毛崎波

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，南昌330063)

近幾年來(lái)，壓電智能材料(Piezoelectric Smart Material)特別是具有密度低、機(jī)械韌性好、可塑性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)的高分子壓電薄膜PVDF(Polyvinylidene Fluoride)作為壓電式傳感器在結(jié)構(gòu)聲有源控制ASAC(Active Structural Acoustic Control)中的應(yīng)用越來(lái)越引起關(guān)注[1－6]。由于振動(dòng)結(jié)構(gòu)的聲功率為其表面法向速度的函數(shù)，表面法向速度的分布不同對(duì)聲功率的貢獻(xiàn)不同，所以合理的壓電式傳感器應(yīng)該只測(cè)量對(duì)聲輻射起主要貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)。最近有學(xué)者提出通過(guò)抵消體積位移(Volume Displacement)設(shè)計(jì)ASAC系統(tǒng)，并對(duì)壓電式體積位移傳感器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究[7－9]。這一方法的主要特點(diǎn)是利用模態(tài)的正交性得到特定形狀的PVDF傳感器形狀，本文稱之為“模態(tài)方法”。但是隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)這種傳感器設(shè)計(jì)方法存在如下問(wèn)題難以解決:對(duì)于一種邊界條件，就需要一種特定形狀的PVDF傳感器，邊界條件的變化有可能使所設(shè)計(jì)的PVDF傳感器的輸出有很大的誤差。PVDF薄膜的形狀有可能很復(fù)雜，難以加工。

[10－13]提出了另一種模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)方法，其基本思路為通過(guò)在振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面上布置一組相同形狀的矩形PVDF薄膜陣列，然后通過(guò)設(shè)計(jì)這組PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)，測(cè)量振動(dòng)結(jié)構(gòu)的體積位移或聲輻射模態(tài)。在此前發(fā)表的論文中，作者對(duì)此進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[9－11，14－16]。進(jìn)一步的研究表明通過(guò)這種方法所設(shè)計(jì)的PVDF薄膜并不需要覆蓋整個(gè)結(jié)構(gòu)的表面。但是這種方法的基本思想還是利用模態(tài)的正交性，所以在確定PVDF傳感器的加權(quán)系數(shù)時(shí)必須預(yù)先解得結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)模態(tài)(振型函數(shù))。

為了解決這些問(wèn)題，本文以一未知邊界條件的振動(dòng)梁為例，提出通過(guò)測(cè)量 PVDF陣列中各個(gè)PVDF薄膜與激勵(lì)力之間的頻率響應(yīng)函數(shù)，并結(jié)合偽逆方法和Tikhonov正則化方法設(shè)計(jì)PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)，從而得到所需的體積位移。

1 基本理論

假設(shè)有一鑲嵌在無(wú)限障板中的振動(dòng)梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)x，寬度為 Ly，厚度為 h。根據(jù)參考文獻(xiàn)[7，10]可知，體積位移D為振動(dòng)梁表面法向位移w(x)在整個(gè)梁表面上的積分，即

從聲輻射模態(tài)理論可知，體積位移與第1階聲輻射模態(tài)的幅值成正比，在低頻時(shí)第1階聲輻射模態(tài)對(duì)聲功率起主要貢獻(xiàn)[3－4]。Berry[17]進(jìn)一步指出，當(dāng)作用在梁上激勵(lì)力的無(wú)量綱頻率k·Lx?1時(shí)(其中k為波數(shù)，k=ω/c0，ω為激勵(lì)力頻率，c0為聲速)，聲功率W可表示為

式中ρ0為空氣的密度。

從式(2)可知，低頻時(shí)梁的聲功率與體積位移有直接關(guān)系。如果抵消了體積位移，就能使振動(dòng)結(jié)構(gòu)低頻時(shí)的聲功率明顯降低。

2 PVDF傳感器的設(shè)計(jì)

考慮在振動(dòng)梁上均勻布置N塊同樣形狀的矩形PVDF薄膜，如圖1所示。假設(shè)第n個(gè)PVDF的其輸出電荷為Qn，為了測(cè)量各階模態(tài)坐標(biāo)，我們通過(guò)對(duì)每個(gè)PVDF設(shè)計(jì)不同的加權(quán)系數(shù)，其基本思路如圖2所示。從圖2中可以看出，經(jīng)過(guò)加權(quán)后，這組PVDF傳感器的輸出為

式中:Wn表示第n個(gè)PVDF傳感器未知的加權(quán)系數(shù)。

圖1 PVDF示意圖

圖2 通過(guò)PVDF陣列測(cè)量體積位移示意圖

下面的任務(wù)是如何設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)募訖?quán)系數(shù)W使得經(jīng)過(guò)加權(quán)后這組PVDF陣列的輸出電荷 ^D等于體積位移D。

考慮到在實(shí)際工程應(yīng)用中，一般情況下振動(dòng)梁的邊界條件或模態(tài)信息為未知。所以我們無(wú)法通過(guò)傳統(tǒng)的模態(tài)方法[10－13，18]設(shè)計(jì) PVDF 陣列的加權(quán)系數(shù)。為此我們提出偽逆方法設(shè)計(jì)PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)，首先假設(shè)在一定頻率范圍內(nèi)，通過(guò)一已知激勵(lì)力下的體積位移D(ω)，并測(cè)量到該激勵(lì)力與PVDF薄膜之間的頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(ω)。

由式(3)可知，通過(guò)PVDF測(cè)量的體積位移D=^D可以表示為頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(ω)和相應(yīng)PVDF加權(quán)系數(shù)Wn的線性組合，即

假設(shè)在式(4)中選取L(L＞N)個(gè)頻率，則式(4)可以進(jìn)一步表示為矩陣形式，即

式中:G矩陣的(l，n)元素為第n個(gè)PVDF在頻率為ωl時(shí)的輸出電荷。G和為復(fù)數(shù)矩陣，而W為實(shí)向量。

把式(5)代入式(6)得

從式(7)可知，可以定義誤差準(zhǔn)則J為

可以通過(guò)最小化式(8)即可得到PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)向量W。注意到式(8)中WHGHGW=DHD=|D|2＞0，所以矩陣GHG為正定。式(8)為標(biāo)準(zhǔn)Hermitian二次方形式，具有唯一的最小值。根據(jù)線性均分優(yōu)化理論，可以得到最優(yōu)解:

式中:G+=[GHG]－1GH為G矩陣的偽逆。上標(biāo) H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。

通過(guò)式(9)直接求解加權(quán)系數(shù)向量W存在的主要困難在于無(wú)法保證矩陣G不是病態(tài)的，有可能導(dǎo)致G矩陣中的測(cè)量誤差在計(jì)算過(guò)程中被非線性放大，使得通過(guò)式(9)得到的加權(quán)系數(shù)偏離精確解。所以本文引入Tikhonov正則化方法求解方程(8)，Tikhonov正則化的基本思路是在式(8)的誤差準(zhǔn)則中加入一額外的約束，式(8)中的誤差準(zhǔn)則重新表示為[19－21]

式中:α為正則化參數(shù)(正實(shí)數(shù))。在未知測(cè)量誤差的情況下，可以通過(guò)廣義交叉驗(yàn)證[18]GCV(Generalized Cross-Validation)方法確定正則化參數(shù)α，即

式中:Tr表示括號(hào)內(nèi)矩陣的對(duì)角元素之和，B(β)=GT(GGT+αI)－1。

由參考文獻(xiàn)[19－21]可知，式(10)的最優(yōu)解為

這樣通過(guò)式(12)就可得到測(cè)量體積位移的PVDF陣列加權(quán)系數(shù)W。需要指出的是，本文方法不需要結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息或邊界條件。還需要指出的是，只要把PVDF的電流信號(hào)作為輸出，就可以測(cè)量體積速度[9]。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文的設(shè)計(jì)方法，取一鋁梁長(zhǎng)Lx=500 mm，寬Ly=40 mm，厚h=3.3 mm進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。通過(guò)在梁上均勻粘貼N=10塊相同形狀的矩形PVDF薄膜作為傳感器測(cè)量該粱的體積位移，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)量的前7階固有頻率如表1所示，在表1中同時(shí)列出了該梁在兩端簡(jiǎn)支和兩端固定的前7階固有頻率的理論值。從圖2和表1可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)裝置中振動(dòng)梁的邊界條件介于簡(jiǎn)支和固定之間。PVDF傳感器的物理參數(shù)如表2所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)照片

表1 實(shí)驗(yàn)梁前9階固有頻率(Hz)

表2 PVDF傳感器的物理參數(shù)

實(shí)驗(yàn)中，用一懸掛激振器作為外部力源位于xd處，通過(guò)PCB力傳感器(型號(hào):208A04)測(cè)量輸入力，B＆K Pulse動(dòng)態(tài)分析儀進(jìn)行正弦掃頻(Sweep-Sine)，通過(guò)功率放大器驅(qū)動(dòng)激勵(lì)器，頻率范圍從5 Hz到2 000 Hz。首先外部力源位于xd=125 mm處，測(cè)量輸入力和PVDF薄膜的傳遞函數(shù)G(ω)。并把梁均勻分成25個(gè)測(cè)量點(diǎn)，通過(guò)加速度計(jì)(型號(hào):PCB333B31)逐點(diǎn)測(cè)量輸入力和各測(cè)量點(diǎn)位移之間的傳遞函數(shù) H(ω)。把式(1)進(jìn)行離散化[5，8]，在 xd位置下幅值1 N的點(diǎn)力激勵(lì)時(shí)的體積位移可表示為:

把測(cè)量的PVDF傳遞函數(shù)G(ω)和通過(guò)式(13)計(jì)算得到的體積位移D(ω)代入式(12)，可以得到PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)W。圖4表示根據(jù)式(12)得到的PVDF加權(quán)系數(shù)直方圖。圖5表示通過(guò)加速度計(jì)測(cè)量得到的體積位移與通過(guò)PVDF陣列得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。從圖5可以發(fā)現(xiàn)，體積位移在偶數(shù)階(2，4和6)模態(tài)均出現(xiàn)較大的峰值，這表明實(shí)驗(yàn)中梁兩端的邊界條件并非簡(jiǎn)單固定或簡(jiǎn)支。這意味著本文的PVDF陣列設(shè)計(jì)方法可用于任意邊界下振動(dòng)梁體積位移的測(cè)量。

圖4 PVDF傳感器的加權(quán)系數(shù)Wn

圖5 分別通過(guò)PVDF陣列和加速度計(jì)測(cè)量體積位移幅值和相位(激勵(lì)力位于xd=125 mm)

由于PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)與外激勵(lì)力性質(zhì)(如激勵(lì)力類型、頻率以及位置等)無(wú)關(guān)[8－11]，所以可以通過(guò)該加權(quán)系數(shù)通過(guò)式(4)計(jì)算任意激勵(lì)下體積位移。圖6表示當(dāng)激勵(lì)力移動(dòng)到xd=330 mm時(shí)，通過(guò)圖4所示的PVDF加權(quán)系數(shù)得到的體積位移與實(shí)際體積位移(通過(guò)加速度計(jì)測(cè)量得到)之間的比較。從圖5和圖6中可以發(fā)現(xiàn)，在大部分頻率范圍內(nèi)，PVDF陣列輸出與加速度計(jì)測(cè)量的體積位移吻合得很好。與作者之前通過(guò)模態(tài)方法結(jié)合PVDF陣列實(shí)驗(yàn)測(cè)量的聲輻射模態(tài)[7，9](第一階聲輻射模態(tài)幅值與體積位移成正比)相比，本文PVDF陣列的實(shí)驗(yàn)精度大為提高。這是由于模態(tài)方法必須預(yù)先知道實(shí)驗(yàn)梁的模態(tài)信息，但是實(shí)驗(yàn)中梁的邊界條件與理想情況(一般假設(shè)為簡(jiǎn)支或固定)會(huì)有一定誤差。這些邊界條件的誤差會(huì)導(dǎo)致PVDF傳感器的測(cè)量誤差就隨著頻率提高而增加[14－16]。而本文直接通過(guò)偽逆方法結(jié)合Tikhonov正則化設(shè)計(jì)PVDF陣列體積位移傳感器，不需要振動(dòng)結(jié)構(gòu)任何模態(tài)或邊界條件信息。從而使得本文的PVDF加權(quán)系數(shù)以及測(cè)量結(jié)果更加精確。

圖6 分別通過(guò)PVDF陣列和加速度計(jì)測(cè)量體積位移幅值和相位(激勵(lì)力位于xd=330 mm)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)一組矩形PVDF薄膜測(cè)量未知邊界條件下振動(dòng)梁的體積位移。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于只需要測(cè)量一組在某一激勵(lì)力下PVDF陣列的頻率響應(yīng)函數(shù)以及在該激勵(lì)力下的體積位移，就可以通過(guò)偽逆方法結(jié)合Tikhonov正則化得到PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)，該P(yáng)VDF加權(quán)系數(shù)可用于計(jì)算任意激勵(lì)下的體積位移。本文方法的另一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是不需要任何模態(tài)信息或邊界條件信息。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法的測(cè)量精度比模態(tài)方法[9－13]大為提高。

參考文獻(xiàn):

[1]Gardonio P，Lee Y S，Elliott J S.Analysis and Measurement of a Matched Volume Velocity Sensor and Uniform Force Actuator for Active Structural Acoustic Control[J].Journal of the Acoustical Society of America，2001，110(6):3025－3031.

[2]Henrioulle H，Sas P.Experimental Validation of a Collocated PVDF Volume Velocity Sensor/actuator Pair[J].Journal of Sound and Vibration，2003，265(13):489－506.

[3]毛崎波，姜哲.通過(guò)壓電式傳感器進(jìn)行簡(jiǎn)支梁聲輻射有源控制[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2001，26(6):527－531.

[4]毛崎波，徐柏齡.通過(guò)壓電高分子薄膜設(shè)計(jì)聲輻射模態(tài)傳感器[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2003，28(3):262－266.

[5]陳衛(wèi)東，董艷茹，朱奇光，等.基于PVDF的三維機(jī)器人觸覺(jué)傳感器有限元分析[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2010.23(3):336－340.

[6]揭琳鋒，朱曉鋒，王國(guó)林，等.PVDF的大拉伸變形測(cè)試機(jī)理研究[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2010.23(6):896－898.

[7]Marcellin B Z，Naghshineh K，Kamman J W.Narrow Band Active Control of Sound Radiated from a Baffled Beam Using Local Volume Displacement Minimization[J].Applied Acoustics，2001，62(1):47－64.

[8]Zahui M，Wendt R.Development of Local Volume Displacement Sensors for Vibrating Plates[J].Journal of the Acoustical Society of America，2004，116(4):2111－2117.

[9]Mao Q，Xu B，Jiang Z，et al.A Piezoelectric Array for Sensing Radiation Modes[J].Applied Acoustics，2003，64:669－680.

[10]Mao Q，Pietrzko S.Measurements of Local Volume Displacement Using a Piezoelectric Array[J].Acta Acustica united with Acustica，2006，92(4):556－566.

[11]毛崎波，蔡憶昔，李小華.通過(guò)壓電式傳感器陣列測(cè)量簡(jiǎn)支梁的聲輻射模態(tài)[J].中國(guó)機(jī)械工程，2009，20(9):1169－1172.

[12]Francois A，Man P D，Preumont A.Piezoelectric Array Sensing of Volume Displacement:A Hardware Demonstration[J].Journal of Sound and Vibration，2001;244(3):395－405.

[13]Preumont A，F(xiàn)rancois A，Man P D，et al.Spatial Filters in Structural Control[J].Journal of Sound and Vibration，2003，265(1):61－79.

[14]Mao Q，Pietrzko S.Design of Shaped Piezoelectric Modal Sensor for Beam with Arbitrary Boundary Conditions by Using Adomian Decomposition Method[J].Journal of Sound and Vibration，2010，329:2068－2082.

[15]Mao Q.Design of Shaped Piezoelectric Modal Sensors for Cantilever Beams with Intermediate Support by Using Differential Transformation Method[J].Applied Acoustics，2012，73(2):144－149.

[16]Mao Q，Pietrzko S.Design of Shaped Piezoelectric Modal Sensor for a Type of Non-Uniform Beams Using Adomian-Modified Decomposition Method[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2011，22(2):149－159.

[17]Berry A.Advanced Sensing Strategies for the Active Control of Vibration and Structural Radiation[J].Noise Control Engineering Journal，2001，49(1):54－65.

[18]Lee C K，Moon F C.Modal Sensors/Actuator[J].Journal of Applied Mechanics，1990，57(2):434－441.

[19]Nelson P A，Yoon S H.Estimation of Acoustic Source Strength by Inverse Methods:Part 1，Conditioning of the Inverse Problem[J].Journal of Sound and Vibration，2000，233(4):643－668.

[20]Yoon S H，Nelson P A.Estimation of Acoustic Source Strength by Inverse Methods:Part 2，Experimental Investigation of Methods for Choosing Regularization Parameters[J].Journal of Sound and Vibration，2000，233(4):669－705.

[21]Yoon S H，Nelson P A.A Method for the Efficient Construction of Acoustic Pressure Cross-Spectral Matrices[J].Journal of Sound and Vibration，2000;233(5):897－920.