沈逸軒 黃永茂

【摘要】用廣義無(wú)窮遞降法，用數(shù)學(xué)中數(shù)論、幾何、代數(shù)方法的“技術(shù)上相互兼容”的特點(diǎn)和初等數(shù)學(xué)及數(shù)論17世紀(jì)初已有成果，建立五個(gè)引理，奇妙地證明了不定方程

xN+yN=zN。

(1)

當(dāng)正整數(shù)N>2時(shí)，無(wú)正整數(shù)解。

【關(guān)鍵詞】廣義無(wú)窮遞降法；單位圓；三角形的高；無(wú)理數(shù)；算術(shù)基本定理；代數(shù)基本定理;比例中項(xiàng);韋達(dá)定理

現(xiàn)將費(fèi)爾馬大定理真正奇妙的證明，分三方面分述如下。

一、歷史與廣義無(wú)窮遞降法

1992年獲中國(guó)圖書(shū)一等獎(jiǎng)和最優(yōu)秀十大暢銷書(shū)之一的《中國(guó)少年兒童百科全書(shū)》（科學(xué)、技術(shù)卷）和北京景山學(xué)校編的《中學(xué)生百科知識(shí)日讀》（知識(shí)出版社，1983）對(duì)費(fèi)爾馬大定理的“真正奇妙的證明”作了如下表述。

業(yè)余數(shù)學(xué)家之王——法國(guó)人費(fèi)爾馬(Fermat，1601—1665)大約在1637年在古希臘名著《算術(shù)》一書(shū)空白處記了兩段筆記，提出方程(1)xN+yN=zN，當(dāng)正整數(shù)N>2時(shí)無(wú)正整數(shù)解，當(dāng)時(shí)費(fèi)爾馬在書(shū)頁(yè)邊還寫(xiě)道：“我已經(jīng)找到這個(gè)命題的真正奇妙的證明，但是這里空白太小，寫(xiě)不下了?！?994年美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授安德魯?懷爾斯（Andrew Wiles）找到了(1)式無(wú)正整數(shù)解的另一種證明方法。但至今，“一直沒(méi)有發(fā)現(xiàn)費(fèi)爾馬的證明，三百多年來(lái)，大批數(shù)學(xué)家，其中包括歐拉、高斯、阿貝爾、柯西等許多最杰出的數(shù)學(xué)家都試圖加以證明，但都沒(méi)有成功。”“于是留下數(shù)學(xué)難題中少有的千古之謎?！?/p>

據(jù)《談勾股定理》一書(shū)（嚴(yán)以誠(chéng)，孟廣烈，北京出版社，1980）80頁(yè)這樣寫(xiě)道：“費(fèi)爾馬的證明是什么的，誰(shuí)也不清楚。1850年及1853年，法國(guó)科學(xué)院曾兩次懸賞征解，都沒(méi)收到正確的答案；1908年，德國(guó)哥廷根科學(xué)院又向全世界征求解答，限期一百年?！卑l(fā)行量在全球很大且很受讀者歡迎的《讀者》期刊，在1996年7期11頁(yè)的《數(shù)學(xué)家軼事》一文中，最后這樣寫(xiě)道：“在數(shù)學(xué)上，‘費(fèi)爾馬大定理已成為一座比珠穆朗瑪峰更高的山峰，人類的數(shù)學(xué)智慧只有一次達(dá)到這樣的高度，從那以后，再也沒(méi)有達(dá)到過(guò)?！?/p>

根據(jù)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平——相當(dāng)于現(xiàn)高中優(yōu)秀學(xué)生水平，費(fèi)爾馬首創(chuàng)無(wú)窮遞降法的思維方法——費(fèi)爾馬用首創(chuàng)無(wú)窮遞降法證明了N=4費(fèi)爾馬大定理成立，且五次筆及用此法證明數(shù)學(xué)名題。但費(fèi)爾馬沒(méi)有寫(xiě)出無(wú)窮遞降法的定義。見(jiàn)到的名家定義也各不同。因此把中國(guó)孫子兵法兵勢(shì)編對(duì)奇與無(wú)窮的觀點(diǎn)引入，把比爾?蓋茨（Bill Gates）在《未來(lái)之路》（北京大學(xué)出版社，1996：5，48-50）提倡的“正向螺旋”和“技術(shù)上相互兼容”的思維法則引入。把廣義無(wú)窮遞降法理解為：減少變量個(gè)數(shù)（包括減少變量變化范圍）或降低方程的次數(shù)（當(dāng)然包括同時(shí)利用上述兩方面方法）后用變化無(wú)窮的數(shù)論、幾何、代數(shù)互相兼容的數(shù)學(xué)技巧求原方程的解。以下?lián)藦V義無(wú)窮遞降法思維，探索費(fèi)爾馬大定理的“真正奇妙的證明”。

二、真正奇妙的證明

費(fèi)爾馬的筆記是在正文討論一個(gè)平方數(shù)表為有理數(shù)平方的書(shū)頁(yè)中寫(xiě)出。據(jù)此思維，將方程(1)化為：

xzN+yzN=1。即：aN+bN=1。(2)

方程(1)有正整數(shù)解，則(2)式中a,b必均為正有理數(shù)，同理，方程(1)無(wú)正整數(shù)解，則方程(2)a,b必不可能同時(shí)為正有理數(shù)。當(dāng)能證明(2)式中，在正整數(shù)N>2時(shí)，a,b不可能同時(shí)為正有理數(shù)，則費(fèi)爾馬大定理成功獲證。方程(1)化為方程(2)，變量由4降3，由求正整數(shù)解變?yōu)榍笳欣頂?shù)解，是求“真正奇妙的證明”首要一步。

為求“真正奇妙的證明”，建立五個(gè)引理。

引理1 要證費(fèi)爾馬大定理成立，只需證明當(dāng)N=4時(shí)及N為奇素?cái)?shù)時(shí)均成立，即已足夠。且我們僅需證明N為奇素?cái)?shù)情況即可。

證 引理1引于華羅庚(1910—1985)著《數(shù)論導(dǎo)引》318頁(yè)(科學(xué)出版社，1979年11月版)。陳景潤(rùn)(1933—1996)著《初等數(shù)論(1)》(科學(xué)出版社，1978年12月版)67-68頁(yè)給出中學(xué)生能看懂的嚴(yán)密證明。北京景山學(xué)校編的《中學(xué)生百科知識(shí)日讀》(下)(知識(shí)出版社，1983年)440-441頁(yè)介紹了費(fèi)爾馬大定理簡(jiǎn)要全面情況后對(duì)引理1正確性作了簡(jiǎn)要說(shuō)明。對(duì)于N=4費(fèi)爾馬大定理成立，公認(rèn)由費(fèi)爾馬先證出。故我們僅需證明N為奇素?cái)?shù)情況，引理1證畢。

引理2 當(dāng)奇正整數(shù)(包括奇素?cái)?shù))N>2，且

352+452=1=aN+bN。

(3)

則(3)式中a，b不可能同時(shí)是正有理數(shù)。

證明 先說(shuō)明(3)式來(lái)源，后用三個(gè)引理充分證明引理2的正確性。

據(jù)《十大數(shù)學(xué)家》一書(shū)132頁(yè)（傅鐘鵬，廣西科技出版社，1997年9月2版），費(fèi)爾馬寫(xiě)在《算術(shù)》一書(shū)的筆記的原書(shū)正文是將16分成25625和14425，即表為（3-0）的過(guò)程：

42=1652+1252。

（3-0）

將（3-0）式兩邊除以42，并與（2）式進(jìn)行比較，即可導(dǎo)出（3）式。

由（3）式，易導(dǎo)出：

352+452=aN22+bN22=1。

（4）

由（4）式，知35，45，aN2，bN2都是單位圓上的點(diǎn)，導(dǎo)出奇妙Rt△OAB,這是奇妙證明的第二個(gè)突破點(diǎn)。為證明引理2，建立引理3。

引理3 aNbN=h2，其中h是△OAB中底邊OA上的高，OA=1。

證明 如圖，由（4）式導(dǎo)出，其中OA=1，BC=h，BC⊥OA，AB=bN2，OB=aN2，AB⊥OB?！鱋AB面積可表為：

12aN2?bN2=12h?OA。

化簡(jiǎn)上式得：

aN?bN=(ab)N=h2。

（5）

引理3證畢。

為證明引理2，再建立引理4。

引理4 h2=［ab］N=X1-X21。

（6）

（6）式中，X1是Rt△OAB中AC的長(zhǎng)度，即：X1=AC。

證明 據(jù)前面《談勾股定理》一書(shū)32頁(yè)，由直角三角形頂點(diǎn)所作的高h(yuǎn)，是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，即：

h2=AC?CO=X1（1-AC）=X1-X21。

引理4證畢。（6）式是奇妙證明的第三個(gè)突破點(diǎn)。為證明引理2，再建立引理5。

引理5 （6）式中，當(dāng)正整數(shù)N＞2是奇數(shù)，則（ab）不可能是有理數(shù)。

證明 由（6）式導(dǎo)出下列方程：

X21-X1+h2=(ab)N=0。

(6-1)

設(shè)X1是變量，h及ab是常數(shù)，則（6-1）式是變量X1的二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)1，一次項(xiàng)系數(shù)為-1，據(jù)代數(shù)基本定理一元二次方程有兩個(gè)根，設(shè)為X2，X3，則據(jù)中學(xué)教科書(shū)上的韋達(dá)定理（Vieta，法國(guó)，1540—1603）必有：

X2+X3=-(-1)=1。

（7）

X2?X3=h2=(ab)N。

（8）

據(jù)（7）式由于1是有理數(shù)，故X2，X3在實(shí)數(shù)域只有兩種組合，即：全是有理數(shù)或全是無(wú)理數(shù)。

由（6-1）式，據(jù)公元12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅（1114—1185）的研究成果，一元二次方程有兩個(gè)根，求根的公式運(yùn)用到（6-1）式是：

記K=1-4h2。

（9-1）

X2=12+12k。

（9-2）

X3=12-12k。

（9-3）

據(jù)上述（7）～（8）的5個(gè)公式，證明a,b不可能同時(shí)是有理數(shù)，有三種證法。

（5－1）有重根時(shí)，a,b不可能同時(shí)是有理數(shù)證法之一。據(jù)（8）式，h指數(shù)是2，故（6-1）式必有重根。故證明a,b不能同時(shí)都是有理數(shù)的優(yōu)化方法是：方程（6-1）有重根，則K=0，由（9-1）（9-2）及（9-3）式得：

X2?X3=h2=(ab)N=14。

（10）

由（10）式知，當(dāng)正整數(shù)N＞2時(shí)，a,b不可能同時(shí)是有理數(shù)。

（5－2）（6－1）式有重根時(shí)a,b不可能同時(shí)是有理數(shù)證法之二。用反證法。據(jù)（8）式，設(shè)a,b同時(shí)是有理數(shù)，據(jù)歐幾里得于公元前已證明的算術(shù)基本定理，有理數(shù)a,b用素（質(zhì)）數(shù)標(biāo)準(zhǔn)表出后，表法唯一，由于正整數(shù)N＞2，（ab）N表示（6－1）式有N＞2個(gè)有理根。與代數(shù)基本定理一元二次方程只有兩個(gè)根矛盾，故設(shè)a,b同時(shí)是有理數(shù)不成立，a,b不能同時(shí)是有理數(shù)。

（5－3）用（7）（8）和（9）的5個(gè)公式無(wú)法證明a,b同時(shí)是有理數(shù)。

引理5證畢。

由于引理1，2，3，4和5成立，故（2）（3）式中a,b不可能同時(shí)是有理數(shù)，故當(dāng)正整數(shù)N＞2時(shí)，（1）式成立，費(fèi)爾馬大定理奇妙的證明證畢。

從上述證明過(guò)程知，得出“真正奇妙的證明”需走費(fèi)爾馬的思路，建立三個(gè)基本要素：將變量數(shù)下降，由(1)式化為(2)式變量由4個(gè)降為3個(gè)，將變量下降后的方程與二次方程對(duì)比分析，導(dǎo)出方程(3)和（4），作出奇妙Rt△OAB，從奇妙三角形導(dǎo)出（6）式。三個(gè)基本要素的巧妙運(yùn)用，簡(jiǎn)稱為廣義無(wú)窮遞降法。用比爾?蓋茨在《未來(lái)之路》一書(shū)的提法是技術(shù)上互相兼容和“正向螺旋”因素激勵(lì)的結(jié)果，就產(chǎn)生了“真正奇妙的證明”。奇在于只用費(fèi)爾馬時(shí)代的已有數(shù)學(xué)知識(shí)，妙在于三個(gè)基本要素的巧妙聯(lián)合運(yùn)用。奇還在于365年中世界上幾代優(yōu)秀數(shù)學(xué)家找不到這種思維方法。費(fèi)爾馬用了7～17年，安德魯?懷爾斯用了30年才找到此方法。

本證明對(duì)進(jìn)一步理解單位圓等十多個(gè)初等數(shù)學(xué)基本概念和互相聯(lián)系運(yùn)用的特性有幫助，是理解中學(xué)數(shù)學(xué)一批基本概念和聯(lián)系運(yùn)算的最好習(xí)題之一，是體驗(yàn)數(shù)學(xué)魅力的好教材之一。

三、三個(gè)對(duì)比和三個(gè)價(jià)值

1比個(gè)對(duì)比

據(jù)有關(guān)報(bào)道，美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授安德魯?懷爾斯經(jīng)30年努力于1994年9月19日證明費(fèi)爾馬大定理成立，現(xiàn)將懷爾斯成果與本文成果，從下列三個(gè)方面對(duì)比如下。

（1）證法與費(fèi)爾馬“真正奇妙的證明”的比較。懷爾斯教授證明，用了20世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家等新的科研成果為基礎(chǔ)而得出。因此肯定不定費(fèi)爾馬當(dāng)年的“真正奇妙的證明”。本文證法，使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，費(fèi)爾馬時(shí)代已具備，與費(fèi)爾馬首創(chuàng)無(wú)窮遞降法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題和筆記在《算術(shù)》書(shū)頁(yè)思維方法極近似，因此，本證明有可能是費(fèi)爾馬當(dāng)年所想所寫(xiě)的“真正奇妙的證明”。

（2）看懂證明成果人數(shù)比較。懷爾斯教授的證明，“世界上只有大約100個(gè)人可以看懂”。本證明，高中畢業(yè)生中有2%的人能看懂，全世界能看懂的人超億人。

（3）論文長(zhǎng)短比較。懷爾斯教授論文長(zhǎng)140頁(yè)，簡(jiǎn)化后也有100頁(yè)，本文全部約5頁(yè)。

2北境曬的三個(gè)價(jià)值

本成果的三個(gè)價(jià)值是：用廣義無(wú)窮遞降法解開(kāi)了365年“真正奇妙的證明”之謎，且超億人能看懂，豐富了初等數(shù)論和初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)啟發(fā)知識(shí)創(chuàng)新有很大參考價(jià)值。由于世界古今六大數(shù)學(xué)難題之一得到“真正奇妙的證明”有很大歷史文化價(jià)值。再證明了20世紀(jì)最偉大的思想家和科學(xué)家愛(ài)因斯坦(Einstein,1879—1955)的一句名言的價(jià)值，（據(jù)景山學(xué)校編《中學(xué)生百科知識(shí)日讀》645頁(yè)：愛(ài)因斯坦認(rèn)為“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”。）