī)?yōu)化表達(dá)形式

為了得到時(shí)刻k的狀態(tài)估計(jì)值，必須在已經(jīng)得到的時(shí)刻k－1的狀態(tài)估計(jì)值xk－1｜k－1基礎(chǔ)上對(duì)上述向量?jī)?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，得到向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)值［17］.必須指出的是，通過(guò)該形式獲得的估計(jì)值無(wú)法從理論上證明其為最優(yōu)估計(jì)值，只是一個(gè)近似最優(yōu)估計(jì)值，但可以使得這個(gè)魯棒估計(jì)問(wèn)題在求解效率上有很大的提高.

2 RSE＿QP算法

對(duì)于一個(gè)完整的狀態(tài)估計(jì)與跟蹤算法，必須包括當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)與狀態(tài)更新過(guò)程.其中當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)就是要對(duì)上述向量?jī)?yōu)化問(wèn)題模型進(jìn)行求解，首先要將向量?jī)?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題，然后對(duì)該標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題求解最優(yōu)值得到當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值.

2.1 標(biāo)量化

有很多種方法可以對(duì)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解.而在這些方法中，標(biāo)量化（scalarization）方法較簡(jiǎn)單也較實(shí)用.通過(guò)標(biāo)量化方法可以將向量?jī)?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)普通標(biāo)量形式的優(yōu)化問(wèn)題，并且可以得到該問(wèn)題的Pareto最優(yōu)值.下面是轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

式中：θ1和θ2可以被認(rèn)為是在優(yōu)化過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)J中兩部分的權(quán)重值.定義λ＝θ1h，可得

上述的向量?jī)?yōu)化問(wèn)題（10）可以等價(jià)為下面的標(biāo)量二次型優(yōu)化問(wèn)題.

2.2 更新過(guò)程

進(jìn)行上述標(biāo)量化過(guò)程以后，得到的優(yōu)化問(wèn)題（13）是一個(gè)典型的二次型規(guī)劃問(wèn)題.而對(duì)該二次型優(yōu)化問(wèn)題求解時(shí)，只能得到時(shí)刻k的狀態(tài)估計(jì)值，相當(dāng)于一個(gè)靜態(tài)估計(jì)過(guò)程.如果要對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)跟蹤與估計(jì)，必須要有每個(gè)時(shí)刻的更新過(guò)程.本文借助標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波更新過(guò)程來(lái)對(duì)每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)誤差協(xié)方差Pk｜k和增益矩陣K進(jìn)行更新，更新過(guò)程的方程如下.

狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為

狀態(tài)誤差協(xié)方差預(yù)測(cè)方程為

Kalman增益方程為

狀態(tài)更新方程為

狀態(tài)估計(jì)誤差后驗(yàn)協(xié)方差矩陣更新方程為

2.3 優(yōu)化問(wèn)題求解

對(duì)于上述二次型優(yōu)化問(wèn)題，求解的方法可以有很多種.為了尋求一種效率更高，通用性更好的方法.本文通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化，使得求解變得相對(duì)直接并且高效.在本文中，優(yōu)化問(wèn)題（13）將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的l1正則化最小平方問(wèn)題.

首先，定義

從公式（17）和（19）可以得到

根據(jù)式（3）

將公式（20）和（21）代入公式（12）中，目標(biāo)函數(shù)可以做如下變換：

定義

可以證明Q是一個(gè)正定矩陣，下面是證明過(guò)程.

設(shè)存在任意的一個(gè)非零向量α，有

由于V和Pk｜k－1都是正定的，因此

這樣就得到Q是一個(gè)正定矩陣.對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解，可以表示成如下形式：

式中：M為上三角矩陣.通過(guò)公式（22）和（27），可以得到目標(biāo)函數(shù)的描述.

通過(guò)上述變換，優(yōu)化問(wèn)題（13）已轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的l1正則化最小平方問(wèn)題.

使用一種截短牛頓內(nèi)點(diǎn)法（truncated Newton interior－point method，TNIPM）［18］進(jìn)行求解.

求解過(guò)程中，參數(shù)λ的值是用來(lái)設(shè)定向量u（k）的稀疏程度的，其值由數(shù)據(jù)丟包的多少?zèng)Q定.當(dāng)沒(méi)有數(shù)據(jù)丟包時(shí)，可以設(shè)定λ的值非常大；而當(dāng)存在數(shù)據(jù)包丟失時(shí)，可以通過(guò)下面的方法進(jìn)行自適應(yīng)設(shè)定：

其中0＜k＜1，依據(jù)一定的經(jīng)驗(yàn)，k的值應(yīng)該要遠(yuǎn)小于1，在本文中設(shè)定k＝0.01.

2.4 算法流程

通過(guò)上述討論，當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)可以通過(guò)求解相應(yīng)的l1正則化最小平方問(wèn)題得到，然后通過(guò)Kalman動(dòng)態(tài)更新過(guò)程動(dòng)態(tài)進(jìn)入下一步的狀態(tài)估計(jì)，以下是整個(gè)RSE＿QP算法運(yùn)行流程.

Step 1 初始化x0，P0｜0＝P0.

Step 2 當(dāng)k≥1，根據(jù)公式（14），（15）和（16），計(jì)算xk｜k－1，Pk｜k－1，P－1k｜k－1和K（k）的值.

Step 3 獲得時(shí)刻k的測(cè)量值y（k），然后利用公式（19）計(jì)算e（k）.

Step 4 利用l1正則化最小平方問(wèn)題求解器求解優(yōu)化問(wèn)題（29）得到u（k）的值.

Step 5 根據(jù)公式（17）和（18）更新xk｜k和Pk｜k.

Step 6 讓k＝k＋1，跳轉(zhuǎn)到step 2.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提出的對(duì)于網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失的算法的有效性，本文分別給出了利用二階和高階（以四階為例）離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

3.1 二階系統(tǒng)仿真

利用二階離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型形式如下［6］：

圖2與圖3分別是仿真過(guò)程中兩個(gè)狀態(tài)x1和x2的仿真結(jié)果.從圖中可以看到，本文算法（RSE＿QP）能夠很好地滿足估計(jì)和跟蹤實(shí)際狀態(tài)的任務(wù)，并且跟蹤效果比標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波（KF）好，表明本文算法體現(xiàn)出一定的魯棒性，能夠較好地處理具有網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失的情況.

在圖4中，使用狀態(tài)誤差的均方根（RMS）來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)結(jié)果，在每一時(shí)刻k，對(duì)狀態(tài)所有分量進(jìn)行計(jì)算得到其均方根.圖5是在整個(gè)仿真過(guò)程中網(wǎng)路丟包的分布圖.結(jié)合這兩個(gè)圖，可以看到當(dāng)存在數(shù)據(jù)丟包時(shí)，本文算法估計(jì)過(guò)程中的誤差均方根要遠(yuǎn)小于標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波算法，反映了在具有丟包情況下本文算法的優(yōu)越性.

通過(guò)改變仿真過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)丟包率的大小進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的魯棒性.圖6顯示了仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，整個(gè)仿真過(guò)程中，設(shè)置了不同的丟包率，對(duì)于每種丟包率下都仿真100個(gè)時(shí)間間隔并且求取100個(gè)均方根的平均值得到仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖.從圖6中可以看出，隨著丟包率的增加，平均均方根總體趨勢(shì)是增加的，但從增長(zhǎng)的速度來(lái)看，本文算法明顯慢于標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波算法，也反映本文算法是具有魯棒性的.

圖6 不同數(shù)據(jù)丟包率下的平均誤差均方根（二階）Fig.6 Average RMS under different network packet dropout（2nd order）

3.2 高階系統(tǒng)仿真

利用四階離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型形式如下：

與二階系統(tǒng)仿真類似，設(shè)定W＝diag（1，1，1，1），V＝diag（0.01，0.01，0.01，0.01），P0｜0＝P0＝diag（1，1，1，1），x0＝［1 1 1 1 ］T，參數(shù)θ1＝θ2＝1.其他仿真參數(shù)與二階系統(tǒng)一致，并且丟包分布圖也一致.同樣在整個(gè)仿真過(guò)程中，將本文提出的算法與標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波算法進(jìn)行比較分析.

圖7～10分別是仿真過(guò)程中4個(gè)狀態(tài)x1，x2，x3，x4的仿真結(jié)果.從圖中可以看到，本文算法針對(duì)高階系統(tǒng)同樣能夠較好地進(jìn)行狀態(tài)的跟蹤，在丟包的情況下可以看出本文算法能很好地平滑跟蹤過(guò)程，較好地完成狀態(tài)估計(jì)任務(wù).

同樣在圖11中，使用狀態(tài)誤差的均方根來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)結(jié)果，在每一時(shí)刻k，對(duì)狀態(tài)所有分量進(jìn)行計(jì)算得到其均方根.同時(shí)，在圖12中，改變丟包率，驗(yàn)證本文算法的魯棒性.從圖中也可以看出，對(duì)高階系統(tǒng)魯棒性也同樣得到了提高，丟包率變化的干擾很小.

4 結(jié)論

本文考慮了網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包丟失情況下狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，給出了一種新的包含數(shù)據(jù)包丟失描述的模型，并且將此魯棒狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次型規(guī)劃問(wèn)題，最終經(jīng)過(guò)一定的轉(zhuǎn)換利用標(biāo)準(zhǔn)的l1正則化最小平方問(wèn)題求解器得到所要估計(jì)的狀態(tài).通過(guò)仿真可以看到，本文算法具有較好的魯棒特性，能很好地進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計(jì)，由于其屬于二次型規(guī)劃問(wèn)題，容易實(shí)現(xiàn)，有較高的運(yùn)算效率，因此具有較好的工程應(yīng)用性.

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