戰(zhàn)毅 李亞杰

[摘要]為了研究ARIMA模型對經(jīng)濟數(shù)據(jù)的預測，本文利用統(tǒng)計軟件EViews7.2，通過分析我國社會消費品零售總額從2003年1月到2010年12月的月度數(shù)據(jù)，建立了八種不同參數(shù)的乘法季節(jié)ARIMA模型。根據(jù)模型的預測精度、檢驗結(jié)果，本文確定了最優(yōu)預測模型ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12，并運用該模型來預測我國2011年1月至12月的社會消費品零售總額，并與2011年實際數(shù)值進行比較，擬合效果良好。對于2012年的展望，筆者認為，其值仍將呈速度較快的上升趨勢。

[關鍵詞]乘法季節(jié)ARIMA模型社會消費品零售總額預測差分檢驗

一、引言

社會消費品零售總額（social retailgoods）（文中用SR簡稱）是指批發(fā)和零售業(yè)、住宿和餐飲業(yè)以及其他行業(yè)直接售給城鄉(xiāng)居民和社會集團的社會消費品零售總額。它能反映一定時期內(nèi)人民物質(zhì)文化生活水平的提高情況，反映社會商品購買力的實現(xiàn)程度，以及零售市場的規(guī)模狀況。

ARIMA 模型是用于一個國家或地區(qū)經(jīng)濟和商業(yè)預測中比較先進適用的時間序列模型之一。本文將以我國2003年至2010年SR歷史數(shù)據(jù)為樣本，通過ARIMA 模型,試圖發(fā)現(xiàn)我國社會消費品零售總額的內(nèi)在規(guī)律，進行后期預測，并通過與2011年數(shù)據(jù)比較檢驗來探究模型的準確性。然而，在對含有季節(jié)、趨勢等成分的時間序列進行ARIMA模型預測時，就不能像對純粹的滿足可解條件的ARIMA模型那么簡單了，一般的ARIMA模型有多個參數(shù)，沒有季節(jié)成分可以記為ARIMA(p,d,q)，其中d代表差分的階數(shù)。在有已知的固定周期S時，模型多了四個參數(shù)，可記為ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s。

二、模型的建立

本文以我國2003年至2010年96個月的SR歷史數(shù)據(jù)為樣本進行分析。來源：http://www.stats.gov.cn/was40/gjtjj_data_outline.jsp(國家統(tǒng)計局網(wǎng)站)。 數(shù)據(jù)趨勢如圖1所示。

1.數(shù)據(jù)分析及平穩(wěn)化

在ARMA 模型中，時間序列是由一個零均值的平穩(wěn)隨機過程產(chǎn)生的。也就是說，這個過程的隨機性質(zhì)在時間上保持不變，在圖形上表現(xiàn)為所有樣本點都在某一水平線隨機上下波動。因此，對于非平穩(wěn)時間序列，需要預先對時間序列進行差分平穩(wěn)化處理。

(1)平穩(wěn)性檢驗

利用Eviews7.2繪制2007年~2010年我國社會消費品零售總額的時間序列數(shù)據(jù){Xt}，如圖1。通過圖1看出，我國SR序列具有明顯的非平穩(wěn)性，呈現(xiàn)上升趨勢。

(2)對變量{Xt}進行差分

對變量{Xt}進行對數(shù)處理，即{LnXt}，得到{Wt}。對其進行一階差分，得到{Yt}，需要通過ADF識別其平穩(wěn)性。利用EViews7.2，用ADF方法對差分序列進行平穩(wěn)性檢驗，發(fā)現(xiàn)ADF=-3.33，而比1%置信水平上的臨界值大，所以應該接受θ=0的原假設，即一階差分所得序列有單位根?？梢詳喽?，{Yt}仍表現(xiàn)為非平穩(wěn)序列，因此要做第二次差分。第二次差分后，得到{Zt}，如圖2。用同樣的ADF方法檢驗，得到ADF=-10.79，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值都小，因此{Zt}為平穩(wěn)序列。

(3)對變量進行季節(jié)差分

繼續(xù)用EViews7.2畫出{Zt}的自相關圖，如圖3?？梢钥闯鰗Zt}仍具有一定的季節(jié)性。顯然這也符合實際情況。例如，過年過節(jié)期間消費品零售量會增大，而年后節(jié)后出現(xiàn)減少的現(xiàn)象。因此對其進行季節(jié)差分(步長12)，得到{Ut}自相關函數(shù)圖，如圖4。不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過兩次差分和一次季節(jié)差分，自相關函數(shù)只在滯后1階處呈現(xiàn)相關性。{Ut}是平穩(wěn)序列。

（4）白噪聲檢驗

在{Ut}平穩(wěn)的情況下, 進一步做{Ut}的白噪聲檢驗。依據(jù)Q統(tǒng)計量檢驗法，仍根據(jù)圖4，只觀察滯后6，12,18，發(fā)現(xiàn)P值在滯后6,12,18均為0。由于平穩(wěn)序列通常具有短期相關性，只要序列時期足夠長，自相關系數(shù)都會收斂于0。因此，此時可以拒絕原假設，即{Ut}不是白噪聲過程。也就是說，此模型可以用ARIMA模型進行分析和預測。當然，直接用EViews7.2中的“simple hypothesis test”，設置均值為0進行檢驗，也可以得到相同的結(jié)果。

2.時間序列模型的建立

(1）模型識別

在這里，筆者用ARMA模型進行識別，但很多系數(shù)估計值在顯著性水平下不顯著，即ARMA擬合效果不理想，因此，我們決定用乘法季節(jié)模型對這些數(shù)據(jù)進行建模。

根據(jù)ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s的形式，我們由上述分析可得d=2，D=1。由于平穩(wěn)的時間序列的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)都是托尾的，因此該時間序列適合于ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型。從圖4分析，{Ut}自相關函數(shù)1階是顯著的，并且從第2階開始下降很大，數(shù)值也不太顯著，因此我們先設定q值為1。{Zt}的偏自相關函數(shù)1-4階都很顯著，并且從第5階下降很大，因此我們設定 p的可能值為1,2,3,4。相應的，P=Q=1,。于是對于序列{Ut}，我們初步建立了ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型，即ARIMA(p,2,q)×(1，1，1)12（p=1，2，3，4）（q=0，1）

(2) 模型估計

以ARIMA(4,2,1)×(1，1，1)12為例，借助EViews7.2進行估計。其中，常數(shù)項prob值0.8390，AR（2）為0.5174，AR（3）為0.5084和AR（4）為0.8427，其余在5%的顯著性水平下都是不顯著的。

三、模型的診斷和檢驗

同理，我們再來估計ARIMA(1,2,0)×(1，1，1)12和ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12 。我們發(fā)現(xiàn)第一個模型的SAR（12）項系數(shù)估計值仍不夠理想，為0.1466，而第二個模型除常數(shù)項的顯著水平為0.6320外，其它解釋變量的系數(shù)估計值在5%水平下均滿足。

我們再來看是否存在一個更好的模型。我們采用AIC準則進行定階，并從中選擇最優(yōu)模型。但同時，我們也要兼顧各系數(shù)在檢驗水平10%下是否顯著。表5是我們試驗的幾個p, q值的AIC信息值。

雖然很多模型的AIC值更小，但其系數(shù)均存在不同程度的不顯著。因此，我們還是選擇ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12作為最終的模型。

下面我們再進行異方差檢驗。因為若線性回歸模型存在異方差性，則用傳統(tǒng)的最小二乘法估計模型，得到的參數(shù)估計量不是有效估計量，甚至也不是漸近有效的估計量；此時也無法對模型參數(shù)的進行有關顯著性檢驗。運用EViews7.2的white檢驗，顯然，不滿足異方差性，模型參數(shù)可以使用。

四、模型的預測

將2003年~2011年社會消費品零售總額的數(shù)據(jù)添加到數(shù)據(jù)表中，用EView7.2進行預測2011年SR值并進行比較。

1.首先選擇“dynamic”預測，即除了第一個預測值是用解釋變量的實際值預測外，其后各期預測值都是采用遞推預測的方法。在參數(shù)中，Theil inequality coefficient值為0.0445000，表明預測值比較準確。

2.我們再用“static”預測，即用解釋變量的真實值來進行預測。由Theil Inequality Coefficient=0.004182得知，預測的值比較準確。由于static預測的原理，顯然較dynamic預測比，static預測更加值得信賴。

3.比較真實值與預測值。這里用Eviews7.2預測2011年1月至12月的值，并與實際值比較算出相對誤差：1.46%，0.20%，1.14%，0.52%，0.92%，1.18%，0.99%，0.26%，0.01%，1.24%，0.19%，0.02%。不難看出，2011年1月至12月預測的效果較好，相對誤差均在2%以下，即預測值與實際觀測值擬合較好。通過AIC值尋找最優(yōu)模型，把握了序列在預測的變化方向和程度。

4.對2012年預測

筆者在寫文章時統(tǒng)計局網(wǎng)站只公布了1月～2月的總體數(shù)據(jù),3月份和4月份的數(shù)據(jù)，因此我們在這里對2012年1至6月進行預測,1和2月的相對誤差為1.30%，3月為3.58%，4月為4.34。這里僅供參考。這里由于采用的是dynamic預測（只有1,2月的總和值，無法直接用static預測法），不難發(fā)現(xiàn)3月份和4月份的準確度有所下降。

當然在這里，由于有2011年12月及以前的真實數(shù)據(jù)，因此預測2012年1月和2月數(shù)據(jù)的誤差會很小，因此如果一定要用static預測法，筆者個人認為也可以嘗試按2012年1月和2月預測值的比例將兩月總和真實值進行分配，并以此作為真實值來預測3、4月份的數(shù)據(jù)，相信其誤差也不會很大。但至于科學性及對將來預測的影響，還需要進一步的考量。

因此，建立的時間序列乘法季節(jié)ARIMA模型可以較好的擬合和預測社會消費品零售總額的波動規(guī)律和趨勢。分析的結(jié)果可作為相關政府部門制定政策以及一些零售業(yè)賣家制定銷售策略的依據(jù)。

五、總結(jié)

對于2012年，考慮到全球經(jīng)濟狀況，我國經(jīng)濟形勢，人民生活水平提高，物價上漲，市場競爭激烈等因素，我國社會消費品零售總額能將保持上升態(tài)勢。該模型也應該能夠擬合出較準確的短期預測值。但是，從dynamic預測不難看出，對于長期預測，此模型的準確度相對不足。可以想象，對于預測若干年后的社會消費品零售總額，其準確性將受到質(zhì)疑。但對于短期預測或與其他很多模型相比，乘法季節(jié)ARIMA模型的準確度還是非常可靠的。

參考文獻：

[1]Jonathan D.Cryer, Kung-Sik Chan等著；潘紅字等譯. 時間序列分析及應用（R語言）[M].機械工業(yè)出版社，2011

[2]王燕.應用時間序列分析（第二版）[M].中國人民大學出版社，2008

[3]張曉峒.EViews使用指南與案例[M].機械工業(yè)出版社，2007

[4]孫敬水.計量經(jīng)濟學學習指導與EViews應用指南[M]. 清華大學出版社，2010

[5]百度百科，社會消費品零售總額[EB/OL]：http://baike.baidu.com/view/191162.htm

[6]趙凌, 張健, 陳濤.基于ARIMA的乘積季節(jié)模型在城市供水量預測中的應用[J].水資源與水工程學報, 2011,22（1）