曾亞武，黎 玲，熊 俊，曹 源

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

1 研究背景

巖石是一種特殊的地質(zhì)材料，其內(nèi)部包含有大量的微裂紋。諸多實(shí)驗(yàn)研究表明，巖石內(nèi)部微缺陷的萌生、發(fā)育、擴(kuò)展及至連接成核的一系列過(guò)程形成了巖石在外荷載作用下的宏觀應(yīng)力－應(yīng)變過(guò)程。當(dāng)巖石材料變形到接近或超過(guò)峰值強(qiáng)度時(shí)，材料會(huì)出現(xiàn)局部的應(yīng)變軟化帶，原來(lái)的均勻變形模式會(huì)被一種局限在某個(gè)很狹窄的帶狀區(qū)域內(nèi)的嚴(yán)重不均勻的變形模式所代替，即產(chǎn)生很大的應(yīng)變梯度，這種現(xiàn)象即所謂的應(yīng)變局部化現(xiàn)象［1］。這種現(xiàn)象通常最先發(fā)生在材料內(nèi)某些有限區(qū)域內(nèi)，伴隨著局部化帶的發(fā)展而進(jìn)一步擴(kuò)展，它將直接導(dǎo)致材料的承載能力下降，也就必然導(dǎo)致巖土工程材料的承載力下降，故常?？梢园阉醋魇遣牧暇植科茐暮徒Y(jié)構(gòu)失穩(wěn)的一種先兆。

近年來(lái)，巖石應(yīng)變局部化現(xiàn)象的研究已是國(guó)內(nèi)外巖土界的研究熱點(diǎn)之一。至今，國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域的研究者圍繞應(yīng)變局部化帶問(wèn)題展開(kāi)了一系列工作，很多重要理論如局部化分叉理論、廣義空隙壓力理論、復(fù)合體理論、Cosserat理論、非局部理論、梯度塑性理論等在應(yīng)變局部化研究中得到應(yīng)用和發(fā)展。在這些理論方法中，梯度塑性理論引入非局部化的思想，將軟化參數(shù)的梯度項(xiàng)引入到材料的屈服模式中，考慮了一點(diǎn)周?chē)橘|(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)該點(diǎn)的影響，解決了應(yīng)變局部化分析中的網(wǎng)格依賴性問(wèn)題。從梯度塑性理論的角度出發(fā)，對(duì)巖石應(yīng)變局部化現(xiàn)象進(jìn)行相關(guān)研究將有著重要的應(yīng)用價(jià)值和工程背景;而且，基于梯度塑性理論的巖石應(yīng)變局部化研究問(wèn)題在學(xué)術(shù)上具有很大的挑戰(zhàn)性，長(zhǎng)遠(yuǎn)看來(lái)，它也必將推動(dòng)彈塑性力學(xué)理論、有限元計(jì)算理論等的發(fā)展。

2 梯度塑性理論的分類(lèi)

目前，對(duì)梯度塑性理論的研究可分為2類(lèi):應(yīng)變梯度塑性模型與內(nèi)變量梯度塑性模型。

2.1 應(yīng)變梯度模型

在材料每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的變形不僅取決于通常意義的應(yīng)變(與位移一階梯度相關(guān))，還取決于應(yīng)變梯度(與位移二階梯度相關(guān))。一般情況下，這類(lèi)模型也可以考慮二階或高階的應(yīng)變梯度項(xiàng)。

2.2 內(nèi)變量梯度模型

引進(jìn)與某個(gè)熱力學(xué)力相共軛的內(nèi)變量梯度，熱力學(xué)力只出現(xiàn)在內(nèi)變量的演化方程中，在平衡方程中不出現(xiàn)。這類(lèi)模型不改變平衡方程，只須修改本構(gòu)方程，給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了很大的便利。在彈性范圍內(nèi)，內(nèi)變量不會(huì)變化而始終保持為初始值(通常為零)。因此，內(nèi)變量梯度模型的初始響應(yīng)由標(biāo)準(zhǔn)的彈性力學(xué)理論決定，而只有在非彈性階段才會(huì)有梯度效應(yīng)。

2.3 兩者之間的差別

2類(lèi)梯度塑性模型的根本區(qū)別在于，應(yīng)變梯度模型中的應(yīng)變梯度被看作是附加的可觀察狀態(tài)變量，這類(lèi)變量與平衡方程中的高階應(yīng)力共軛;而內(nèi)變量梯度模型中的內(nèi)變量梯度與某些耗散熱力學(xué)力共軛，它們作為內(nèi)變量出現(xiàn)在演化方程中，但是不會(huì)出現(xiàn)在平衡方程中。因此，內(nèi)變量梯度塑性理論僅僅修正塑性模型本構(gòu)方程的基本形式，而運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和平衡方程仍然保持不變。從熱力學(xué)角度來(lái)講，可以說(shuō)內(nèi)變量梯度塑性理論僅僅提高了潛在的熱力勢(shì)和耗散能，而應(yīng)變梯度理論既需要對(duì)內(nèi)力功也需要對(duì)外力功進(jìn)行概括。

當(dāng)然，某些模型也可能會(huì)帶有混合的性質(zhì)。例如，Zervos等［2］提出的梯度塑性模型，既可以被理解為應(yīng)變梯度塑性模型，也可以被認(rèn)為是包含內(nèi)變量的二階梯度的軟化流動(dòng)塑性模型。

3 應(yīng)變局部化的梯度塑性理論研究

3.1 梯度塑性理論一般本構(gòu)關(guān)系

經(jīng)典的塑性理論認(rèn)為，對(duì)于各向同性材料，材料的屈服函數(shù)可寫(xiě)為

式中κ為硬化參數(shù)(這里的硬化是包含軟化在內(nèi)的一個(gè)廣義概念)，它可采用塑性功或等效塑性應(yīng)變等內(nèi)變量表示。梯度塑性理論在此基礎(chǔ)上引入了非局部化思想，認(rèn)為一點(diǎn)的屈服不僅與自身的應(yīng)力狀態(tài)和硬化參數(shù)相關(guān)，還與相鄰點(diǎn)的硬化參數(shù)有關(guān)。它將硬化參數(shù)的梯度項(xiàng)引入到材料的屈服函數(shù)中，使一點(diǎn)的屈服極限還受相鄰區(qū)域硬化參數(shù)的影響，這樣其影響區(qū)域的大小將由所給定材料的內(nèi)部特征長(zhǎng)度決定。

唐天國(guó)等［3］基于經(jīng)典塑性理論，結(jié)合梯度塑性理論的特點(diǎn)，以非局部硬化參數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)屈服函數(shù)中的局部硬化參數(shù)，推導(dǎo)出了梯度塑性理論的一般本構(gòu)關(guān)系

3.2 內(nèi)變量梯度塑性模型

由(2)式可知，在引入硬化參數(shù)的梯度項(xiàng)之后，一致性條件變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于塑性乘子的偏微分方程，無(wú)法寫(xiě)出塑性乘子在局部意義上的顯式表達(dá)式，進(jìn)而也無(wú)法寫(xiě)出單元切線剛度矩陣的顯式表達(dá)式。為了使計(jì)算結(jié)果接近真實(shí)的數(shù)值解，必須使用適當(dāng)?shù)恼齽t化方法以防止應(yīng)變變成一系列的零值。Lasry和Belytschko［4］在應(yīng)變－位移關(guān)系中引入了位移的高階梯度項(xiàng);Fleck和Hutchinson［5］將高階應(yīng)變梯度作為附加的、可觀測(cè)的狀態(tài)變量;Aifantis［6］，Muhlhaus等［7］在非彈性本構(gòu)方程中引入了描述非彈性變形的內(nèi)變量的某種梯度，在材料模型中引入了作為正則化機(jī)制的內(nèi)部長(zhǎng)度參數(shù)。

考慮到巖石材料的特殊性，以塑性體積應(yīng)變?yōu)閮?nèi)變量，在Drucker-Prager屈服模式下引入其梯度項(xiàng)，建立內(nèi)變量梯度塑性模型。

3.2.1 塑性體積應(yīng)變

按照經(jīng)典彈塑性理論，在應(yīng)力空間中巖石的屈服函數(shù)可以表示為

式中:I1是主應(yīng)力第一不變量;J2是偏應(yīng)力第二不變量;θσ是羅德角。按照復(fù)合求導(dǎo)法則可得

式中:δij是 Kronecker符號(hào);sij為偏應(yīng)力;tij是偏張量，且

其中:sim，smj也均為偏應(yīng)力。

使用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，可知塑性應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

式中:dλ是1個(gè)非負(fù)的比例因子(表示塑性應(yīng)變?cè)隽康拇笮?，上式括號(hào)中第1項(xiàng)反映塑性體積應(yīng)變?cè)隽?，而?，3項(xiàng)反映塑性偏應(yīng)變?cè)隽?，?/p>

對(duì)于巖石材料而言，屈服后的加載過(guò)程中，由于塑性變形不斷增加，引起加載面不斷改變，硬化程度取決于塑性加載歷史，使用內(nèi)變量來(lái)描述，于是，加載面的改變?nèi)Q于應(yīng)力狀態(tài)和內(nèi)變量。而在其變形過(guò)程中塑性體積變形的影響非常顯著，應(yīng)用塑性體積應(yīng)變來(lái)定義內(nèi)變量更利于反映體積應(yīng)力與塑性體積應(yīng)變的關(guān)系。

3.2.2 巖石應(yīng)變局部化增量本構(gòu)關(guān)系

材料內(nèi)總應(yīng)變與彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變之間存在以下關(guān)系:

在本模型中，選用考慮體積力對(duì)塑性變形產(chǎn)生影響的Drucker-Prager屈服函數(shù):

由式(8)得到此時(shí)塑性偏應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

為了簡(jiǎn)便，假定巖石在單軸壓縮狀態(tài)下，其本構(gòu)關(guān)系為雙線性，即峰值強(qiáng)度之前為線彈性，超過(guò)峰值強(qiáng)度后為線性應(yīng)變軟化，降模量為一個(gè)常值λ'，如圖 1 所示。用，σ)分別代替單軸壓縮下應(yīng)力-塑性應(yīng)變關(guān)系式中的塑性應(yīng)變和應(yīng)力，得到 σ()的表達(dá)式為

圖1 單軸壓縮線性軟化模型Fig.1 Linear softening model in uniaxial compression

根據(jù)梯度塑性模型，在巖石各向同性假設(shè)下，可得如下關(guān)系:

由于l為材料的內(nèi)部特征長(zhǎng)度，于是式(10)變?yōu)?/p>

采用相關(guān)流動(dòng)法則，有

而由式(11)有

結(jié)合式(15)、式(16)與式(17)，可得巖石應(yīng)變局部化的增量本構(gòu)關(guān)系為

式中:D為彈性矩陣。

3.3 平面應(yīng)變下單向受力巖石應(yīng)變局部化分析

3.3.1 應(yīng)變局部化帶寬度公式推導(dǎo)

假定巖石在單軸壓縮狀態(tài)下，壓應(yīng)力大小為σ0。由Drucker-Prager屈服函數(shù)得

設(shè)由上式得到的各應(yīng)力分量流動(dòng)方向分別為

考慮平面應(yīng)變情況，將平面應(yīng)變情況彈性矩陣D代入式(18)，得應(yīng)力率為:

式中:G為剪切模量;μ為泊松比。

由一致性條件及屈服條件(15)并結(jié)合式(21)化簡(jiǎn)得

式中:

考慮到應(yīng)變局部化發(fā)生過(guò)程中產(chǎn)生的顯著體積變化，在單軸壓縮平面應(yīng)變情況下，考慮應(yīng)變局部化區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的體積擴(kuò)容，設(shè)擴(kuò)容系數(shù)為ξ，并有如下關(guān)系存在

將式(24)代入式(20)第二項(xiàng)，得到

由于平面應(yīng)變條件下σ22的變化很小，可以認(rèn)為，于是由式(25)可得

假設(shè)巖石試樣在外荷載作用下形成的應(yīng)變局部化帶寬度為w，傾角為θ，非應(yīng)變局部化帶區(qū)域仍為彈性變形。引入一個(gè)垂直于應(yīng)變局部化帶的坐標(biāo)系XoY，如圖2所示。則該坐標(biāo)系與現(xiàn)有xoy坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

圖2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖Fig.2 Coordinate conversion

假設(shè)應(yīng)變局部化帶內(nèi)參數(shù)僅沿帶的Y方向發(fā)生變化，而在X方向是均勻不變化的，則:

將式(29)代入式(26)，得

將式(30)代入式(29)，得

將式(31)代入式(17)，并簡(jiǎn)化得

下面將討論方程(32)的解，分以下2種情況討論。

求解式(34)，得

由于b≠0，要使式(35)有解，則w=0，這與實(shí)際明顯矛盾，故U＜0的情形下無(wú)解。

(2)當(dāng)U＞0時(shí)，令U=u2，同上得方程的解為

于是有wu/2=π，由此可以得到應(yīng)變局部化帶的寬度表達(dá)式為

3.3.2 局部化帶參數(shù)對(duì)局部化帶寬度的影響

由式(38)可看出，巖石試件應(yīng)變局部化帶的寬度是隨著應(yīng)變局部化過(guò)程的發(fā)展不斷變化的。又易知

于是由式(19)可得:

將式(40)分別代入式(23)與式(26)中，并化簡(jiǎn)可得:

于是式(32)中的U為

由式(41)及式(42)可看出:在U的表達(dá)式中，E，λ'，l，G，μ，α，ξ均為常數(shù)，θ為應(yīng)變局部化帶傾角。當(dāng)U取最大值時(shí)，應(yīng)變局部化帶寬度w最小，應(yīng)變局部化開(kāi)始發(fā)生，此時(shí)的θ表示初始局部化帶傾角。當(dāng)U取最小值時(shí)，w最大，巖石已經(jīng)發(fā)生破壞，此時(shí)的θ表示巖石破壞時(shí)對(duì)應(yīng)的傾角。

4 結(jié)論

本文引入了梯度塑性理論的一般本構(gòu)關(guān)系，將塑性變形梯度引入材料的本構(gòu)方程中，說(shuō)明梯度塑性理論中具有能夠表征材料內(nèi)部特征長(zhǎng)度尺寸的長(zhǎng)度量綱?？紤]到巖石材料在受到外荷載作用時(shí)內(nèi)部體積變形的特殊性，嘗試采用以塑性體積應(yīng)變作為內(nèi)變量，建立內(nèi)變量梯度塑性模型進(jìn)行巖石應(yīng)變局部化的研究，并從經(jīng)典塑性理論下的屈服函數(shù)一般形式出發(fā)推導(dǎo)了塑性體積應(yīng)變的表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，還推導(dǎo)了巖石應(yīng)變局部化增量本構(gòu)關(guān)系，并在Drucker-Prager屈服函數(shù)下寫(xiě)出了塑性體積應(yīng)變的具體形式，將其梯度項(xiàng)引入巖石材料的屈服關(guān)系中對(duì)其應(yīng)變局部化問(wèn)題進(jìn)行研究。在平面應(yīng)變條件下，分析了巖石試樣受單軸壓縮作用應(yīng)變局部化的發(fā)生發(fā)展情況，得到其應(yīng)變局部化帶寬度的一般表達(dá)式，并對(duì)其進(jìn)行分析討論。

［1］王學(xué)濱，潘一山.地質(zhì)災(zāi)害中的應(yīng)變局部化現(xiàn)象［J］.地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境保護(hù)，2001，12(4):1－5.(WANG Xue-bin，PAN Yi-shan.Strain Localization Phenomenon in Geological Disaster［J］.Journal of Geological Hazards and Environment Preservation，2001，12(4):1 － 5.(in Chinese))

［2］ZERVOS A，PAPANASTASIOU P，VARDOULAKIS I.A Finite Element Displacement Formulation for Gradient Elastoplasticity［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，50(6):1369 －1388.

［3］唐天國(guó)，謝新生，段云嶺.高地應(yīng)力場(chǎng)巖體深部卸荷斷裂帶的梯度項(xiàng)塑性算法分析［J］.水力學(xué)報(bào)，2011，12(42):1432 － 1437.(TANG Tian-guo，XIE Xin-sheng，DUAN Yun-ling.Analysis of Gradient-Plasticity Algorithm for Deep Unload Rock in High Ground Stress Field［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2011，12(42):1432 －1437.(in Chinese))

［4］LASRY D，BELYTSCHKO T.Localization Limiters in Transient Problems［J］.International Journal of Solids and Structures，1988，24(6):581 －597.

［5］FLECK N A，HUTCHINSON J W.Strain Gradient Plasticity［J］.Advances in Applied Mechanics，1997，33:295－361.

［6］AIFANTIS E C.On the Microstructural Origin of Certain Inelastic Models［J］.Journal of Engineering Materials and Technology，1984，106(4):326 －330.

［7］MUHLHAUS H B，ALFANTIS E C.A Variational Principle for Gradient Plasticity［ J］.International Journal of Solids and Structures，1991，28(7):845－857.