曹風(fēng)華

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)信息管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘作為數(shù)據(jù)挖掘的一個(gè)重要研究分支，主要研究從大型數(shù)據(jù)集中發(fā)現(xiàn)隱藏的、有趣的、屬性間存在的規(guī)律。由于關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的對象通常是包含有海量原始數(shù)據(jù)和大量項(xiàng)目的事務(wù)數(shù)據(jù)庫，因此如何提高從大型數(shù)據(jù)庫中挖掘關(guān)聯(lián)規(guī)則的效率和伸縮性，以便有效降低計(jì)算的復(fù)雜性、提高算法的運(yùn)行速度，仍是關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘研究領(lǐng)域的核心問題。

R.Agrawal等人首先提出了挖掘關(guān)聯(lián)規(guī)則的Apriori算法［1－2］，該算法是挖掘布爾關(guān)聯(lián)規(guī)則最有影響的數(shù)據(jù)挖掘算法之一，其基本思想是重復(fù)掃描數(shù)據(jù)庫，根據(jù)一個(gè)頻繁集的任意子集都是頻繁集的原理，可以從長度為k的頻繁項(xiàng)集迭代地產(chǎn)生長度為k+1的候選項(xiàng)集，再掃描數(shù)據(jù)庫以驗(yàn)證其是否為頻繁項(xiàng)集。該算法因多次掃描規(guī)模不變的事務(wù)數(shù)據(jù)庫，耗費(fèi)大量時(shí)間，隨后出現(xiàn)了很多類Apriori算法，其中有些算法將事務(wù)數(shù)據(jù)庫以二進(jìn)制形式映射到內(nèi)存中然后進(jìn)行相關(guān)挖掘操作，這類算法由于減少了直接掃描數(shù)據(jù)庫的次數(shù)，避免了在I/O操作上浪費(fèi)大量時(shí)間，在一定程度上提高了挖掘效率。

文獻(xiàn)［3］中提出了一種高效的 ABM(Algorithm Based on Matrix)算法，該算法具有前文所述類Apriori算法的優(yōu)點(diǎn)，但每次操作的對象都是規(guī)模不變的向量，而事實(shí)上，當(dāng)項(xiàng)集維數(shù)很高時(shí)，參與運(yùn)算向量的規(guī)模將在一定程度上影響算法的執(zhí)行效率，因此，在ABM算法的基礎(chǔ)上，文中提出了改進(jìn)的 ABTM(Algorithm Based on Two Matrix)算法，在算法中引入了兩個(gè)矩陣，一個(gè)用來映射數(shù)據(jù)庫，另一個(gè)用來存儲頻繁2－項(xiàng)集相關(guān)信息。通過對兩個(gè)矩陣的操作，有效避免了Apriori算法中需要多次重復(fù)掃描規(guī)模不變的數(shù)據(jù)庫和產(chǎn)生大量候選集并進(jìn)行剪枝的缺點(diǎn)，并解決了ABM算法中影響算法執(zhí)行效率的瓶頸問題，實(shí)驗(yàn)表明，本算法具有較好的性能。

1 相關(guān)概念和性質(zhì)

設(shè) I={i1，i2，…，im}是全體數(shù)據(jù)項(xiàng)的集合，數(shù)據(jù)項(xiàng)集是指由不同數(shù)據(jù)項(xiàng)構(gòu)成的非空集合。設(shè)D為全體事務(wù)集，每條事務(wù)T有惟一標(biāo)識TID，且T?I。對于項(xiàng)集X?I，當(dāng)且僅當(dāng)X?T時(shí)稱項(xiàng)集X在事物T中出現(xiàn)。項(xiàng)集X在事務(wù)集合D中出現(xiàn)的次數(shù)稱為X的支持?jǐn)?shù)，記做sup(X)。對于用戶給定的最小支持?jǐn)?shù)閥值min_sup，若sup(X)≥min_sup，則項(xiàng)集X是頻繁項(xiàng)集，否則X是非頻繁項(xiàng)集。若頻繁項(xiàng)集X有k個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)組成，則稱X是頻繁k－項(xiàng)集，所有頻繁k－項(xiàng)集的集合記做Lk。

性質(zhì)1 頻繁k－項(xiàng)集的所有m，0＜m＜k，維子集都是頻繁項(xiàng)集。

性質(zhì)2 m維非頻繁項(xiàng)集的任一k，k＞m，維超集是非頻繁項(xiàng)集。

性質(zhì)1和性質(zhì)2的詳細(xì)證明可參見文獻(xiàn)［3］。

推論:項(xiàng)集{i1，i2，…，ik，iu}，k≥2，i1＜ i2＜ … ＜ik＜iu)為頻繁k+1項(xiàng)集的必要條件是:(1){ij，iu}，j=1，2，…，k必須都為頻繁2－項(xiàng)集。(2)能與iu組成頻繁2－項(xiàng)集且小于iu的項(xiàng)的個(gè)數(shù)至少要有k個(gè)。

證明:{i1，i2，…，ik，iu}為頻繁 k +1 項(xiàng)集，對于 j =1，2，…，k，2 項(xiàng)集{ij，iu}共有 k 個(gè)且都是項(xiàng)集{i1，i2，…，ik，iu}的子集，由性質(zhì)1知，這k個(gè)2項(xiàng)集都是頻繁項(xiàng)集，同時(shí)可能存在 k ＜j＜u，ij＜ iu且{ij，iu}是頻繁 2項(xiàng)集，所以能與iu組成頻繁2－項(xiàng)集且＜iu的項(xiàng)的個(gè)數(shù)至少有k個(gè)。

性質(zhì)3 ?i∈I，如果i在頻繁k－1項(xiàng)集的集合Lk－1中的出現(xiàn)次數(shù)＜k－1，則 i 不會出現(xiàn)在任何頻繁k－項(xiàng)集中。

證明:假設(shè)項(xiàng)目i出現(xiàn)在某頻繁k－項(xiàng)集中，由于該頻繁k－項(xiàng)集有k個(gè)k－1維子集，且k個(gè)子集都在Lk－1中，因此對于i，在這k個(gè)k－1維子集中共出現(xiàn)k－1 次，故≥k－1，與條件矛盾，因此i不會出現(xiàn)在任何頻繁k－項(xiàng)集中。

根據(jù)頻繁k－項(xiàng)集的支持?jǐn)?shù)的定義很容易得出結(jié)論，證明略。

2 ABTM算法描述

(1)構(gòu)造事務(wù)矩陣TM(Transaction Matrix)，并產(chǎn)生頻繁1－項(xiàng)集。對于有m條事務(wù)，n個(gè)項(xiàng)的事務(wù)數(shù)據(jù)庫，建立一個(gè) m × (n+1)的事務(wù)矩陣［8］TMm×p，p=n+1，并將矩陣每位元素初始化為0。掃描事務(wù)數(shù)據(jù)庫，統(tǒng)計(jì)每個(gè)項(xiàng)目出現(xiàn)的次數(shù)，同時(shí)如果項(xiàng)目i在第j條事務(wù)中出現(xiàn)，則將Mji置1，否則置0。矩陣的第n+1列為hcount列，該列記錄每行中1的個(gè)數(shù)，每行的hcount值表示該條事物中項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，也即該事務(wù)的長度。矩陣前n列分別是與項(xiàng)目i對應(yīng)的位向量BVi，某列中1的個(gè)數(shù)即是該列對應(yīng)的項(xiàng)目的支持?jǐn)?shù)，如果該值大于最小支持?jǐn)?shù)，則該項(xiàng)目是頻繁1－項(xiàng)集。

(2)構(gòu)造二項(xiàng)支持矩陣SM(Support Matrix)，產(chǎn)生頻繁2－項(xiàng)集。建立一個(gè)n×(n－1)的矩陣SMn×q，n為項(xiàng)目數(shù)，q=n－1，并將矩陣每位元素初始化為0。將頻繁1－項(xiàng)集中的項(xiàng)目進(jìn)行排序后(本文使用字典序)，對所有項(xiàng)目i，取比i大的項(xiàng)目j，對它們對應(yīng)的向量做內(nèi)積運(yùn)算［5－6］，即如果 B Vi·BVj不小于最小支持?jǐn)?shù)，則項(xiàng)集{i，j}是頻繁2－項(xiàng)集，將 S Mij置1，否則置0。矩陣的第n行為vcount行，該行記錄每列中1的個(gè)數(shù)，每列的vcount值表示能與該列對應(yīng)的項(xiàng)組成頻繁2－項(xiàng)集且編號小于該項(xiàng)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

(3)裁剪事務(wù)矩陣TM［3］。在求頻繁k－項(xiàng)集前，計(jì)算各單項(xiàng)在Lk－1中的出現(xiàn)次數(shù)，根據(jù)性質(zhì)3，若＜k－1，則刪除i在矩陣中對應(yīng)的列。重新計(jì)算矩陣的hcount列的值后，根據(jù)性質(zhì)4，如果某行的hcount值＜k，則刪除該行。

(4)求頻繁k－項(xiàng)集。K－項(xiàng)集的產(chǎn)生是通過對頻繁k－1項(xiàng)集的擴(kuò)展來求解的，對于頻繁k－1項(xiàng)集{i1，i2，…，ik－1}，i1＜i2＜ … ＜ ik－1，如果在二項(xiàng)支持矩陣中有 SM［ik－1，iu］=1，iu＞ ik－1，iu列的 vcount值不小于k －1，且 SM［i1，iu］=SM［i2，iu］= … =SM［ik－2，iu］=1，那么擴(kuò)展該頻繁k－1－項(xiàng)集為 k－項(xiàng)集{i1，i2，…，ik－1，iu}，對這k個(gè)項(xiàng)目對應(yīng)的映射矩陣中的列向量做內(nèi)積運(yùn)算，即如果 BVi1·BVi2·…·BVik－1·BViu的結(jié)果不小于最小支持?jǐn)?shù)，則項(xiàng)集{i1，i2，…，ik－1，iu}是頻繁k－項(xiàng)集。

(5)重復(fù)執(zhí)行算法的第(3)～(4)步，直至不能產(chǎn)生更高階的頻繁項(xiàng)集。

3 算法執(zhí)行實(shí)例

以表1所示的事務(wù)數(shù)據(jù)集為例，介紹ABTM算法的執(zhí)行過程，設(shè)最小支持?jǐn)?shù)min_sup=2，具體過程如下:

表1 事務(wù)數(shù)據(jù)集

表2 事務(wù)矩陣TM

表3 支持矩陣SM

表4 裁剪后的TM矩陣

第一步 掃描事務(wù)數(shù)據(jù)集構(gòu)造映射矩陣，如表2所示。得到 L1={a，b，c，d，e}。

第二步 構(gòu)造二項(xiàng)支持矩陣，如表3所示。得到L2={{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，e}，{c，e}}。

第三步 對于L2中的各單項(xiàng)，由于=1＜2，因此刪除矩陣的d列，對hcount重新計(jì)算，由于1，5，6行的hcount都＜3，刪除這3行，得到裁剪后的矩陣，如表4所示。

第四步 根據(jù)頻繁2－項(xiàng)集中的項(xiàng)和二項(xiàng)支持矩陣記錄的相關(guān)信息，可以得到擴(kuò)展3－項(xiàng)集{a，b，c}，{a，c，e}和{b，c，e}，由映射矩陣可得到 BVa·BVb·BVc=2，BVa·BVc·BVe=1，BVb·BVc·BVe=2，因min_sup=2，得到 L3={{a，b，c}，{b，c，e}}。由于 L3中項(xiàng)的個(gè)數(shù)＜3，故L3是最大頻繁集。

4 算法比較和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 算法性能比較

Apriori算法是挖掘關(guān)聯(lián)規(guī)則的經(jīng)典算法，與該算法相比，ABTM算法僅需要掃描數(shù)據(jù)庫一遍，減少了讀取數(shù)據(jù)庫的時(shí)間，而且頻繁k－項(xiàng)集的產(chǎn)生是通過擴(kuò)展項(xiàng)集和向量內(nèi)積運(yùn)算求解，不需要連接和剪枝等操作。Apriori算法操作的對象直接是事物數(shù)據(jù)庫，而且每次掃描數(shù)據(jù)庫的規(guī)模不變，ABTM算法通過轉(zhuǎn)換將數(shù)據(jù)庫映射到矩陣中以二進(jìn)制形式存儲，通過合理設(shè)計(jì)稀疏矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使最終占用空間相對較小。

ABM算法［3］是一種高效的關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法，與該算法相比，ABTM算法的不同之處在于兩個(gè)方面:(1)采用矩陣映射事務(wù)數(shù)據(jù)庫，而不是建立單個(gè)項(xiàng)目的位向量，盡管兩種算法將數(shù)據(jù)庫映射到內(nèi)存中占用的空間相同，但矩陣存儲能夠?qū)崿F(xiàn)對規(guī)模的有效裁剪，隨著項(xiàng)集維數(shù)的增長，ABTM算法將矩陣中無用的行和列刪除，使得內(nèi)存空間逐步得到釋放，同時(shí)參與運(yùn)算向量的長度越短，計(jì)算量也越小。(2)ABM算法中的支持矩陣是(n－1)×n的，但考慮到最小項(xiàng)目不可能與更小的項(xiàng)目構(gòu)成頻繁2－項(xiàng)集，因此無需為最小項(xiàng)目建立對應(yīng)的列，所以ABTM算法采用的是(n－1)×(n －1)矩陣，節(jié)省了存儲空間［8］。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

算法采用Java實(shí)現(xiàn)，數(shù)據(jù)庫為SQL Server2000，實(shí)驗(yàn)機(jī)器CPU為Intel Pentium42.8 GHz，內(nèi)存為512 MB，測試數(shù)據(jù)集有10000條事務(wù)，由IBM數(shù)據(jù)生成器生成，該數(shù)據(jù)生成器可以在IBM網(wǎng)站下載。

為比較提出的ABTM算法和經(jīng)典算法在不同支持度下的所用時(shí)間，設(shè)置了不同的支持度分別運(yùn)行各算法，描點(diǎn)繪圖如下，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同支持度下個(gè)算法運(yùn)行時(shí)間

由于提出的算法和ABM算法性能的差異取決于候選項(xiàng)集的產(chǎn)生速度以及產(chǎn)生數(shù)量的大小，而屬性數(shù)量的多少直接影響了候選項(xiàng)集的生成。設(shè)置支持度固定為0.15，針對不同的屬性個(gè)數(shù)，分別統(tǒng)計(jì)各算法的所用時(shí)間，繪圖如2所示。

圖2 屬性數(shù)量對算法的影響

從圖2可以看出，ABTM算法運(yùn)行所需時(shí)間顯著少于Apriori算法和ABM算法。圖1中，隨著所設(shè)定的支持度越來越小，Apriori算法和ABM算法總運(yùn)算量與支持度呈非線性增長，所需時(shí)間也大大增加，而由于ABTM算法僅需要掃描數(shù)據(jù)庫一遍，減少了讀取數(shù)據(jù)庫的時(shí)間，而且頻繁k－項(xiàng)集的產(chǎn)生是通過擴(kuò)展項(xiàng)集和向量內(nèi)積運(yùn)算求解，不需要連接和剪枝等操作，隨支持度減小，算法所需時(shí)間并未顯著增加。圖2中，隨著屬性數(shù)量的增加，Apriori算法和ABM算法運(yùn)行時(shí)間迅速上升，而ABTM的擴(kuò)展項(xiàng)集和向量內(nèi)積運(yùn)算并不會因?yàn)閷傩詳?shù)量增加而收到較大影響。

5 結(jié)束語

文中算法引入兩個(gè)矩陣，分別從時(shí)間和空間上進(jìn)行優(yōu)化，使得算法效率顯著提高，是一種易理解且可行性較好的算法。算法還可以在以下兩方面做進(jìn)一步的優(yōu)化:(1)由于在構(gòu)造事務(wù)矩陣后就完成了頻繁1－項(xiàng)集的產(chǎn)生，所以可以在構(gòu)造二項(xiàng)支持矩陣前進(jìn)行一次映射矩陣的裁剪。(2)由于可能存在一些項(xiàng)并非頻繁1－項(xiàng)集，那么這些項(xiàng)不可能再出現(xiàn)在更高階的頻繁項(xiàng)集中，因此在構(gòu)造二項(xiàng)支持矩陣時(shí)也沒有必要考慮這些項(xiàng)。

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