顧娟

在初中幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中，不少同學(xué)在解幾何題時(shí)，都存在著這樣或那樣的錯(cuò)誤問題，下面列舉一些最常見的幾類錯(cuò)解，希望能通過這幾類錯(cuò)誤問題的分析和解答，對(duì)正在學(xué)習(xí)幾何的初中學(xué)生能提供一定的幫助和指導(dǎo)作用.

一、憑主觀感覺畫圖

有些幾何問題沒有給出一定的圖形，很多學(xué)生在做這類習(xí)題時(shí)，往往憑自己的感覺去畫圖進(jìn)行求解，學(xué)生們一般都會(huì)怱視問題討論，從而得出不完整的結(jié)果.

例１ 在⊙Ｏ中弦ＡＣ和ＡＢ的夾角為６０°，Ｐ和Ｑ分別是和的中點(diǎn)，請(qǐng)你求出∠ＰＯＱ的度數(shù).

錯(cuò)誤解法 如圖１，∵ Ｐ和Ｑ分別是和的中點(diǎn)，由垂徑定理的推論可知，ＯＰ⊥ＡＢ，ＯＱ⊥ＡＣ . ∴ ∠ＰＯＱ ＝ １８０° － ∠Ａ ＝ １８０° － ６０° ＝ １２０°.

錯(cuò)解分析 以上過程看上去好像沒有什么錯(cuò)誤，由于本題沒有給出特定的圖，同時(shí)題中也沒有說明圓心Ｏ與∠ＢＡＣ的位置關(guān)系，所以要分類討論圓心Ｏ與∠ＢＡＣ的位置.

圖２表示圓心Ｏ在∠ＢＡＣ的一個(gè)邊上，則∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°；

圖３表示圓心Ｏ在∠ＢＡＣ的外部，則∠ＰＯＱ ＝ ６０°.

所以，從圖１、圖２、圖３可知，∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°.

二、沒有考慮到對(duì)應(yīng)關(guān)系

有些幾何習(xí)題中隱含著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果學(xué)生不能細(xì)致地分析問題，就會(huì)作出答案不全的結(jié)果.

例２ 已知△ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，邊ＡＣ ＝ ａ，ＢＣ ＝ ｂ，求△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高.

錯(cuò)誤解法 如圖４，過Ｂ作ＢＥ⊥ＡＤ于Ｅ，則∠ＢＥＡ ＝ ∠ＢＣＡ ＝ ９０°.

∵ △ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，

∴ ∠ＣＡＢ ＝ ∠ＢＡＤ，

又∵ ＡＢ是△ＡＢＣ和△ＡＢＥ的公共邊，

∴ △ＡＥＢ≌△ＡＣＢ，

∴ ＢＥ ＝ ＢＣ ＝ ｂ，即△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高為ｂ.

錯(cuò)解分析 本題給出的“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”，但沒有指明這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系（“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”不等于“△ＡＢＣ∽△ＡＢＤ”），以上解法錯(cuò)誤地認(rèn)為“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”已把兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊確定了. 實(shí)際上，題意中還存在著另外一種情況，如圖５，這種情況下，可以求出ＢＥ ＝ ＡＣ ＝ ａ，所以△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高應(yīng)為ａ或者ｂ.

三、用一種特例代替結(jié)論

在初中幾何學(xué)習(xí)中，有些同學(xué)為了方便省事，有時(shí)就利用特殊情況或極端假設(shè)下得出的結(jié)論去代替問題的結(jié)論，這樣就犯了以偏概全的毛病.

例３ 證明：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.

錯(cuò)誤證法 如圖６，作圓Ｏ，作圓０的一個(gè)直徑ＡＢ和一個(gè)弦ＢＣ，然后將ＯＣ連接.

∵ ＡＢ ＝ ＯＡ ＋ ＯＢ ＝ ＯＣ ＋ ＯＢ ＞ ＢＣ，

∴直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.

錯(cuò)解分析 證明圓中直徑是最長(zhǎng)的弦，應(yīng)該是證明在圓中直徑比任意一條弦都長(zhǎng). 不是直徑的弦不一定就是與該直徑有一個(gè)重合的端點(diǎn)，以上證明只能說明直徑ＡＢ比弦ＢＣ長(zhǎng)，而不能說明在這個(gè)圓中直徑ＡＢ比所有的弦都長(zhǎng)，它是用一種特例代替了結(jié)論，這樣就犯了以偏概全的錯(cuò)誤. 正確的證法應(yīng)該是這樣：如圖７,作圓O，作⊙Ｏ的直徑ＡＢ和弦ＣＤ，且弦ＣＤ是⊙Ｏ中任意一個(gè)非直徑的弦，將ＯＣ，ＯＤ連接，由于ＯＣ，ＯＤ，ＯＡ都是圓Ｏ的半徑，所ＯＡ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ，而在△ＤＯＣ中，ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，而ＡＢ ＝ ２ＯＡ ＝ ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，所以直徑是圓中最長(zhǎng)的弦. 一定要強(qiáng)調(diào)“ＣＤ是任意一條弦”.

四、把證明的結(jié)論當(dāng)條件用

有些同學(xué)在做幾何證明題時(shí)，有時(shí)會(huì)把要證明的結(jié)論拿來當(dāng)條件使用，這樣通過循環(huán)使用論證，再得出所要證明的結(jié)論.

例４ 在圖８中，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，ＡＣ是一條弦，∠Ａ ＝ ３０°，Ｄ是ＡＢ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ＤＢ ＝ ＯＡ，連接ＣＤ. 證明：ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.

錯(cuò)誤證法 連接ＣＯ，ＣＢ，∵ ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，

∴ ∠ＣＯＢ ＝ ６０°，又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等邊三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，∴ ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜邊上的中線，

∴ ＢＣ ＝ ＤＢ，∴∠ＢＣＤ ＝ ３０°，∴∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.

錯(cuò)解分析 以上證法表面看上去，好像沒有什么錯(cuò)誤，如果仔細(xì)檢查，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜邊上的中線”這一句有問題，Ｒｔ△ＤＣＯ是怎么知道的呢？假如△ＤＣＯ是直角三角形，不就說明了ＣＤ是圓Ｏ的切線了嗎？以上證法就是不知不覺地把要證明的結(jié)論“ＣＤ是⊙Ｏ的切線”當(dāng)作已知條件進(jìn)行使用. 所以上述解答是錯(cuò)誤的. 應(yīng)該這樣證明：

連接ＣＯ，ＣＢ，∵ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，∴∠ＣＯＢ ＝ ６０°，

又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等邊三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，

又∵ △ＣＯＢ是等邊三角形，

∴ ＤＢ ＝ ＢＯ ＝ ＣＢ，

∴∠ＤＣＢ ＝ ３０°，所以∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.