胡增輝 朱炬波 何 峰 梁甸農(nóng)

①(國防科學技術(shù)大學電子科學與工程學院 長沙 410073)

②(國防科學技術(shù)大學理學院 長沙 410073)

③(酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心 酒泉 732750)

1 引言

經(jīng)典的高分辨波達角(DOA)估計算法，如MUSIC[1]算法，其高精度通常是建立在導(dǎo)向矢量精確已知的基礎(chǔ)上。在陣元間存在互耦等情形下，經(jīng)典的 DOA算法通常性能惡化非常嚴重，甚至是完全失效。而在實際測向系統(tǒng)中，陣元間互耦等因素是必須考慮的問題。因此，互耦條件下 DOA估計一直是陣列信號處理的難點與熱點問題[2-17]。

早期的研究中，互耦的校正和補償通常是通過硬件實現(xiàn)的，如增加互耦精確已知的校正陣元，或采用低互耦的陣列單元。然而，這類方法在許多應(yīng)用場合中不易實現(xiàn)，且成本相對較高，精度可能也并不是很高。隨后的研究逐漸將互耦的補償和校正轉(zhuǎn)化為一個陣列參數(shù)估計問題，其基本思想是將DOA和互耦系數(shù)進行聯(lián)合估計[2,4]。

均勻線陣在 DOA估計中有著廣泛的應(yīng)用，過去二十多年間，國內(nèi)外學者提出了許多互耦條件下的均勻線陣DOA估計方法[2-4,6-9,11,12,16,17]。然而，很多算法需要進行多維搜索或多參數(shù)優(yōu)化[2,4]，全局收斂性無法保證；或所需的陣元數(shù)目非常大[8]；或只能應(yīng)用到互耦系數(shù)較少(相對于陣元數(shù))的情形[6,8]等等。

基于盲源分離[18,19]方法和均勻線陣互耦矩陣為帶狀、對稱 Toeplitz[2,3]的特性，本文提出一種新的互耦條件下均勻線陣 DOA估計算法。算法通過盲源分離方法實現(xiàn)廣義陣列流形矩陣估計，利用互耦矩陣為帶狀對稱Toeplitz矩陣的特性，將DOA估計問題轉(zhuǎn)化為多個可分離非線性最小二乘問題，無需進行互耦系數(shù)的估計，直接通過1維頻域峰值搜索得到 DOA的估計。與現(xiàn)有算法相比，新算法對互耦系數(shù)的個數(shù)約束條件更少，當 DOA相鄰比較近時，分辨性能更好。

2 信號模型及假設(shè)

考慮p個獨立窄帶平穩(wěn)信號入射到一均勻線陣，波達角分別為θ1,…,θp, -π/2 ≤θ≤π/2。均勻線陣由N個陣元組成，相鄰陣元間距為d,d≤λ/ 2，其中λ為信號波長。

假設(shè)陣元間的互耦自由度為L(即兩個陣元間間距大于(L-1)d時，互耦系數(shù)為0)，互耦矩陣第1行的非零元素分別記為。由文獻[2,3]可知，均勻線陣的互耦矩陣C可建模成為一帶狀、對稱Toeplitz矩陣：

考慮互耦時，以第1個陣元為參考點，陣元輸出信號可以表示為

式中x(t)= [x1(t),…,xN(t)]T,s(t)= [s1(t),…,sp(t)]T和n(t)= [n1(t),…,nN(t)]T分別表示陣列輸出信號矢量、源信號矢量和噪聲矢量，上標T表示轉(zhuǎn)置算子。A= [a(θ1),…,a(θp)]為陣列流形矩陣，a(θk)為第k個源信號對應(yīng)的導(dǎo)向矢量，1≤k≤p。

記G=CA，式(2)可以簡化為

稱G=CA為廣義陣列流形矩陣。顯然，G包含了所有互耦系數(shù)和波達角的信息。

本文，為了從陣列輸出信號x(t)中得到波達角θ1,…,θp的估計，我們對信號模型作如下假設(shè)：

(1)源信號s1(t),…,sp(t)是相互統(tǒng)計獨立的遠場窄帶平穩(wěn)信號，最多有一個源信號為高斯信號。

(2)噪聲為加性復(fù)高斯白噪聲，噪聲與信號是相互統(tǒng)計獨立的。

(3)陣元數(shù)N，源信號數(shù)p，互耦矩陣自由度L之間滿足如下關(guān)系：N＞p,N＞L。源信號數(shù)p和互耦矩陣自由度L均為已知的。

(4)陣列流形矩陣A是列滿秩的，或者說，1≤i≠k≤N時，θi≠θk。

3 波達角估計算法

3.1 基于盲源分離的廣義陣列流形矩陣估計

由模型式(4)及信號模型假設(shè)，我們可以首先通過盲源分離(或獨立成分分析)[18,19]方法得到廣義陣列流形矩陣G的估計。由于信號模型式(4)為線性瞬時混合模型，本文只考慮線性瞬時混合盲源分離。

盲源分離(或獨立成分分析)是上世紀80年代發(fā)展起來的一種信號處理方法，是當前信號處理領(lǐng)域中的熱點課題。其基本思想是利用源信號的統(tǒng)計特性(非高斯性，獨立性，非負、稀疏性等)，在混合過程未知的情形下，實現(xiàn)源信號的分離(和/或混合矩陣的估計)。

獨立成分分析是盲源分離的重要組成部分，也是迄今為止發(fā)展最為成熟的。獨立成分分析利用源信號的非高斯性和獨立性，實現(xiàn)源信號的分離和混合矩陣的估計。其基本處理流程是利用優(yōu)化算法，尋找某個混合矩陣，使得經(jīng)矩陣作用后的輸出信號互信息最小?；蛘呃酶唠A累積量或時延協(xié)方差矩陣，通過多個矩陣的聯(lián)合近似對角化實現(xiàn)混合矩陣的估計。

盲源分離(獨立成分分析)在陣列信號中有著廣泛的應(yīng)用[20,21]。線性瞬時混合盲源分離(獨立成分分析)模型和式(4)一致，利用源信號的相互統(tǒng)計獨立特性，可首先利用獨立成分分析算法，如 JADE[22]或復(fù)數(shù) FastICA[23]算法，實現(xiàn)廣義陣列流形矩陣G的估計。

本節(jié)，我們以 JADE(Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices)算法為代表，簡單介紹獨立成分分析算法。JADE算法通過對一組高階累積量矩陣的聯(lián)合近似對角化，實現(xiàn)混合矩陣和/或源信號的估計。

對于式(4)所表示的線性瞬時混合模型x(t)=Gs(t)+n(t)，定義如下的高階累積量矩陣：

式中xi和x分別表示xi(t)和x(t)，為表示方便，省略參數(shù)t。表示xk的共軛，上標H表示轉(zhuǎn)置共軛算子，E{x}表示隨機變量x的期望。

在源信號相互統(tǒng)計獨立且非高斯，加性噪聲為高斯噪聲且與源信號統(tǒng)計獨立的假設(shè)下，式(5)中矩陣Fik具有如下形式：

如式(6)所示，N(N+ 1 )/2個矩陣Fik具有相似的結(jié)構(gòu)，可以通過聯(lián)合近似對角化技術(shù)（Joint Approximate Diagonalization, JAD）得到混合矩陣A的估計，這就是JADE算法的基本思想。除基于高階累積量矩陣聯(lián)合近似對角化實現(xiàn)混合矩陣A估計外，還有許多其它的聯(lián)合近似對角化算法，如基于一組時延協(xié)方差矩陣的聯(lián)合對角化等。限于篇幅，在此不一一介紹。

理想情況下，利用盲源分離方法，廣義陣列流形矩陣G的估計具有如下形式

式中P為p×p維的置換矩陣，Λ為對角線元素非零的對角矩陣，Λ= d iag{λ1, …,λp}。P和Λ分別對應(yīng)于盲源分離算法的順序和尺度不確定性。

3.2 DOA估計

上節(jié)，通過盲源分離方法，得到了廣義陣列流形矩陣G的估計。記的第k列為1≤k≤p。

由于置換矩陣P的存在，下標k和m并不一定相同。由式(7)可以看到，的每一列只與某一個波達角θm有關(guān)。

由文獻[2]的結(jié)論，Ca(θm)可以重新寫為如下形式：

其中

式中T( :,1:L)表示由矩陣T的第1到第L列組成的矩陣。T1(p,q)表示T1第p行第q列的元素，a(p+q-1 )表示矢量導(dǎo)向矢量a的第p+q- 1個元素。

將式(9)代入式(8)中，有

式中cm=λmc。

顯然，式(11)中TL(θm)的變量為θm,cm的變量為λm,c1, …,cL-1，它們的變量相互間并無耦合。利用來得到θm,λm,c1, …,cL-1的估計，是一典型的可分離非線性最小二乘問題[24]。

式(11)中，當給定某個θ時，由線性最小二乘可得，cm的最小二乘意義下的估計可以表示成的偽逆，通常取。

式中IN為N×N維的單位矩陣。

通常，波達角θm的估計可以通過尋找的最小值來得到。將代入的表達式中，F(xiàn)k(θm)可以繼續(xù)簡化為

其中Q2通過TL(θm)的QR分解得到

綜上，對廣義陣列流形矩陣G的估計的第k(1 ≤k≤p)列，通過在[-π/ 2,π/2]內(nèi)求如下的優(yōu)化問題，可得到某個源信號對應(yīng)的波達角的估計為

式(15)可以通過經(jīng)典的非線性最小二乘算法來解決，也可以利用搜索步長將[-π/ 2,π/2]等分，尋找在[-π/ 2,π/2]的最小值對應(yīng)的角度來得到波達角的估計。為對比方便，與MUSIC[1]算法和文獻[6]中算法一樣，我們也可以構(gòu)造如下的空間譜估計器

然而，與 MUSIC和文獻[6]中算法不同的是，本文所提算法對每個源信號構(gòu)造一個空間譜函數(shù)，通過搜索該譜函數(shù)的最大值來獲得波達角的估計，而不是如 MUSIC算法那樣，構(gòu)造一個譜函數(shù)，通過搜索多個極大值或譜峰來得到波達角的估計。

上述算法過程中，利用盲源分離得到廣義陣列流形矩陣的估計，通常要求觀測數(shù)大于信源數(shù)，即N＞p。而在式(11)所代表的可分離非線性最小二乘問題中，通常要求觀測矢量維數(shù)大于等于總的變量維數(shù)，即N≥1+L。因此，在本文的信號模型假設(shè)中，我們僅要求N＞p和N＞L。

顯然，以上假設(shè)比大多數(shù)現(xiàn)有文獻的假設(shè)都要寬松。如文獻[6]中，首先就要求L≤ [N/ 2]-p。換句話說，在一定的信號模型假設(shè)(源信號之間相互統(tǒng)計獨立，非高斯信號)下，本文算法適用范圍更廣。其根本原因在于本文所提算法利用了源信號統(tǒng)計特性，或者說，利用了更多的先驗信息。

實際應(yīng)用中，互耦矩陣的自由度L可能并不能準確獲得。本文所提算法對L并不敏感：L已知時，直接利用已知的L；而當L未知時，式(9)-式(16)中，直接用大于L的整數(shù)代替L即可。最簡單地，直接利用N-1作為L的估計值。

3.3 算法流程

本文算法流程總結(jié)如下(參數(shù)定義：N為均勻線陣陣元個數(shù)，p為源信號數(shù)，L為互耦矩陣的自由度）：

(1)利用盲源分離(獨立成分分析)算法，如JADE[22]或復(fù)數(shù)FastICA[23]，得到廣義陣列流形矩陣G=CA的估計，記為。

(2)對的每一列，利用可分離非線性最小二乘方法，構(gòu)造式(13)所表示的函數(shù)F(θ)。

(3)將區(qū)間[-π/ 2,π/2]等分，搜索F(θ)的最小值對應(yīng)的角度，即為某個源信號的波達角。

由上述算法流程可以看到，本文算法中，波達角估計并不是通過多維空間搜索得到的，而是通過p個閉區(qū)間內(nèi)的1維最大值搜索問題得到波達角的估計。

4 仿真實驗

為驗證本文所提出算法的有效性，將本文算法與王布宏等人[6]提出的算法及 MUSIC[1]算法進行比較。仿真中，為簡單計，稱文獻[6]中算法為MUSICLMC。

仿真實驗中，源信號取為si(t)=ej(0.2πt+?i)，其中?i為[0,2π]內(nèi)的均勻分布，?i間相互統(tǒng)計獨立。互耦矩陣系數(shù)取為ci= ( 0.8j)i,i=1,…,L-1,L為互耦矩陣自由度。噪聲為復(fù)高斯白噪聲。輸入信噪比(SNR)定義為其中分別表示信號和噪聲的方差。仿真中，本文算法采用JADE[22]算法實現(xiàn)廣義陣列流形矩陣G的估計。

仿真結(jié)果為1000次蒙特卡洛仿真的平均數(shù)據(jù)，采用均方根誤差(RMSE)作為波達角估計性能衡量指標。

實驗1波達角估計RMSE隨SNR變化關(guān)系。均勻線陣由5個陣元組成，相鄰陣元間距為半個波長，互耦自由度為L=2，采樣數(shù)為 1024，兩個源信號波達角分別為-10?和10?。圖1為SNR從-10 dB變化到25 dB時，本文算法，MUSIC-LMC和MUSIC算法波達角估計RMSE隨SNR變化曲線。仿真中，搜索步長均為0.1?。由圖 1可以看到，本文算法估計性能始終優(yōu)于 MUSIC-LMC算法和MUSIC算法。SNR＞20 dB時，MUSIC-LMC算法估計性能與本文算法非常接近。

實驗2波達角估計RMSE隨信源相隔角度的變化關(guān)系。均勻線陣仍由5個陣元組成，相鄰陣元間距為半個波長，互耦自由度為L=2，采樣數(shù)為1024, SNR=10 dB，信源1的波達角固定為θ1=0?，信源 2波達角由1?變化到15?。圖 2為波達角估計RMSE隨信源相隔角度的變化曲線。從圖2結(jié)果可以看到，本文算法性能優(yōu)于MUSIC-LMC和MUSIC算法。另外，信源 1和信源 2相隔角度大于等于θ1=2?時，本文算法波達角估計RMSE基本保持不變。

實驗 3互耦自由度估計不準時不同算法波達角估計RMSE。前面我們提到過，本文算法即使在互耦自由度估計不準時仍舊有效?？紤]由6個陣元組成的均勻線陣，兩個獨立源信號波達角分別為-1 0?和10?，采樣數(shù)為1024, SNR固定為10 dB。真實的互耦自由度為 2。仿真中假設(shè)互耦自由度是未知的，由互耦自由度的取值，互耦自由度估計值可能的取值為2, 3, 4, 5。圖3為波達角估計RMSE隨互耦自由度估計值的變化曲線。由圖可以看到，無論互耦自由度估計值如何，本文算法性能始終優(yōu)于MUSIC算法和MUSIC-LMC算法?；ヱ钭杂啥裙烙嬛底兓瘯r，本文算法和 MUSIC算法基本保持不變。與之形成鮮明對比的是，MUSIC-LMC算法只有在互耦自由度估計值等于其真值時，波達角估計RMSE比較小。由圖3可以看到，當互耦自由度估計值為3, 4, 5時，MUSIC-LMC算法估計RMSE非常大。事實上，由MUSIC-LMC算法所需滿足條件，互耦自由度估計值為3, 4, 5時，估計出現(xiàn)模糊，基本很難獲得精確的波達角估計。

5 結(jié)束語

圖1 波達角估計RMSE隨SNR變化曲線

圖2 波達角估計RMSE隨信源相隔角度變化關(guān)系

圖3 波達角估計RMSE隨互耦自由度估計值的變化曲線(互耦自由度真值為2)

本文提出了一種新的互耦條件下均勻線陣DOA盲估計算法。算法首先通過盲源分離方法得到廣義陣列流形矩陣估計，然后利用可分離非線性最小二乘方法，由多個1維峰值搜索得到DOA的估計。該算法無需任何校正源，也無需進行多維搜索，無需考慮收斂性問題。仿真實驗表明，即使在DOA相差非常小的情況下，算法性能仍非常高。另外，新算法在互耦自由度未知的條件下仍舊適用，穩(wěn)健度高。

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